X.3 10. II
691 /n(/n~i)....(m--.io)fr'
^ 3^ ;y2(;n— i)....(/;2^ii)V^ ^^,„
3617 m{m—i)....{m^i^)h'^ ^^^^^ 30 I.3.. • V «lo. 17
iio ^.^3 lo.ii
etc. + consc.
formule dans laquelle les co^fficiens exprimés en nonibres méritent attention, parce qu'ils reviennent souvent dans la Théorie des suites.
Nous observerons , avant de finir cet article , que si l'on multiplie s^" par A^ et qu'on passe cet accroissement sous le signe s^ pn aura cette équation
x"^"^ I ^, I mh^
X x'^h = ; ^*A-| a?""*' + etc. + consi.
dont le second membre a pour limite 1- eonst, lorsque h
s'évanouit, cas auquel x*"*A se change en f^dx , 4'aprçs ce ^u'on fi vu daps le n"". 470.
DES Différences. ji
899» Ce qui précède fournit le moyen d'intégrer toutes les foncions algébriques rationnelles entières , dans le cas où la variable indépendante reçoit un accroissement constant. Prenons pour exemple la fonction -<^a?^+ 5^?*+ Cx + Z>;
nou^ aurons
et mettant pour sjc^, 20;% sjc et zx*", leurs valeurs, il viendra — r^ — ' — T^, — ^ "*! ' z — ' — ^ "* 7"; ^ + ^^''^^^
900.' Il existe un genre de fonctions rationnelles qui s'intégrent avec la plus grande facilité; ce sont les produits de la forme
en effet , si Ton en prend la différence ^ on obtiendra
s{(x+tf + A)(a;+a+2A),.. . (jtr+tf+;wA)} = {x-^-a) (Jtî+tf + A) (A: + tf + iA) • (^X'{'a+mh)
Sî Ton écrit dans ce résultat x — A , au lieu de a: , et /w + 1 , au lieu de m^ on aura
2{(A:+tf)(jc+tf+A)(jr+tf + zA)....(^+tf+;wA)} = (:f+tf — A)(;r+tf )(x+tf + A )....( a?+tf + ;n A)
On donne à Ce résultat une forme plus simple et qui paroît d'abord plus générale, en représentant la fonction u par XX^X^..,.X^, et supposant que les différences premières des quantités
X y X^^ -y., Xjny soient constantes: par cette notation
on trouve
^siX^X^X^ • • • • -^mi^m^i — X)^zX^X^X^ . , . , X„,x(rnJ^ l)^X
7* Ch. LDi/Calcul
d'où il est facile de conclure, comme ci-dessus,
ï X.X^X, . . . jr„= ^f'^"''^- + con»,
* V V V Y X,XX,. . . Xm ^
en mettant /n+j pour /7z,et diminuant ensuite de l'unité chaque indice.
On intègre aussi la fraction ,
parce qu'en la différentiant on trouve
-y — -STm-hi (/w + i)aX
et qui donne
XX^X^9 . .X„^^^ (/»+ ijAA ATAjA!'^. • • Aju
et changeant m+i en /n, on obtient
+ çonsi.
+ c^/tf/;
901. Il est à propos d'observer que l'intégration de$ fonctions de la forme
peut s'effectuer par les formules ci-dessus , en les transformant en produits de facteurs dont les différences soient constantes. PoMr le faire voir , je choisis cet exemple très-simple : x^^ et je fais
i:3=(jr+A)(A: + iA)(«+3A) + ^(* + A)(x+ii) + iB(x+A)+(7, en supposant que h désigne l'accroissement de x. Si l'on développe | et qu'on ordonne suivant les puissances de ;i; ^ on aur^
:ç^zzz x^^6hx^^ 1 1 A*a: + $ A^
+ 5 X + B h + Ci
et
DES Différences. 7 J
et comparant entr'eux les termes affixtés de la même puissance de x ^ on formera les équations é
II A*+ 3-^A +^=0, 6A^+ xAh^+Sh + Cr=o,
desquelles on tirera
et :r'=(:r+A)(jt:+2AXx+3A)— 6A(^+AX^+iA) + 7A*(x+A)— A% ce qui donnera > en vertu du n"". précédent ,
XJc'=^«(Ar + A)(:c + 2A)(A:+}A)
— 2Ji:(4P + A)(jif+ iA)+ ^hx{x^h)'^h^x + €0/151.
Il paroîtra sans doute plus court d'appliquer immédiatement à la recherche de l'intégrale la méthode des coefficiens indéterminés , dès qu'on aura reconnu que cette intégrale est de la même forme que la diflR^ence , excepté qu'elle a un facteur de plus dans chacun de set termes ; on fera donc tout de suite
SJc'=r^ir(A: + A)(:t+xAr)(â?+ jA)
+ Bx(x + h){x + xh}
+ Cx[x + h)
+D:fi + eonsi.
et pour obtenir les coefEciens A^BjC^D^Qn prendra la diffë^ rence de chaque membre de cette équation. On parviendra de cette
manière à
;t'=«4^A(Ar + A)(A:+iA)(jc+ 3 A)
+ 35A(ar + A)(Ar + 2A)
+ iCA(:c + A)
+ Dhi il ne restera plus qu'à développer le second membre de cette dernière équation , à l'ordonner par rapport à jc» et à déterminer les lettres A ^ B , C , D , comme ci-dessus : ce qui ne présente âucuiïe difficulté.
