CHAPITRE PREMIER

Du Calcul des DiffUrencu,

jj A N s le Traité du CaLul dlffinnùtl tt du CaUul intimai , nous n'avons envisagé les séries que comme un moyfin de développer les fonctions algébriques ou transcendantes , de manière à faire connoître quelques-unw des propriétés de ces fonctionî, que U forme sous laquelle elles se présentoient ne ren'Ioit pas assez évidentes , ou bien pour en obtenir , dans certains cas , des valeurs approchées. Sous ces diflPérens points de vue, nous avons toujours connu l'origine des séàes dont nous avons fait usage, et nous ne nous sommes occupés de leurs propriétés que par rapport aux fonctions dont elles dérivoient; maintenant nous allons les considérer en elles* inêmes et indépendamment d'aucune fonction particulière. Apptndict, A

X Cn. l. Du Calcul

Calcul direct S 5 9. Supposons qu'on ait une série de la forme dei diffiérenccs. j^ + ^i^x + ^.:c* + J:^x^ + etc.

dans laquelle les chiffres inférieurs affectés aux coefHciens des puissances de Jc , et que je nommerai indices^ font connoître le rang qu^occupe chaque terme : ce qui distingue cette série de toute autre , c'est la loi que suivent les coefficiens des diverses puissances de :r ; or , quelle que soit cette loi , il est évident que la valeur de chaque coefficient en particulier dépend du rang qu'il occupe dans la série , en sorte que si Ton a voit l'expression du terme général J^^"^ qui .répond à un indice quelconque , on en déduiroit tous les autres , en donnant à n différentes valeurs; car J^^ A^^ jf^y j4^^ etc. ne sont autre chose que ce que devient J^ lorsqu'on y fait successivement

72 = 0, n=i, «3=2, etc.

Faisons donc abstraction de x ^ ou ^ ce qui revient au même , faisons jc := i , et considérons seulement la série des coefficiens

comme représentant la suite des divers états par lesquels passe la fonction J^ , en vertu des accroissemens que reçoit Findice n. Soit fait Jr--^,= B^

^j-.^,= B, etc.

les quantités 5^ , -ff , , 5^ , etc. qui sont les différences qui régnent entre les termes de la suite pfécédente , formeront elles-mêmes une nouvelle suite dont la nature dépendra de celle de la première

Si l'on avoit , par exemple , -^^^ = 3 + x /2 ; en posant successivement n = o , n=i, /2=2, nzs^ y etc. on obtiendroit pour les j4 la suite des nombres 3 » 5 j 7> 93 €tc. et les B seroient tous égaux à 1 ; en efet ^ la suite proposée ne seroit autre chose que la progression par différences (*)•

Dans le cas où les quantités B^^ B,, B^^ B^, etc. ne sont pas ^ _____^ — ^ — __ , — , , ■

(*) C'est ainsi que j'appellerai désormais la progression arithmétique , et je donnerai à la progression géométrique le nom de progression par quoti^ru. Voyez la cinquième édition des EUmtns cF Algèbre de Clairaut , Tome I 9 page cbuuvij , et Tome II, p. 331.

DES DiFFÉRENCEiS. 3

toutes égales entr'elles^ on en peut déduire une nouvelle suite ^ en prenant leurs différences^ et faisant

B,-B, = C, etc.

on aura à considérer la série

Coj C^y C. ; Cj , etc.

Soit pour exemple -^,j = ç + 3 «* i il résultera de cette fonction

5, 8, 17, 32, etc.

pour les nombres A ;

3> 9> Mf etc.

pour les nombres B ;

enfin 6, 6 y 6, etc.

pour les nombres C, qui , comme on voit , sont constans. Ces

exemples suffisent pour montrer comment on a pu remarquer les

différens ordres de séries , en comparant entr'eux les termes successifs

d'une même série.

Les quantités B^^B^^B^..., se nomment les différences premières , ou simplement les différences des quantités A^y A^y J^, etc.

Les quantités C^y C*, > C^y etc. qui sont les différences première! de B^ y ou les différences des différences de A^y A^y A^^ A^y etc. se nomment les différences secondes de celles-d.

Ily a entre les quantités ^^ B y Cy etc. des relations qu'il est im<> portant de cohnoître y et au moyen desquelles on détermine les unes par les autres ; ce sont ces relations qui constituent le Calcul direct des différences.

