La formule s"*// = se développera par le

procédé dont on a fait usage dans le n\ 866 , à l'égard de la fonction (c* — I )% et Ton aura les relations des coefficiens des puis-

du sances de la quantité -7- '' > qui tient ici la place de « , en écrivant — m y au lieu de n , dans les équations de la page 17, Il vient par cette opération

4^'^= — -(/;2.-3)y^''' + — (/72— 2K' l—{rn^i)A'^

et on a par conséquent

[ ==("— V-A-'"+^f^V'^'A-'"+'+^f— V-^^^ etc.

du \dx/ \dx/ \dx/

changeant les puissances négatives en intégrale , d'après la règle prescrite dans le n*". 914 9 il en résultera ^

x^u= —f-udx"' + -j^r-'udx'^'-'+ j^ r^'u d x"--- + etc.

Appendice. N

98 C H. l. Du Calcul

Si Ton change le signe des coefficiens affectés d'un nombre impair d*accens, ou qu'on écrive

— -^/"-'« '/*••"-'+ etc.

les lettres A\ A", A", etc. dépendront alors de ces équations :

iA" = i(m—i)A' +—m

lA" = -{m—x)A" Jf.—{m-^i)A' +— ^ m

etc.

917. Examinons en particulier le cas où /7z=i ^ dans lequel on a 2 tt = -/i/ dx^Au +A' — h —A'-—- A*+ etc.

A dx a A*

en observant que le terme — A'f'^'''udx'^''' devient

—Ap-'u dx'''= —Apu d x^= — Au.

Les coefHciens A\ A\ A' 'y etc. donnes alors par les équations

etc.

s'évanouissent de deux en deux , en commençant au troisième ;

DES Différences. 99

c'est-à-dire, qu'on trouve A"=o^ ^''=0, -4''"=o, et qu'on a par conséquent

s « = ^fu Jx — ^u+ A'-P- A— ^"^— ^ k^ + A'"'-^ A^— etc.

h 1 ax dx dx

918. On s'est beaucoup occupe de la recherche des coefficiens numériques de la valeur de ^u , etc. voici comment Laplace est parvenu à l'expression générale de l'un quelconque , indépendamment de tous ceux qui le précèdent. On a premièrement

en multipliant les deux membres par h^ il viendra

=^+-^,A+^.A«+^,A'+^.A^+ etc.

Cette série étant ordonnée suivant les puissances entières et positives de A , il résulte du théorème de Taylor que

I • Z. . • ./Z atl

en observant de faire A=o y après les différentiations ; cependant si Ton effectue les calculs indiqués , les valeurs A ^ A^^ A^^ etc. se présenteront toutes sous la forme de | : Laplace a évité cette difficulté par un artifice d'analyse très-ingénieux. La fraction

•- — = -— TT se décompose en -r-r — tt— * î

de plus , il est visible que lorsqu'on fait A = o , on a:

{pdhy dh? *

puisqu'il est indifférent d'écrire , au lieu de la quantité h , son multiple p h qui s'évanouit en même tems qu'elle. On tire de là , toujours dans l'hypothèse de A=:o,

dh^ '^ dh? *

Nx

100 C II. I. Du Calcul

en faisant/» = 7 et ^ = n, on aura donc

dh" dk

1" </A" i" d)C dU"

d*oît l'on déduira

U'*— ij I UHiJ

Si Ton donne à — ; — la forme A(w^+ i ) *, on obtiendra par

dh" 2"— I dh

équation dont le second membre ne devient plus ^-, quand on y

met o pour h.

la formule du n"". 107 ,

+ /2^/z./"-\(c^^+ i)-^+ hd\U^^ i)-';

la difFérentielie dh étant prise pour constante, il ne reste que les deux derniers termes du second membre , et la supposition de A=o fait encore disparoître le dernier, en sorte qu'on a seulement

lorsque A = o, ce qui donne

</A» 2"— l dh"-' i"— I ^A"—

et par conséquent -^.= ,.,,3.. .. .(„„)^,„,) ,,.-. ♦ Si maintenant on calcule les différentielles successives de la quantité —i , pour en connoître la loi , on trouvera

.f i\ d^SJ—\

DES Différences. loi

et Von en conclura que l'on doit avoir en général

+ etc.