En généralisant ce qui précède , on verra sans peine que pour ramener la fonction ^ x*+ *jc^+ ^*^+ c^c. à un produit de Apptndw. K
facteurs équidiffircns , il faut ^ si e& désigne le plus haut exposant de a: , la comparer à cette expression:
^{x + h)\x+ ih) {x + ah)
+ B{x + h){x+ ih)....{x+ (a— 1)/0 + C(x + h){x + ih)....{x + (ùL^i)h)
Lorsqu'on voudra l'intégrer, on pourra poser immédiatement
:z(^ax'' + tx^+cxy + etC.)=jéx(x+h)(x+ ih) (x-^ah)
'\-Bxlx + h){x+ih)...{x + {et—i)h) + C X {x+ h) {x + xh). . . {x+(jt—i)h)
+ Ix{x + h) + Lx -{- const.
et opérer comme nous l'avons fait pour obtenir sjc'.
U est évident que cette méthode donne aussi le moyen d'intégrer le produit de facteurs équidifférens
quoique leur différence première ne soit pas égale à l'accroissement à^x y que nous continuons à désigner par A, puisque ce produit étant développé devient de la forme ^ ;t*+ A;t^+ etc^
901. La considération des produits de facteurs équidifférens est d'une telle importance dans le Calcul des différences et des suites, ils y reviennent si souvent , qu'il est convenable d'entrer dans quelque détail sur la transformation dont nous venons de montrer l'utilité dans le n"". précédent , et en même tems de désigner ces produits par une notation plus concise. Nous choisirons celle que Vandermonde a proposée dans le Mémoire de l'Académie des Sciences pour .l'année 1772 ( première partie , page 489 ) , parce qu'elle nous a paru réunir à la simplicité ^ l'analogie et la facilité de se prêter au calcul.
Par l'expression x"" on entend le produit d'un nombre n de termes consécutifs de la suite
X ^ x ^ X y X ^ X y etc.
V E s Différences. 75
dont les difiërences premières sont nulles. Après cette suite , se présente immédiatement celle-ci,
x^ x + ÙLXy JC+lAAT, :c+3Ax,etC.
dont les différences premières sont constantes et les secondes nulles : il paroît donc naturel de regarder le produit d'un nombre n de termes de cette dernière , comme venant après la fonction at", dans Tordre de la simplicité , et de Tex primer d'une manière analogue ; c'est pourquoi nous représenterons la quantité
^(;»:+ Aar)....(a:+ (;2— i)AJf), par [x^l']^ A tenant ici la place At ax pour désigner la différence commune des facteurs , et n étant leur nombre. Passant aux suites dont les différences secondes sont constantes et les troisièmes nulles ^ suites dont la formule générale est
JC, ^ + A, :c + lA + A% Ji: + 3A + 3A% etc.
nous indiquerons le produit des n premiers termes , ou la quantité
jc(ji: + a)(jc+2A 4. A»)...(4P + «^+ -^ ^A*)
par le symbole [^9 a, a*] , dont il est facile maintenant de sentir l'esprit y et d'après lequel on peut former ceux qui conviennent aux suites dont les différences constantes sont d'un ordre quelconque. De ces considérations naît un genre de fonctions liées entr'elles et avec les puissances de x j par une analogie très-simple et très-naturelle, et jouissant de propriétés très-remarquables que nous ferons connoicre dans la suite. Nous 'nous borneront pour le moment -à
-■•-•'• ■-.■'«' , 'Il' ÉÊ' ' ' • * .-••■ i
faire jquelques observations sur la fonction [«^> a] , que nous nommerons puissance dt x du second ordre.
V. On peut la.présçnter de manière à rendre la différen^çe a=i , et faire ensuite abstraction de cette différence , ce qui simplifie un peu la
notation ; en effet , en reprenant la valeur attachée au symbole \xy a] , on a jf(jc+Aa7) ( a:+ iajk-) (a;+ 3 àx) . . . . ( jf+ ( n-^i)Ax,)
ce qui donne [x,à\=Ax^r — , il =Ax"r— 1 , en convenant de
7^ C H. h Du Calcul
ne point écrire la différence des facteurs toutes les fois qu'elle est égale à Tunité.
2^ Nous avons supposé que la suite
AT, x+ Ax^ ^r + iA:»:, x+ ^àx ^ etc.
étoît croissante , on indîqiieroît le contraire , en affectant^a caractéristique à du signe — , mais pour donner aux produits désignés
par r — 1 la forme des cocfficieos du binôme dont les facteurs
sont écrits dans un ordre décroissant , nous supposerons que x est le dernier terme de la suite proposée et que
Laa:J Ax^Ax / \ax / \Ax y
Cela posé ^ faisons pour abréger — =/' » et montrons les rapports
du symbole [/^] , avec l'expression si bien connue />*• •
y. h est d'abord évident que de même qu'on a /^=;^"*/'""^»
on a aussi [/»] = [pj[^— m}; car
et le troisième produit: ^ doat le dénier factçur se réduit à p—^n+ 1 ^ renferme tous ceux du premier qui ne se trouvent pas dans le second. ' 4*, Les cohsé4uertces qui résultent de Téquation /^"=/'"./>""^, lorsqu'on y fait m=o et m négative , ont leurs analogues pour les puissances du second ordre. Quand /n=o , on a fzzif'f , d'oîi /?"*= i,
n m it— m n on
etl'équation [p']=lp]ip — /w], devenant [/^]=[/'][/'], donne
aussi^Crf^T^i.; ' .: '. ' - . / :
f^ En faisant n=zo,. dansja même , équation , on en tire
[/']=[/'] [/'—'»] » " V^ conduit à [/»-.«] = tLi=- , comme
DES Différences. 77
réquatîon />"=/^"* •>""", dans la même hypothèse, mène à
/'^""'ss -^ = — : ^i Ton écrit p+m^ au lieu de p ^ on aura P P
Ip + m]
Ces deux dernières remarques établissent la loi de continuité entre