86o. Soit u^ y u^y u^...^y une suite de quantités qu'on suppose être des valeurs consécutives que reçoit la fonction Uy soit en vertu des variations qu'elle éprouve par elle-même , soit par l'effet de celles qui arrivent à des quantités dont elle dépend ; nous ferons

4 Ce. î. Du Calcul

en nous servant de la caractéristique ù, pour désigner la différence qui existe entre les deux états consécutifs d*une même quantité. Lorsque cette quantité varie par des degrés égaux, les différences àu^ û //. , A //. , etc. sont toutes égales ; mais si le contraire a lieu , on fera par analogie

A//. — A//, =A.Atf, =A'//, AV^ — A«^„., = A.AZ^^..=AX-i

etc.

A*^, — A*// =A.A*^ =a'w AX— A'«^, = A . A*«, = A*^//,

AX— AX-x= A. AX-.= A'r/^..

etc.

Cela posé, on aura, en vertu des équations (i) , (i) , (3) ,

Aa, =Ak +à^u

AWa = A«. + A*tt,

A*//, =A*tf +A''//

«'7i=^n-. + ^Un^^

A V„^ = AX-î + ^X -V

Par le moyen de ces valeurs , on peut arriver à des expressions de tf , , //. , //^....W;j, qui ne dépendent que de la quantité primordiale u , et de ses différences successives a ri , a'« , ^^u , etc. ^ faisant les substitutions nécessaires on obtiendra

tt, = w + A //

r, =1/ + 1AZZ + A"l^

U^=zil + 3A2/+ 3 A*/i + A^//

d'oii on conclura par analogie

7/„= U + -AU+ — ^ ^ A»/^ + ~i i^ ^A'tf + etc.

puisque les coefHciens numériques des expressions préicdentes sont

les mêmes que ceux des puissances du binôme : la démonstration

suivante justifiera pleinement cette conclusion.

DES Différences. %

Il est évident que Texpression d€ u^^ ne peut être que de la

forme

' Uj,= u+ A' su + A^'^.^u + A"'s^u + etc.

dans laquelle -<^', A\ A"\ etc. désignent des coefficiens numériques,

indépendans de u et de ses différences , et il doit y avoir entre i/„^,

et //, les mêmes relations qu'entre u^ti u\ car dans le second cas ,

le nbmbre des termes est le même que dans le premier , et tout le

changement dans l'hypothèse se réduit à partir d\m terme plus

avancé : on aura donc

7/„^,= u^+A'^ u^ + A'^A^'u, + A'^A^u^ + etc.

Si Ton met , au lieu de àu^ , a*"//, , a^u^ , etc. leurs valeurs en «,

AUf A*//, etc. il viendra

z^„^.= w + ( I +A'} AU + (A' + A'') A'u + {A'' + A''')a'u + etc.

mais en représentant par

I + B'x +5V-f 5'V+ etc.

le développement de ( i + jc)", on trouvera

( 1 f x)'=-+-^= I + ( I + B')x\^{B'+B')x^+{B' + B''')x'+ etc.

on voit ici que dans le passage de l'exposant n à l'exposant /2+ i ,

les coefHciens du développement du binôme éprouvent les mêmes

changemens que ceux de l'expression de u^ ; et comme les uns et les

autres prennent les mêmes accroissemens , il s'ensuit que dès qu'ils ont

été identiques dans un cas , ils doivent Têtre toujours : nous pourrons

donc écriie

y -= U + -AU-i ^ ^— A^U + —i: — ^ A^u+ etc.

On peut également exprimer la différence d'un ordre quelconque , A"^, par le moyen des valeurs consécutives «^ > « , , z/^^. . . .etc. on tire d'abord des équations (i) , (i) , (3) ,

A*// = i/j— iu^+ u

et l'analogie indique l'expression générale

A^«=r/^-- //^.,+ -1^,,^ ^^ y ^ ,,^ ^^ etc.

6 CvL. 1. Du Calcul

qui $e vérifie comme la précédente. En effet ^ en posant

ùru=u^ + A'u^, + ^X-a + ^X -î + et c.

on doit avoir

mais en substituant pour a"w, sa valeur a^^+a""*"';/ , et mettant à la place de a"// son développement , il viendra

rA«^'«=//,^. + {A'^i)u^ + (^'-^0^1.-. + (^" — -^'o^i.^s+ etc.

