vV» ^/' V

et comme la formation des coefficiens A, J^y A^^ J^^^ etc. est connue; Appendice. O

to6 C U. 1. D U C A L C U L

celle des notxfbres B,^ B^^ etc. le sera pareillement. Il est visible qu'on peut donner à l'expression de S.a:"* cette forme :

s.:r'"= ix'" + B,—x'^-'k—B.— ^ '^ ' Jt""*A*

rn+i X 2.. 3. 4

dans laquelle

^i=i> ^î=T?> ^5=Tr> ^7=iV> ^9=?6> ^^^* Ces derniers nombres ont été remarqués d'abord par Jacques Bernoulli , qui donna le premier l'expression de la somme de la suite i", i"*, 3 "*,...«"; mais il n'en connut pas la loi; Moivre, dans ses Misullanca analytica , indiqua la suivante :

etc.

Euler trouva d'autres relations très-élégantes entre les nombres 5, , 5^ , ^5 , etc. qu'il nomma nombres de Bernoulli ( numtri BernouUîani ) ; mais il n'en dé couvrit point encore le terme général qui se déduit facilement de l'expression de A^^ ; car de l'équatioa

il résulte ^.^-.,=

( + etc.

DES Différences. 107

Exprimée par les nombres B^\ B^^ etc. la valeur de zw devient

î I ^duh ^(Pu A' s a = y/^ ^^ — - // + j»,— 7 — Byj:j

+ ^ST-^ --T- — etc.

A X 'dxx ^dx^ 2.. 3, 4

*^Ar^ 2.3.4. 5*6

910. L*întégrale fudx qui entre .dans la formule précédente p pourroît en être chassée au moyen de la série

du Jt* d^u x^

/W* = «x~-~+~ — -etc. (n-.48$ ),

qui s^arrête aussi lorsque la fonction u a dans un ordre quelconque

des différences constantes; mais on parvient directement à une

expression délivrée du signe /^ par le moyen du théorème de Taylor

qui, pour les quantités u^^^ u^^^ a/.^ ... 2/.,^ , antécédentes à u^

donne les séries

du h d^u A* ^u h^ d^u k^ «__-+ - - + -- etc.

dx i dx^i.i dx^ l*?'-3 fl^^ 1.1.3.4

du A d^u A* d^u h' d^u h*

«—1— - +4 T^ 9 T^ r+^^'j—i etc.

dx i dx i.x dx^ 1.1.3 dx^ 1.2.3.4

du A d'u A* ,^// h' d^u h^

u—n— - +/2*-j-7 ^«'-7-3 r + ^l—L etc.

dx i dx i.l dx 1.1.3 «* 1.2.3.4

En ajoutant toutes ces valeurs ensemble ^ on trouve

. ^ du h

xu^rznu — ( i + 1 + i .... + n)

+ (i*+ 1*+ 3*....+ n*) — (iH 2^3^... + ^^)

dx I

dx^ 1.2 d'u h^

dx^ 1.1.3

— etc.

désignant par Sn^ \S^^y Sn^^ etc. les sommes des puissances des

termes de la série i , 1 , 3 ,. . . «/s , on obtient cette formule

^ duh ^ d^u h"^ ^ , cPu h'

xu^nu-^Sn.-- [^Sn^.—^ 5/z%--— 1- etc.

dx i dx"" i.i dx^ 1.2.3

io8 Ch, I. Du Calcul

et on a pour déterminer Sn^ Sn^, Sn^, etc. les équations

Sn = zn + n, 5/2*= 2/2*+ «% •î/2^=2/z'+ /2% etc. ( n\ 897 ).

On rendra semblables entr'eux tous les termes de cette expression de 2//, en observant que n = 5'/2% et on aura

^ du h ^ d^u h^ ^ , d^u h^

2// = 5/2**.// — Sn.- ^■A;2*.-— Snr.-—z + etc.

dx I dx 1.1 dx"^ J.X.3

911. Si on rapproche cette formule de celle du n"". 919 > on en déduira l'expression suivante :

h l dx 1.1 dx*

h" dPu ^ , h^ d^u ,^ , , „ , A' eu

qui peut servir à calculer les valeurs approchées des intégrales j et qui se change en

fudx=iSx''+ i)u-(Sx+ ÎB,)- + Sx'.--^

ifu d^U j d^U '

quand on fait A= i , et que Ton part de l'origine des x.

On trouve une autre expression àefudx , qui ne dépend que des différences , en mettant dans le développement de l'équation

-fudxz=:z'

au lieu de Sa la valeur obtenue, n°. 911. En effet, cette équation donne par le changement de a/^""' en 2/^ et de t^u" en «,

-fu dx = j:u+ C,u + C^Mi + C.ùi^u + etc. h

C,j C^^ C^ , etc. désignant des coefficiens numériques faciles à obtenir, puisque ce sont ceux des puissances de aw dans le polynôme

( I— 1A// + jAtt»lA//^+etC.}-\

Cela posé, si Ton chasse 2// par le moyen de la forpule citée, il viendra, en prenant A= i , ce qui rend x'=^x ^ et se servant

DES Différences. 109

pour abréger , de la notation de Vandermonde ( n^ 901 ) ,

Cette formule qui a été remarquée en premier lieu par Lorgna , peut être fort utile pour obtenir des valeurs approchées de fudx par les di^érences de z/ ^ ou les aires des courbes par les différences de leurs ordonnées équidistantes.

911. On étend sans peine l'expression de sw donnée dans le n°. 919 , au cas oîi l'on a tt=a'y , y étant une fonction quelconque de X y parce qu en intégrant par parties , d'après la formule du n*. 9 10 ,

on trouve x^z'y =-^^^ — ; » substituant pour Ay la série

qui l'exprime, il vient

dy d^y

Si , à la place de y , on met successivement •— , — ^ , etc. on

ax dx^

trouvera les équations

^ ^ ^ar ^a: Il dx^ i.x dx- ) .

^ ^ dx" dx" Il dx^ }

etc.

avec le secours desquelles on éliminera les intégrales

dy d*y

ta'^, -za--^, etc.

ax dx'

Il est visible que le résultat sera de la forme ~ (a*— .i)sa'v=fl'y + ^Aa'-^+-SA'tf'4^+aV— + etc.

Euler détermine les coefficiens-^, -5, C, etc. en substituant dans

cette dernière équation les valeurs de a'y ^ ^'--}— , ^'— -: , etc.

io8 C n, l. D U C A r

et on a pour déterminer Sn, *- ' .,/.;.-'" ''*^'<I"«î®'»

Ja = s« + «, 5««- •;, ^:;;;'J:;5lïa'^+ etc.

de? . • - '/.>v';jr+-— ^''^+"^-

+ C(a*— i)A'2a'f4 + etc.

.-wri?'"?» ''^""^

+ etc.

., ,Jf"