J?, , B^^ B^y etc. désignant des coefHciens numériques indépenàans de h. Il est d'ailleurs évident que le numérateur de cette fraction ne doit contenir que des puissances positives de ^S et que par conséquent le second membre de Téquation

doit s'arrêter à Bj^^t\ d'oîi il suit que si on développe le premier en une série descendante , ordonnée suivant les puissances de e\ cette série doit aussi se terminer à c^. Or on a

\^^, ^ ==f( ^^^— i"""'«"'H 3"-*r^^— 4"-'r-i'^+ etc. } ;

le signe — se rapportant au cas où n est pair et le signe + à celui où il est impair i on obtiendra donc

=f(«*+ I y {<î"*— i^'^e-^HB""'^"'^— 4"'"e"^^+ etc.}

en observant de s'arrêter dans le développement du premier membre au terme multiplié par e^, parce que tous les autres doivent évidemment s'évanouir. D après cette remarque, il viendra

102 C n. l. D u Calcul

Si Ton divise les deux membres de cette équation par (^+i)% qu'on fasse ensuite â = o, dans le second, il en résultera

dhr 1

n— I -fi— 1

«-. — 3— >;2^ j»->: : i '^ 1 \ +etc.'

et enfin

Il ne faut pas oublier que le signe supérieur convient au cas où n est pair , et le signe inférieur a lieu dans le cas contraire.

Cette valeur ne peut être employée que quand «> i , car elle devient infinie lorsque n-=\\ et on prouve avec la plus grande facilité qu'elle s'évanouit dans tous les cas où n est impair. En effet , par la formation des différences successives ( n''. 860 ) , et en mettant à part les termes dans lesquels les facteurs de la forme (/z — i)"""* deviennent de celle-ci (— z^)""', parce que /l'emporte sur /i^ona

-=(„,)«- ^(«i)-« +^^1ZI> («-.3)-' ±(-^1)—

etc.

mais comme il résulte de la formule du n*. 864, qu'en général A",:r"'"*— o, les premiers membres des équations çi-dessus s'éva-» nouissent', et les seconds donnent alors

DES DtFFÉRENCES. I03

(,2— l)"- (;2 i)— + J^ ,V^.Xn-i^ ,

(rt— 1)"-* (n— 3)"" + -^^ i(«— 4)"-'...=z"-— «

en ne comprenant dans les premiers membres de chacune de ces dernières équations que les termes où la quantité n^^i est positive entre les parenthèses des puissances /z— »i. Cela posé, il est évident que le numérateur de l'expression de jÂ^ renferme un nombre pair de termes lorsque n est impair ; si l'on substitue à la place de la première moitié de ces termes , qui forment les seconds membres des équations précédentes , leurs valeurs , et que l'on fasse attention aux signes de la seconde moitié qui se déduisent de celui du dernier terme , on aura le résultat suivant :

(«-1)"-- -(«-1)'-' + -Vt-('*-3)'-— . . .

+ («-3)"-'- 7(«-4)"- + -Vt-^(«-5)'"'

dans lequel les lignes placées à égale distance de la première et de la dernière sont composées de mêmes termes , mais pris avec un signe contraire ; or le nombre de ces lignes étant pair , leur assemblage sera identiquement nul ; ainsi J^r^^o , lorsque n est impair. Lorsque n est pair , le numérateur de A^ a un terme moyen exprimé

104 Ch. I. Du Calcul

et ceux qui sont placés à égale distance des termes extrêmes sont affectés du même signe y en sorte que si Ton met à la place du dernier, et de ceux qui le précèdent, jusqu'au terme moyen exclusivement, les expressions équivalentes

1 , 1"-"— 72 , 3'»-'— i^-'/i + ^i 1 , etc.

il viendra , en réunissant les termes semblables placés à égale dis« tance avant et après le terme moyen ,

le signe supérieur ayant lieu quand - est Impair, et le signe inférieur lorsque ce nombre est pair. Soit fait -=/>, et concevons

qu'après la substitution on divise par i le numérateur et le dénominateur de jI^ y on aura

etc.

ce résultat étant ordonné par rapport aux puissances de ^ ^ /v— 1 , etc. prendra la forme

+ etc. '

DES Différences. 105

Telle est l'expression du coefficient du terme général de la suite

— i- = UA^J,h+JJi'+JiJi^+J^h' ^Aph''-^ etc.} ,

d'après laquelle on forme celle-ci :

919. Si Ton fait u=x'* dans la formule de l'article précédent, on aura

+ ^6/72(/w— i)(m— i)(/w— 3)(/w— 4K"^A^+ etc.

La série s'arrêtera toutes les fois que l'exposant m sera entier et . positif; le dernier ternie sera

J„, m{m — i)(;n— .2) i-xA"*"',

si m est pair , et

Si ce nombre est impair.

En rapprochant ce résultat de celui que nous avons rapporté dans le n*. 898 , on reconnoîtra l'accord qui règne entre Tun et l'autre. Si on désigne par 35,, 5^^, 7^5, 9^^ , 11^9» les nombres ' absolus , î , 7 , i , 1^ 5 { , etc. qui multiplient les termes de l'expression de la page 70, à partir du troisième terme , on aura

-^e== 7^5« — ; 7 — \ jB^ = 2. 3 .4. 5.6^6

d'où