Or le développement de ( a; — i )• étant représenté par

• a:" 4- 5 V- ' + ^ V-* + 5'' V-^ + etc. on aura

(x— !)"•*•' =:t"*^« + (5^— i);tr» + {B^^B') jc"-* + (5'^'--50*"** + etc. et l'on conclura comme ci- dessus que les coefficiens du développement de A^x^ , recevant les mêmes accroissemens que ceux du dév^^ loppement de {x — 1)% et commençant par avoir les mêmes valeurs., doivent demeurer identiques avec ces derniers.

U suit de ce qui précède que Ton peut écrire les équations

pourvu que l'on se rappelle de changer dans le développement de la . première , les exposans des puissances de A 2^ en exposans de la caractéristique a ^ et que dans celui de la seconde j on transforme les exposans de u en indices.

86 1. Lorsqu'une fonction est donnée^ rien n'est plus facile que d'en obtenir les différences successives ; nous prendrons d'abord pour exemple la fonction ^^r"*. Faisons u = at", et supposons que x augmente de la quantité h , nous auron:» i/^=(Ar+ A)*, et par conséquent

i^u=(x'\' hYr^xr=mx'^-'h + -i ix^-^h^^^ i^ ^AT^-^A^+etc.

Pour passer aux différences ultérieures A*^ , ù.^u , etc. il faut faire varier pc de nouveau ^ ce qui présente deux hypothèses , l'une consiste à supposer que la quantité x prenne toujours des accroissemens égaux y et Tautre que ces accroissemens soient eux-mêmes variables ; nous nous occuperons d'abord de la première* En substituant x-^-h au lieu de x dans ùkU , on aura

A«,=xmA (:c +*)*"-»+ ^^^^IliiAVx+ A )*-•+ etc. n est visible que si l'on développe l'expression de ùku^ ^ et que Ton eii

DES Diffère n ,c es. 7

retranche celle de ^u y le résultat ordonné par rapport aux puissances de h sera de la forme

A^u=m(m—i) Ar"-»A' + M^x^^'^h' + M^x'^^h^ + etc. M^ , il/4, etc. désignant des coefficîens dépendans de l'exposant m.

Par une nouvelle substitution de x+A dans cette dernière équation , on parviendroit à a'^/, > et , en observant que ^^u=a^u^ — a** , on obtiendroit

A^u = m(m'^i)(m — l) x'^^^h? + M^x'^^^h^ + etc. La loi des premiers termes de chacun de ces développemens est évidente j et Ton voit que 1 expression de a"i/ doit commencer par

m{m — I ) (/w — i)...(/72 — n + i )Ar'"""A'*; mais pour parvenir au terme général de cette expression , il sera plus commode de former immédiatement ùtJ'u , par le moyen des valeurs de u^9 u^f u^ 9 etc. sans passer par celles de A2/ , ù^^Uy L^u^ etc. Il est évident que dans l'hypothèse présente les valeurs

répondent à

jc + A, x+ik^ X + '^ k^....x + nh y et que Ton a par conséquent

on tirera de là

^^ ^— "^[^+(«— 3)A]'"+etc.

Si Ton désigne par i l'exposant de A dans le terme général du déve« loppement de Téquation ci-dessus , l'expression de ce terme sera

mais comme nous avons observé que le développement de a"« ne pouvoit contenir des puissances de h dont l'exposant fut moindre que /z 9 il s'ensuit que la fonction

n' (;ï— I )'+ -i^ ^ (/2— . 2 y— etc.

8 Cn. LDi/Calcui

est nulle tant que i</î, ce qu'il est aisé de vérifier : d'un autre

^ ,, ^ . m(m — t)(rn — i) (m — i+i)

côté le coefficient — ^ — — ^ ^

s'évanouissant lorsque /=/7ï + i , il en résulte que la plus haute puissance de A , dans le développement de A"/^ , ne peut être que A*" ^t que par conséquent a"/^ se réduit à son premier terme

dans le cas oîi Ton am = n. Il est évident qu'alors les différences ultérieures a""*"*//, a""*'*^, etc. sont nulles.

