Occupons-nous maintenant de transformer les puissances

du premier ordre, />*, en fonctions de celles du second , [/^] , [/?] , etc. Pour cela soit

et supposons que n devienne » + i ; à cause de f>"+*=/F".^^ on aura

/+'=:^/»[/»] +5/'[/»] + CpIp ] + 2>/'I>] .... +i»«'[/'] + Nplp-\ ;

i> e^ Différences, 79

mais de [/'] = [/'](/» — «) on tire /»[/»] = [^] + nC/»]

n — 1 n— 5 fl— j n — 2 «— |

substituant ces valeurs, il viendra

ii+i

Le second membre de cette équation donne la manière de tirer

successivement le coefficient d'une puissance quelconque de ceux

de la puissance immédiatement inférieure ; si Ton fait /z=o , il en

résultera p=^[^p^ et comme \^p^=Pf on en conclura j4=i.

Ce premier coefficient étant connu , tous les autres se forment

avec la plus grande facilité ; et c'est ainsi qu'on a construit la table

ci-dessous.

P'^lp]

etc.

On arriveroit à l'expression générale de p*^ avec le secours de l'intégration; car, par l'expression de /?""*■*, on a

AB = nAy AC={n — i)5, AD=z(n — i)C, etc.

or -rf étant i , on trouve 5=s/2=sr n] = ^^-^ = — ^ i- ,

ce qui donne A C = -^ — , et en observant que d'après les

formules précédentes^ (n — i)*=[n— 1]+[« — ï], oh changera a C

5^-^= — ^=-^ , d OU on tirera , en intégrant ,

en

consi.

A=ly

Les constantes se déterminent ici comme après l'intégration des différentielles , par une valeur donnée; et puisque les coefEciens B^C^ doivent s'évanouir lorsque /2=o , il s'ensuit qne les constantes mises à la suite de leurs expressions doivent être supprimées.

Il est aisé maintenant de poursuivre , c'est pourquoi nous passerons aux puissances négatives , et nous ferons.

;,-=^[^ J + 5 [/^] + C[/.]. . • . + iW [/> ] + JV[;.] + etc.

En multipliant les deux membres de cette équation par/^^ nous aurons

-.n — n— I — ^ff— 2 .•^n'-m/n — «....«^i

/,-+'-^/.[/>] + ^7» [/»]+ <?'[/']. . . . + Mplp] +Np[p-\ + etc.

[/'1=[/'] (/'+«) d'où /.[/;]=[/»]-«[;»]

etc. cic.

d'où nous conclurons

;,-+'=^[/,3+ ^[/']+ ,f[/']---+ An[^]+ etc.

résultat qui ne diffère de son analogue dans le n'. précédent , que par le signe de /z; et comme tous deux coïncident lorsque r=o« on est en droit d'affirmer que le second doit se déduire du premier , en y chargeant simplement le signe de n. On prendra donc

etc.

et

DES D I F F E R E N C E S. 8l

et Ton voit que la série ne s'arrête plus comme pour le cas de Vexposant positif.

On peut former successivement les valeurs de f^p^^y /^"% etc. en partant de la valeur de f" qui est i , et en faisant en conséquence /2=i, dans l'expression de /?~""*"* rapportée plus haut, laquelle,

à cause à,^f'=\jp\ j donne jé^i , J5— -^=0, C— iiï=o,...A^— (i + /w)Ai=o,

d'où on tire

/^""'=[/?] + 1[/]+ 1 . i\p]+ 1 • i- bL/']* . . . + 1 • 1. 3 (''2+ 0 L/'J+etCw

Supposant ensuite n=x , la puissance />"""+•' se changera en p"'; en la comparant au développement ci-dessus > il viendra ^==1, Jï — 2-^=1, C— 3J5=i.i, etc. et par conséquent

/^y -[7] + 3[7] + "M+ etc.

En continuant ainsi , on trouvera

P"=(p] + 6[7] + 3 5 Ip] + etc. (*)• 904. Avant de terminer l'exposition des propriétés générales des

puissances du second ordre , il nous reste à montrer comment on ex-