On a vu ( Int. n"*. 25 ) que

«'= I H H h h etc.

et 11 suit de cette formule que

li du h du^ h^ du"" A'

dx i dx^ i.x dx^ 1.2.3 du

dx du h di^ A* . du*^ A* t — I = H-; 1 — 7~i h etc.

dx I dx^ 1.2 dx^ 2.3

Si maintenant on transporte les exposans des puissances de du à la caractéristique d^ le second membre de l'équation précédente

deviendra .

du h d^w A* d^u h^

h ! 5 — : 1- etc.

dx i dx* 1.2 dx^ 1.2.3 et sera la même chose que A 2/ ; on aura donc

AU^=C — t >

pourvu que dans le développement du second membre on transporte k la caractéristique d les exposans des puissances de du.

ï4 Ch. I. Du Calcul

D'après ce résultat Lagrange a remarqué le premier qu'on avoit

du , ( —h >^

en général a"^ = \ ^ ^ — i / ,

en observant toujours de transporter à la caractéristique d les ex^

posans des puissances dtdw^ et voici comment La place a démontré

cette proposition.

Il est évident par ce qui a été dit dans les n""*. 860 et 863 , que, quelle que soit l'expression de aV, on doit avoir

d^u . ^/t"^'u , ^ wy'*"*^ , ^. A"t/ ^ -- A" + ^ V-x- A + ^ -7-3:1 A ■*■ + etc.

[^'^ ^^\ etc. désignant des coefEciens qui ne dépendent que de /i«

Cette équation devant subsister pour toutes les formes que peut

prendre la fonction u , conviendra nécessairement au cas où u=^c' i

mais alors

du d*u JPu

dx dx* dx^ A«=e^*— e'=e'(e*— I ) , A*i^=(e*— i) ( e***—^') =«'(«*— 0% A'x^ = e'(e*— I y A"«= «'( e*— I )-.

Substituant cette valeur de ù^'u , dans le premier membre de l'équation

, du d^u

posée plus haut , et celles de •— , - — , etc. dans le second , il viendra

dx dx

(<*— I )"=; A'»+u4'A«+* + ^''A"+*+ etc,

d'oh il suit que les coefficîens A\ A"^ etc. doivent être les mêmes que ceux du développement de ( e*-»- 1 )" , puisque Taccroissement h doit demeurer indéterminé ; il ne peut d'ailleurs exister aucune difficulté à regard des coefficiens différentiels de 1^ 9 qui se déduisent tous des puissances de du par le changement indiqué dans les exposans*

865. La même relation entre les puissances et les différences se retrouve dans les fonctions d'un nombre quelconque de variables , et pour la mettre hors de doute ^ il suffira de considérer le cas où u dépendroit en même tems de x et de y. Si Ton conçoit que ces deux variables deviennent respectivement x -^h et j^ + A , la fonç* tion u se changera en

Des DiFfÈRENCES. l^