Il est facile de conclure de*là que toute fonction rationnelle et entière de x a toujours des différences constantes , savoir : celles dont Tordre est marqué par l'exposant de la plus haute puissance de jc , qui soit dans la fonction proposée. En effet , cette fonction étant de la forme .^a;*+ Bx^+ C.v'>'+etc. on aura nécessairement AXAx''+Bx^+Cxy + etc.)=J^''.x^+BA\x\+CA''.xy+ etc. (^); et si sL désigne le plus haut exposant de^, il viendra pour lecasoù n=:ot^

A*.Ar*=l.i fltA*, A*.:c^=0, A*.:t^=o, etc.

en sorte que a*(^;c*+ Bx^+ Ca^>'+ etc. ) = ï,2,3. . • . . .at^Jt*. Il n'est pas nécessaire d'avertir que chaque fois qu'on prend la différence de deux fonctions, cette opération peut faire disparoître une constante ; car les calculs précédens ne différent de ceux du n". lo ^ qu'en ce que nous avons considéré en même tems tous les termes du développement de la différence , au lieu de nous borner au premier , comme pour le Calcul différentiel.

Au moyen de ce qui précède on développeroit sans difficulté les différences d'une fonction composée de puissances quelconques do x^ Avant de pousser plus loin , il convient de montrer comment les mêmes développemens , et en général ceux des différences des fonctions quelconques , peuvent s'obtenir par le moyen du Calcul différentiel.

861. Le Calcul différentiel et celui des différences, quoiqu'étant bien distincts , comme on le verra dans la suite , ont néanmoins de grands rapports entr'eu^t et peuvent s'appliquer l'un à l'autre.

(*) Il ne fiut pas confondre A'^.x* avec A"^; car ii. fM-emière de ces expressions est la différence de l'ordre n de la fonction a-, tandis .que A».t«=:(A«A)'.

l-orsquç

DES Différences. 9

Lorsque Ton considère le premier sous le point de vue oîi Ta présenté Léibnitz , ou par la théorie des limites , il devient un cas particulier du second^ ainsi que nous l'avons montré dans les !!**• 92 et 285. Nous ne répéterons pas ici ce qui a été dit dans ces articles^ mais nous déduirons la série de Taylor de Téquatibn

. « n(n — i) ^ n(n — .i)(/2— 1) , . , u^^u + -A«« + -ii ^A*tf H — !^ —^ -ù,^u + etc.

En lui donnant la forme

u^=u+ + — !^ 1 +— ^ ^ =^ ^ + etc.

et supposant que et soit l'accroissement que reçoit x lorsque la fonction^// devient ^ + a 2/ ^ la valeur u^^ sera celle que prend u , quand x se change en x-\'ndi,. Faisant ensuite nA=:kj et regardant l'accroissement a comme évanouissant ou infiniment petit , il faudra considérer le nombre n comme infiniment grand ; en vertu de cette supposition les quantités n*, (n — 1)«, (n — 2 )«.... etc. deviendront toutes égales entr'elles ^ tandis que les quantités

Au A*U à?U • • •

• — , -— -, —5-, etc. coïncideront avec les coefEcîens différentiels

du d^u ' éPu

etc.

dx^ dx^^ dx^'

on aura donc

du , d^u A* d?u h^

dx dx* 1.2 dx^ 1.2.3

pour le développement de la fonction u , quand x est devenu x + k^ Cest à peu près ainsi que Taylor est parvenu au théorème qui porte son nom. On peut substituer sans peine la considération des limites aux raisonnemens ci-dessus , en observant que

nA(n — i)«t=/2*<t*ri — - j, Hfit(;z—i )at(/2 — 2)a=/iVri— - Vi-^- J, etc.

et que par conséquent leurs limites ^ relativement à l'accroissement de /ï, sont /zV, 72^*% etc. ou A*, A% etc.

]Lorsqu*une fois on est {Parvenu au théorème de Taylor ^ la théorie analytique du Calcul différentiel n'offre plus aucune difficulté ;

appendice. B

ïo Ch. L D V C A t c V t

ainsi ce qui précède suffit pour montrer comment il résulte du Calcul des différences (^).

