dx^ 1.2.3 dx
si Ton fait attention qu'à cause de x .-= x^h , le rapport x' augmente à mesure que h diminue , et devient infiniment grand lorsque cet accroissement s'évanouit.
On parvient encore à une expression de s 2^ , qui diffère de celle que nous venons d'obtenir, en ce que les quantités UjAu^ a^u , sont relatives à l'autre limite de l'intégrale. Supposons qu'on demande-la valeur de l'intégrale x«, prise depuis x = a jusqu'à x = a + nh: on désignera alors par -^ , a^, a*-^, ce que deviennent les quantités u y au , a*u , etc. lorsqu'on y change x en iz ; on aura , par la formule du n''. 873
n(n — i) ^ nfn — i)(n — 2) ,^
et en prenant depuis -r = o jusqu'à x^==-x*hy il viendra*
, , ., ^'(^—0 .f x'Ix'-^iStx'^x) xu — j:A'=x'j4'+ -r^ JaJ'+--^ 1^ 1 a*A'+ etc.
formule dans laquelle J' représente la valeur de u dans l'hypothèse oïl a: = o.
913. L'utilité dont est l'expression de xuy pour la sommation des séries , a porté les Analystes à s en occuper beaucoup , et ils sont parvenus à lui donner plusieurs formes très-élégantes. Euler la fît dépendre des coefficiens différentiels et de l'intégrale/^ ^ ^r. On arrive à ce résultat en partant de la formule
dzk d'i A» d\ h^
Aî=-^- + 7:7 7— + -3-7 + etc.
*• dx i dx^ J.2 dx"" 1.2.3
DÈS Différences. 93
qui donne 7 = -S-^+ — s— ^+ ^t-J + ^^^«
Si on fait — = «, il viendra i^zfudx et
fudx=ih^u + «tA^s—- + /SA"^!:- — — etc.
dx dx^
en représentant par a, f^ ^ y ^ etc« les coefficiens numériques; on tirera de là
2 tt = -fudx'^ a A S -7- — i8 A*s -p— — etc.
A fl:i: a ;t
Si maintenant on prend les coefRciens difFcrentiels de chaque membre,
dm'^U du , . # 1 / ./.
en observant que —^ — = 2 — , ce quil est fort aise de vérifier,
on obtiendra cette suite d'équations
du t . d^u ,^ d^u
dx h dx^ dx^
d^U i du , d^u . ^^//
S— ^=-r-— — ctAs— 5 — ^A*s— -
d^u I ^»// , ^^i^ , cPu .
i/:*:^ A^a:* dx^ dx^^
etc.
on se servira de ces dernières pour éliminer successivement de la
valeur de s 2/ les fonctions
du d^u d^u
^7~* 2 — -, 2:7-3^ etc.
dx dx* dx^
et il est aisé de voir que le résultat sera nécessairement de la forme
I du d^u
xuzm-'fudx +Ju+ J5A-— + CA' 1- etc.
A dx dx*
La détermination des coefficiens -rf, B , C, etc. s*opère ici comme
dans le n"*. 864 , par la considération de la fonction particulière €^^
pour laquelle on trouve
«* — I ^ dx" *
^4 C Vl. l. D u C Â L c u L
ce qui montre que les coefHciens A ^ B ,C ^ etc. ne sont autre chose que ceux qui multiplient les puissances de h dans le développement
de la fonction -r , réduite en série ascendante par rapport
à cette lettre.
914. On obtiendra de la même manière, et sans plus de diiH*' culte , l'intégrale répétée i^'^u ; car la formule
conduit à
z rsA^'x" — - + tth'^^j!^ ^ -4. & hr^^jT ;
faisant ensuite — ^ = «, on aura {=/'"/i^j:% et par conséquent
dx
I du d^u
jTu r= —Tu 4 x"^^ flt h s"*— -K jS A* j;"*— - + etc. . A"**^ ^Jf dx*
prenant les coefficiens différentiels de chaque membre de cette der^p nière équation ^ on formera les suivantes :
du I , . , d^u , d^u
jT—-- = — f^-'u dx"^"'-^ aAs"*-— — /?As~-— r + etc, ■
dx h dx* dx
ï"* = — r*""*/^ dx^^^^ «fc A 2'" ■— r fi A s" 1- etc.
