const
84 Cn. \. DuCalcvl
une forme évidemment intégrable 9 en l'écrivant ainsi t '
'jx+xh I I I I 2 ï 2 I ^
et on auroit conclu sur le champ
3r+iA II 11
x{x+h){x'{'%h) ~'^ hx'^ h x+h
Cet exemple suffit po«r faire connoitre Tesprit de la méthode ^
et Ton voit par ce qui précède combien il doit être rare de tomber
sur des fractions rationnelles, qui soient la différence exacte de
quelque fonction primitive. En revenant sur ce sujet par les mc-
thodes d'approximation • nous ferons voir que la fraction ,
n*€St pas même intégrable par logarithmes , comme lorsqu'il s'agit des
di£Férentielles.
906. Les cas x>ù Ton peut intégrer les différences irrationnelles
sont si rares et si particuliers, que nous ne nous y arrêterons
t pas ; on en reconnoîtra d'ailleurs les caractères , en différentiant
des fonctipns irrationnelles , et nous passerons en conséquence tout
de suite aux fonctions transcendantes , parmi lesquelles il s'en trouve
plusieurs qui se prêtent assez facilement aux intégrations. De ce
nombre est la fonction a'.
a* En effet , puisque A . d*=a'(a^— i ) , il s'ensuit s^ '=-j h const.
On intègre aussi l'expression a'y , lorsque y est une fonction rationnelle et entière de x ; car si l'on fait y=A+ fix+yx* + J'x^ + etc» que l'on suppose ensuite
j:a''{<t + lix+yx^ + S^x''+etc.)—a'{4+Bx+Cx^ + Dx^+etc.) et qu'on prenne la différence de chaque membre, on trouvera
K TP -rr ^ T y {^a'(j4+Bx+ Ca*+ etc.)
développant le second membre et divisant tout par <z*, il viendra *+j8jf+>.x*+J*«' + etc. =(a*— 1)(^+ Bx+ Cx^+Dx^+etc.)
+a*A (5+iCa:+3Z)a:»+ etc.) •+d*A*(C+3Z?A-+etc.) •+«*AX^+etc.) + etc.
DES Différences. 85
Comparant les termes semblables dans chacun des membres , on aura
« = — ^+a*(^+ iîA+ c:A*+Z?A^+ etc.
Iè=—B +a^(B + iCh + ^Dh'+ tic.)
y C+a^((7 + 3Z?A+etc.)
J^ = — /?+a\Z>+ etc.) etc.
Si pour donner un exemple on veut terminer ^yx^lz. fonction jk ^ on fera J^so*, ce qui donnera i^so, et on trouvera
^i8 — iCû^A a\^—xyh) — fl
rt— ^iZ*A— C^*A* tf**(*— /3A+>A*)— tf*(itf + i8A— >A') + *
ssin;if=s ^^ = - — ' fx^~* — sr***^-^*)
d'où on tirera s a'( a + fix + yx^)==- const. +'
/f^^^(^— j9A+>A^)— ^^(2^+gA— >A^) + ^ (^^(g— 20.A)— /3):c yx' }
007. Venons maintenant à l'intégration des fonctions circulaires. Elle s'effectue par les formules trouvées plus haut ^ lorsqu'on fait usage des expressions exponentielles de ces fonctions ; on a ^ par le n^. 37 de llntroduction , et par le précédent ,
Le dernier de ces résultats étant transformé en fonction de sinus et de cosinus ^ devient successivement
sin(:r— A) — sinJt -
2 sin x^ =1 •: r: — V ^o^st.
2(1 — cosA)
sinor— sin(A: — A) cos(;f— ^A)
= — ■ -— r-r^r f- COnSt. = -— : ——^ + tf(7«J/.
86 Ch. I. Du Calcul
au moyen des relations
I— cos^=2( sin \A)\ sîn^— sin5=2sîn^ (^— 5)cos î (^+ ^ )• On étendroit sans peine ce procédé à beaucoup d'autres fonctions du même genre , mais il paroîtra sans doute plus commode d'opérer immédiatement sur les sinus et les cosinus y ainsi que nous allons le faire.