(*) Cette manière de le présenter peut avoir ses avantages , mais elle est moins simple et moins élégante que celle dont nous avons fait usage dans les n**. 4-10 , et que Ton peut abréger encore en employant la théorie des limites ; au reste , jVi lieu de croire que tout bon esprit , qui aura rapproché les divers points de vue sous lesquels ce calcul est traité dans le premier volume , reconnoitra que pour le fond ce sont les mêmes idées , et qu^en leur donnant les développemens nécessaires oA parvient toujours à des conséquences également évidentes. Je ferai principalement remarquer que de quelque source que Ton tire le Calcul différentiel , la notation ne doit pas changer et qu'elle réunit tous les avantages que Ton peut désirer dans les signes algébriques. Je ne crois pas que ceux qui auront bien saul l'origine de cette notation dans le n^. 9 , puissent révoquer en doute son analogie avec les principes de Lagrange ; elle est même plus propre que toute autre à en rappeler le souvenir. Quelles que soient les notions préliminaires, le coefficient dijferendclj om la fonction prime (d'apris Lagrangf" ) , sera toujours la fonction qui multiplie la première puissance de Tac* crolsscment dans le développement de la différence de la fonction primitive ; en . prenant le premier terme seul on aura une différence tronquée ou une diffcrtntitlle ^ et cela , sans rien prononcer sur sa grandeur absolue , sans rappeler en aucune manière Vidée d*infiniment petit. Le changement de métaphysique ne saurolt donc conduire à un changement de notation , si , comme il est aisé de s'en convaincre , la notation an** cîenne a des avantages marqués sur celles qu'on voudroit lui substituer. Il faut d'abord observer qu'elle doit être débarrassée des parenthèses qu'Eulcr employoît.

En effet, -7^ et —i sont aussi clairs que f— ), ( — ) ; car le sens de la dx dy ^ \dxj \iy/

question indique toujours si les variables xtty sont indépendantes ou non , et em-;

, ^^x + Û-iy pêche qu'on ne confonde l'expression — avec -j — - — 1 qui ne signifie

quelque chose ^ qu'autant qu'on regarde ( au moins Implicitement ] y comme nne fonction de x. Legendre, dans ses écrits, avoit déjà supprimé les paren-* thèses ; en l'imitant sur ce points j'ai cru devoir les consacrer au cas qui se

d[-\ présente le plus rarement , et écrire -~-^ , pour indiquer que dans { , y varie en

même tcms que x dont il est supposé dépendre ( n®. 70 ). Fontaine, qui le premi'^r fit usage de la notation reçue pour exprimer les coefficiens difféientiels^

proposa de désigner par — dpi le rapport de Jjc à la différentielle complète de ^^

afin de le distinguer du coefficient de dx dans cette différentielle, ce qui est aussi fort simple ( v.yjç la table des Mémoires de Fontaine ).

DES Différences. ii

863. A l'aide du théorème de Taylor, le développement des différences d*un ordre quelconque pour une fonction quelconque '

Les notations employées dans la Théorie des Fonctions ne me paroissent pas offrir les mêmes avantages. Les accens ne peuvent guères servir seuls ^ que lorsqu'on considère des fonctions dont le nombre des variables ne s*élève pas au-delà de deux , en affectant les accens supérieurs aux variations de l'une et les accens inférieurs à celles de l'autre. Pour aller au-delà , Tillustre auteur de cet ouvrage écrit entre parenthèses la quantité ou les quantités qu'il regarde comme variables ^ et désigne par

i"{x)] i"{y)\ f"(î)! i"ix,y), f"(*.l). f"(y.î) les coefiîciens différentiels du premier et du second ordre pour la fonction ^^ * y 9 { ) ( Théorie des fonctions y page 191 ). II a modifié depuis sa notation dans le Traité qu'il vient de publier sur la résolution des équations numériques , 011 il représente les mêmes coeiEciens comme il suit ,

Z étant la fonction primitive proposée.

En partageant avec toute l'Europe le respect attaché au nom et aux travaux de Lagrange , j'oserai néanmoins n'être pas de l'avis de cet homme si justement célèbre ^ sur les motifii qui paroissent le porter à introduire cette nouvelle manière d'écrire les résultats du Calcul différentiel ; car je crois avcir prouvé dans ce qui précède que l'ancienne n'a point en elle-même l'inconvénient de rappeler ccntinueîUment Vïdit fausse dts infiniment petits , et je demanderai si la multitude de parenthèses très* resserrées , qui résulteroit des signes qu'il propose , ne rendroit pas les formules aussi longues et aus^S chargées , que l'emploi de la caractéristique d. J'avouerai même que M seconde notation ne comportant point de dénominateurs qui , dans l'impression , exigent une double ligne , me paroît préférable à sa dernière ^ semblable au fond à celles d'Euler et de Waringi dont elle ne diffère que par les accens qui tiennent la place des d, dont le premier se servoît avec tous les Géomètres sortis de l'école de Léibnitz , et des points dont le second a fait usage , ainsi que tous les Géomètres Anglois. Voici un exemple de chacune de ces notations :

