in(Ar —1^0= > , , . , îCOs(x — f A
^ isin^A ^ ^ asm 7 A
il en résultera
(:r-.A)cos(x— iA') hsln(x'—h') ism^A (ism^A)*
^ (jr— A)sin(a:'— lAO Acos(a:'— A')
zsmfA' (zsmjA )•
Avec ces expressions on obtiendra celles de :zx*sinx\ îx*cosx', çn faisant /?=:jL, puis celles de zx'sinx', SAr^cos:r', en faisant /y::^} , et ainsi de suite; on sera donc en état d'assigner l'intégrale des fonctions j^ sin Jt , j^ cos ^ , dans tous les cas où y sera une fonction rationnelle et entière de x.
n est bon de remarquer que si Ton prend x=ax^+b^ ce qui donnera hzz^ah'^ on conclura immédiatement
X^ax'-^-bfsyXix'^ "^{ax'^ bycosx\
de s x^sin x\ S x''cos x\ en changeant hors des sinus et des cosinus seulement, x en <ix'+A et h en ah'. On n*a pu, jusqu'à présent 9 faire pour les tangentes et les sécantes , ni pour les fractions ayant pour dénominateurs des puissances de sinus et de cosinus , ce que nous venons de faire sur les fonctions rationnelles et entités de ces derniers.
DES Différences. 89
910. L'intégration par parties se pratique sur les différences aussi bien que sur les difFérentielles. Soient P et Q , deux fonctions quelconques de a: , et faisons 2PQ = Q2P+î,î étant une fonction inconnue de la même variable. En prenant la différence de chaque membre de cette équation ^ on aura
/>Q=(Q+aQ)2(P+aP)~QsP + Aç; développant et réduisant , en observant que QsaP=PQ , il viendra
o = aQ2(P+aP) + Aî,ou aç = — aQs(P + aP), et par conséquent
ç=— 5:(aQs(P+a/>))=— SaQsP. , 2PQ=QsP—2(aQsP.),
Soit encore 2(aQsP,)=aQ2'P, + ;;;(*); si Ton prend les différences et que Ton opère comme ci-dessus, on trouvera successivement
aQsP, = (aQ+a*Q)2(sP, + P,) — AQs*P. + At
0 = A*Q2(2P.+ P,) + Aç, ou Aî = — A»(2S(2P. + PJ.
Il est facile de reconnoître que
2P, + />,=S/>,+ A.2P,= s(P. + A/>,) = sP., et Ton aura par conséquent
Pour aller au-delà de ce résultat , on fera 2(a*Qï»PJ=a'Q2^P,+;5;, et on obtiendra
A*Q2*P.= ( A^Q + a3Q)2(s^P.+ 2/>.)— a»Q2'P.+ Aî
et comme
2»P.+ 2P,==ï-P.+a.s*P.=2*(P.+aPJ = 2^P5 ,
on parviendra à
2P Q= QzP~A Qs»/>,+ A^Qz^P.— x(A^Qs'p5).
En général, soit 2(a"Qs"P,j*) , le terme auquel on arrive après n
opérations semblables aux précédentes ; si l'on suppose que
2(a'^Q2"P„) = a»Qs"'^T;,+ î,
et qu'on répète sur cette équation ce qui a été fait sur ses
analogues , on en tirera l'équation
(•) Icî, de même que pour les difiércnces, ou écrit 2*-Y , S^-X", etc. au lieu 4c2(2Jr),2(2(2X)),ctc,
90 C H. l. Du Calcul
qui renferme la loi de cette expression élégante , donnée pour la première fois par Taylor , dans les Transactions philosophiques :
2PQ= QsP— aQs'P, + A'QS^P,— A^QS^P, + A^QS^P^— etc. Si l'on y met pour P^ , P^, P^, etc. leurs valeurs en P , et qu'on effectue les intégrations qui deviennent possibles, elle se change en
SPQ=QSP— A Q(£*P+ SP)+A*Q(2^P+2X»P + 2P)
— A^Q(s^P + 32^P + 3x*P+ 2;P)+ etc.
C'est sous cette forme que Condorcet Va présentée dans son JSssaî sur ^application de t Analyse à la probabilité des décisions^ p. 163.
Elle s'arrête toutes les fois que la fonction Q mène à des diffé*^ rences constantes dans un ordre quelconque ; et si la fonction P est susceptible d'un nombre suffisant d'intégrations successives ^ on parvient à l'intégrale exacte de h fonction PQ.
911, Il $uit de là que l'on peut intégrer, i"", toute fonction de la
Aùl''+ Bx^+Cxy+
forme •
quand les exposans du numérateur seront entiers et positifs. 1% Toute fonction de la forme
a'^'^Jx^^ Bx^+ Cxy ) ,
quel que soit le signe de m.
3**. Enfin toute fonction de la forme
sinjc"»cosAr"(^A:f + 5^:^+ Cx^ ) ,
pourvu que m et n soient positifs , et en changeant le produit sin jc*"cos x" en sinus et cosinus d'arcs multiples.
Ces remarques sont fondées sur ce que les fonctions [r], a"**, sinjf et cos X j sont susceptibles d'un nombre quelconque d'intégrations successives ( n°*. 901 , 966 , 908 ) ; elles méritent d'autant plus d'attention qu'elles comprennent à peu près tous les cas oii Ton peut intégrer les différences qui ne dépendent que d'une seule variable , et qu'elles conduisent par conséquent à la sommation d'un grand nombre de suites ( n% 897 ).
911. On exprime aussi l'intégrale d'une fonction quelconque «, par le moyen de ses différences. Il suffit pour cela d'observer que si l'on fait 2« = Z7, et que l'on désigne par U^^ la valeur que
lyES Différences. 91
prend £/, lorsqu'on y change x en x — nh , on passera de i/ à i7„ 9 par la formule du n"*. 873 , qui devient dans ce cas
et donne par conséquent
après qu'on y a substitué pour Ai7, A*i7, A^i7, etc. leurs valeurs déduites de Téquation £/=Stt.
Mais il est visible que i7— i/^ n*est autre chose que l'intégrale de la fonction u , prise depuis x , jusqu'à X'-^-^nh ^ puisque d'après les conventions établies
V =«'-i+«-a + «'-î+ +«-,j + «^-,t-,+«^-n-.+ etc.
^^n— »-«-« ^U^n^^-^- etc.
on aura donc • •
en se rappelant que par cette valeur , l'intégrale est renfermée entre les limites x et x — nh.
Quoique pour rendre le passage indiqué ci-dessus plus facile à saisir , nous ayons supposé que le nombre n Tût entier ^ il peut néanmoins ici ^ comme dans la formule du n**. 873 , être quelconque; d'où il suit que si on veut pousser l'intégrale jusqu'à l'origine des jt, on aura encore
9c^ désignant le rapport de ^ à A.
Lorsque la différence h de l'abscisse devient évanouissante et qu'on prend les limites en conséquence, la valeut de ^Sa devient celle de fudx ^ que nous avons donnée dans le n"". 485 , comme l'expression générale de u^^ se change dans la série de Taylor ( n% 86 1 ).
9^ Ck. î. DuCalci/i
En efFet, on trouve successivement suh=z u i — -I — i 1* ^ — Z^^Jl — I — i + etc.
• xk \ x'y Au V x' /\ X J A*tf :s.uh'=z — u 1 — + etc.
d'où on conclura
-, ^^ du x^ d^u .
fudx=iX u — ^ H : -j-^ "* ^^^•