dx* hT'' '"^dx^^-dx^^^^
etc.
du d*u
à 1 aide desquelles on chassera x"*— , ^'^'T^ 9 ^^^* ^^ l'expression de ^ u. L'équation finale pourra être représentée par
^, du ^ . l/*/Z
^,jV«+i>A-^+(2A.4,etc, et deviendra
+ iV + P A + Q A»^ etc.
les coefficiens ^ ^ B,,,,,,,,,Mf N, etc. sont donc encore ici
to E s DiffÈRENCES. 9$
ceux qui multiplient les puissances de h dans le développement
de --J-— — ; et déjà nous ne pouvons nous empêcher de remar«
^uer j entre les intégrales et les puissances négatives , une analogie qui nVst que la continuation de celle que les différences ont avec les puissances positives : en sorte que Ton peut regarder les intégrales comme des différences d'un ordre dont Texposant est négatif. Il est visible en effet que d après ce qu^on vient de voir , on peut écrire
du
HCi
pourvu qu après le développement on change leâ puissances posi-
du^ cPu , . du~^
tîves -7— en — -, et les puissances négatives -—3- en pudx^i
ax' dx'' dx ^
et puisque Ton a ( n^ 864 ) ,
(du y^
it est évident que Texpression de x^^u çst comprise dans celle de ù^^'u^ dont elle se déduit en affectant l'exposant m du signe '^^
91 ç. Toute fonction qui pourra se réduire à une suite de termes contenant des puissances entières ^ soit positives , soit négatives ^ de A /i et de 2 /^ 9 sera nécessairement égale à une pareille fonction
de e^* — 1 , pourvu qu'en développant les deux membres on transporte aux caractéristiques A et ^ les exposans des puissances de A 2/ et de ^ 2^ , et qu'on change en intégrales celles qui répondront à des exposans négatifs. On doit conclure de ceci t i"*. que l'équation
du
aura également lieu de quelque signe que soit affecté l'exposant m , et comme elle se réduit à
{log(i + A«)}'»=A-;^,
en aura ^ûmest négatif,
ffi
9<5 C H. l. De/ Calcul
et déjà dans le cas de m positif nous avons eu ,
{\og{i + Au)y=h-— ( n\ 867).
2\ L*équation évidente
A' du , 'h' du ,
qui donne
{(i +zi«)^— !}'"={ «^* — 1}% "
et d'oh nous avons tiré
pour l'expression de la différence de la fonction u , prise en supposant que X varie de k\ subsiste encore dans le cas où m est négatif, et conduit alors à
s' représentant ici l'intégrale de la fonction u , quand la différence de X esi h\ De[cette équation et de la précédente , on déduit cellçs-ci :
. S'"*tt =
{ (i + àu)^—i }'"
qui ne sont à proprement parler que deux cas de la même équation ; Tun se rapporte à l'exposant + /w et l'autre à l'exposant — m.
Léibnitz remarqua le premier sur les différentielles des produits de plusieurs variables l'analogie qu'elles ont avec les puissances; il montra bientôt après que les intégrales en âvoient une semblable avec les puissances négatives. Cette connoissance demeura stérile jusqu'au mémoire que Lagrange publia sur ce sujet en 1771 ; il généralisa les idées de Léibnitz , les étendit aux différences , et en déduisit les formules qu'on vient de rapporter ; mais ces formules n'étoient encore que les résultats d'une induction , , ^ la vérité très-
^ne^
DES Différences. 97
fine , et TAuteur les regardoit comme très-difficiles à prouver directement , lorsque Laplace en donna , dans le septième volume des Savans étrangers , des démonstrations qui réunissent l'élégance à la simplicité ; il ajouta quelque chose à ce travail en 1777 : c'est ce dernier Mémoire que j*ai suivi dans ce qui précède. On verra dans le Chapitre II, ces mêmes formules faire partie d'une Théorie complète des suites , due entièrement à Laplace ; mais dès à présent il paroitra sans doute que l'analogie des puissances avec les différences est précieuse pour trouver , retenir et généraliser des expressions qui couteroient beaucoup de peine par d'autres méthodes.