(s^Jp)' C";^^)* (^y)'

Oest , je pense , un principe avoué de tout le monde , qu'il ne faut changer les figues reçus que lorsqu'ils, sont en contradiction manifeste avec les idées qu'ils doivent représenter, ou lorsqu'on peut les abréger , ou enfin lorsqu'en les modifiant on les rend propres à développer de nouveaux rapports qu'on n'auroit pas apperçus

ïi Ch. I. Di/Calcul

s'obtient sans difficulté :.on a premièrement

du h d^u A* d'à h^ Luz=z -I 1 j- etc.

dx I dx^ i.i dx"^ 1.2.3

et comme a u^ est ce que devient a u , lorsque ;c se change en jc + A ,

il s'ensuit

dùku h d^'àu À* d^ù^u h^ A«.=A//+__ -+-— +-— ^ + etc.

dx T £/;c' 1.2 dx^ 1.2.Î

dàu h d^àu A* ^^Aa A^ A'i/z=: 1 1 (. etc.

^;i; I dx*^ 1.2 ^a;^ 1.2.3

on trouvera de même

^A»« h d^àl'u A'

dx I ^x* 1,2

, dù.^u il A^«= — [- etc.

etc.

sans cela. Les signes du Calcul différentiel ne sont dans aucun de ces cas: tout ce dont Lagrangç a enrichi l'Analyse , dans sa Théorie des Fonctions et dans son traité De la Résoludon des Equations numériques , peut être exprimé avec autant de simplicité que d'élégance par les caractères usités. Les deux premiers, volumes de l'ou* vrage que j'offre au public , en fburnlroient la preuve s'il étolt nécessaire , et on la trouvera encore dans ce dernier , pour lequel j'ai profité avec empressement de plusieurs remarques importantes insérées dans les excellens écrits que je viens de citer. Il y a plus , )'ai la persuasion que le Calcul des fonctions ne sauroit atteindre à rien que le grand Géomètre , qui en est l'inventeur , ne puisse déduire du Calcul différentiel , et j'ajouterai , en invoquant ici le témoignage de tous ceux qui , con— noissant ce dernier Calcul , ont lu la Théorie des Fonctions , quils n'ont pu s'empêcher de traduire ( au moins mentalement ) , dans les signes généralement adoptés, les résultats qu'il contient , pour s'en faire une idée vraiment nette. On ne sauroit d'ailleurs contester que le passage de l'Algèbre au Calcul différentiel , ce dernier étant présenté , comme l'a fait Lagrange dans les Mémoires de l'Académie de Berlin , pour l'année 1773, ou , comme je l'ai fait d'après lui , ne soit aussi simple que le passage de l'Algèbre au Calcul des fonctions. Enfin, je crois qu'avant d'adopter de nouveaux signes , il faut penser à Tembarras qu'éprouveroient ceux qui étudient les mathématiques, d'avoir à rapprocher sans cesse des formules et des opératioiis analogues rendues par des caractères différens ; et c'est la crainte de voir ouvrir cette nouvelle source de diflîcultés , qui m'a engagé à entrer dans des détails dont la longueur sera justifiée par l'influence que ne peut manquer d'exercer l'homme célèbre qui pro^ jette une révolution à cet égard.

DES Différences. 13

En effectuant les développemens successifs indiqués ci-dessus > il viendra

dx"^ I dx^ 2 dx^ 2.3

dx^ 1 dx^ 2*2

d^U hS

+ -T-T + etc.

dx^ 2.3

Il seroit facile de trouver la loi que suivent les termes de cette expression , mais nous y parviendrons d'une manière plus générale , .au moyen de l'analogie qui existe entre la différeniiation des quantités et leur élévation aux puissances ^ analogie dont nous avons déjà fait remarquer quelques traits dans les n*"*. 3i-39.