908. 1% L'équation cos-^ — cos5= — isin^ {A — 5)sin7 (^+^) y donne
ACOsa- = cos(;ir + A) — cosx=: — isin^Asin (x + fA), d*oîi on tire
. , . ,. ACOSJir . ACOs(a: — |A)
sm(Ar + lA)= -r-TT^ ^^ smx= 7— Tu »
^ ' isin^A ism^A
en écrivant x — ^ A , au lieu de a: ; prenant ensuite l'int^rale de
chaque membre de la dernière équation ^ on obtient , comme ci-dessus 9
cos(a- — ^A)
ssm jr = . , , — - + const.
z sin ^ A
2". L'équation sin-r^ — sîn5=zsinY(-^— -B)cos7(-^+5), donne
Asinx=:sin(A: + A)— sin:»r=: zsin jAcos (a;+ jA) ,
d'où il suit
, . ^ A sin X A sin ( a: — ^ A )
C0S(.V + ^A)=. Tf COSa:= r— TT t
sin(x-.fA)
r COS a: = T—r-, — ^ + const.
z sm 7 A
3*. La conversion des puissances de sinus ^ de cosinus et de leurs produits , en fonction de sinus et de cosinus d'arcs multiples , ramènera aux deux formules que nous venons de trouver , l'intégration de la fonction générale sinx^^cosA^^ lorsque les exposans m et n seront des nombres entiers positifs.
En eflfet , cette fonction sera changée en une suite de termes de la f orme .^ sin j^ :ir , ou ^cos^at^ dont les intégrales se déduiront de celles de Asvax et Azo^x ^ en écrivant ^x et ; A, au liçu de * et de A ; et il est facile de voir que l'on aura en général
z sm 7 ^ A
z sm j f A
DES Différences. 87
Lorsque le développeioent de la fonction sînjc'"cosAr" contiendra des termes constans , son intégrale renfermera Tare de cercle x ^
puisque Xj4^zj4^x''=A-',
909. On peut encore pousser plus loin rintégratlon des fonctions circulaires et obtenir la fonction primitive dont la différence est x^'iitïx^ ou A^'cosx', je' étant une fonction de* ayant pour différence première la constante A'. Les développemens des fonctions A{{x^hycos(x'—ih')} et a{(;c — A/sinC^r'— ^A')}, donnent les équations
A { (x— A)'^cos( A-'-- i A') } r^AT^^cosCjc' + ï AO— C^c— A )'^cos ( ^'— î A' ) .
:ï=;c''{cos(Ar'+ ±A')— cos(a:'— iA') } +
\l :c^-^h^ PiETlll ^^^h^ ^K/^-0C/^-0^.-3A3,tc. I cos(r'-. 1 k') ,
A{(Ar— A/sin(x'---^A')}=A:^sin(.r'+TA')— (je— Aysîn(;e'— lAO
=jc''(sin(je' + ^A')— sin(x'— f AO} +
Il i.i I.2,3 J
Substituant dans Tune la valeur de cos (x'+ ^ A') — cos ( :e'— 7 A' ) , et dans l'autre celle de sin(*'+^A') — sin (*•'— ^-A'), il viendra
A { (x-.A)''cos(jt:'— i A') } =ï — a :c''sin*'sin ^ A' +
[L^p-^h^ -P(£lll2;,^.A.+^i^r:l)i^=fix'-A3-=tc.]cos(x'- i AO, U 1.2 1.1.3 J
A { (r— A)'sin(*'— ^ A') } = i *'cosx'sin i A' +
Il 1.2 I,2.3 j
tirant de ces dernières la valeur de oi^sitïx^ , celle de x^qo%x' , et prenant l'intégrale de chaque terme du résultat , on aura
,. / (a:— A/cos(a:'— ^AO
2 sin ^ A' ^
-Ar^ff A2^^->cos(^'~iA'>--^ (^ -7' ) Â*x A-'-cos ( .v'- ^ A' ) zsm 7 ^ t 1 ^ * ^
/'(/>-î)(/'-'^) ^,^ ^^,çQ5 ( ;,' 1 A' ) — etc. ] + const. i.a.3 J
88 C H. l. D 1/ Calcul
S x'cos *'= ^ —^n,
isin^A II i.z
^P(P~i)(p—^) ^, j ^-jjj^ / ^. 1 ;i'x etc. ] + CO/M/.
Si l'on Élit d'abord p=i , ces formules donneront
, (r— A)sin(x' — ^A*) A ,
et comme, par le n"". précédent , on a
