IT— I

prime la fonction [z^+j], par le moyen de [/'],[/'], etc. Puisqu'on a [/^] = [/^}^/' — «+ i)j il s'ensuit que

\^p^{p+ i)=[/']+'2M ; mais en développant l'expression [/?+ 1] ,

(*) Les formules de Stirling ne sont pas tout à fait les mêmes que celles-cî ,

parce que n'ayant pas apperçu la loi de continuité qui lie [^J à [f? J , il prit pour

analogues, dans le système des puissances du second ordre, les expressions p et — ,

qui ne le sont que dans celui des puissances du premier ^ et il trouva en conséquence

etc.

résultats qui s'obtiennent en divisant par p les deux membres des valeurs de f *, p^^f etc. rapportées ci-dessus.

appendice. L

8i C H, LDt/ Calcul

11 est aisé de voir que [/'+ i ]=(/^+i )[/^J* <>" ^"^* ^^^^

Maintenant si Ton met p+i ^ pour />, il viendra

et substituant dans cette équation pour [/'+ i] et [z'+i]» leurs valeurs déduites de la précédente , soit immédiatement , soit en y changeant n en /z-— i ^ on trouve

«—1 ff— 1

En écrivant encore p+i ^ au lieu de /^^ et en opérant comme cidessus ^ on obtiendra

l>+3] = W + 3«b] + 3'»(«— 0^]+'^('»— 0(^— ^)W- L'induction tirée de ces résultats , dans lesquels les coefEciens numériques sont ceux du binôme, nous conduit à cette formule générale :

+ [/][o] ï:n]lp]+[/][o] [n] [/]"+ etc.

qui peut se vérifier par un moyen analogue à celui que nous avons employé dans le n"". 86o. Soit pour cela

[/' + î3=[/']+-^[''k/'r+^t'^][/'] + C[/2][/.r+etc. et changeons ^ en g+i j nous aurons

mettant au lieu des puissances de p+iy leur expression déduite

de l'équation [/>+i] = [/?]+« [/^] , nous obtiendrons

[/' + ?+ l]=[/'] + ^it^']W + ^.W[>] + <:l[/2][;>]+etC-

résultat qui montre évidemment que les coefEciens j4 , S , C, etc. suivent dans leurs accroissemens les mêmes loix que ceux de la puissance q du binôme , et doivent par conséquent demeurer identiques avec ces derniers , puisqu'ils l'ont été à leur origine»

DES Différences. 85

905. Retournons maintenant à l'intégration des différences ; passons aux fractions rationnelles, et supposons-les décomposées en fractions simples, comme pour Tintégration des différentielles ( n\ 364 ). On pourra toujours intégrer parmi ces dernières chaque couple de la forme

A+rf + A X-^A

car il est évident que

A ji^ A

^ + tf +A x-^-d x+a

et en prenant Tintégrale de chaque membre, on arrive à

2 < ; > = — — I- const.

l x + û + h x + a ) jf+tf

Il est à remarquer que ni Tune ni Taulre des fractions dti premier membre ne peut s'intégrer.

Soit pour exemple 7 . La décomposition de cette

A*( V -|- nj\^X -J- ihj

fraction en fractions simples conduit à

tx + ih I I I I 1 r

^^— iT-: n = -2 - 4- -

s ■ ... -: = - 2 - 4- - s -T- rX

x{x+h){x+xh) h x h x+k h x + ih * par la formule générale obtenue plas haut , on a

et par conséquent ^ 2^=2 ;

en substituant cette valeur , on trouvera

mais

'ix+ih 1 Ç t. I ) II £ = « ^ 2 - — 2 > — ;

{x + h){x+ik) Ai x+h x+ik } hx

2 I --; ; i = - — r i il Viendra donc

t x+xh x+h j x+h

X 1 — . z^ — . — : — — — 1- const. = — — ^ + const.

x{x + h){x+%h) h{x + h) hx hx{x + h)

On auroit pu mettre immédiatement la formule proposée sous