Si dans l'expression

2PQ=QsP — aQx*P, + a*Qs^P^— A'Qs^/>,+ etc.

obtenue n"*, 910 , on remplace les différences de la fonction Q par leurs valeurs en séries , formées d'après le n"*. 864 , et que nous représenterons pour abréger par

DES Différences. m

on aura

dx dx^

Examinons en particulier le cas oii 'P=^a'\ U viendra pour ce cas et par conséquent

formule qui rentre dans celle du n^ précédent , lorsqu'on y substitue les valeurs des coefEciens « , i3 , . . . . «', )8', etc.

En faisant usage dans le cas actuel , ainsi que dans les précédens ; de la considération des exponentielles , il faut prendre Q = e'; il vient alors

et dans la même hypothèse la série qui exprime iia'Q devenant tiivisible par a'c' , on a

I __ I a*k fa»* tta* \

aV— i^T^l ""(a*^l)''^(fa*— 1)' "" («*— x)*J

équation dont le second membre peut être mis sous la forme

U reste maintenant à développer le premier sous une forme analogue; ^our y parvenir , il faut remarquer que

aV— I («*— i ).'*+ (<*— I ) (a*— I )—(<-*__)) »

114 C n. h D 1/ Calcul

Il est visible que la valeur de iLû'y sera terminée toutes les fois que y sera une fonction rationnelle et entière de x. Nous n'insisterons sur aucun cas particulier «de cette formule» parce qu'U est trop facile de les déduire du cas général ; nous observerons seulement qu'elle ne peut servir quand a-^z i : les dénominateurs des coefHciens s'évanouissent alors comme au commencement du n"". 918 ,

pubqu'on retombe sur l'équation £j^= ■

Nous ferons encore remarquer que l'équation 's:a'y=>

'JLu

n*est qu'un cas particulier de cette autre plus générale:

jra'y— — ,

donnée en premier lieu par Laplace. On y parvienJroit pai* des considérations analogues à celles dont nous avons fait usage dans le n"". 914; mais devant la déduire dans le chapitre suivant delà mcme source dont ce Géomètre Ta tirée , il seroit superflu de ttous y arrêter ici.

914. Nous n'avons donné dans le n*. 911 que l'expression de rintégrale ûmple tm , mais on peut déduire celle de x'^u de l'équatioii

en y faisant A'=.î , ce qui change s' en 2: , et avec l'attention d*eo développer le second membre dans la forme suivante :

puis dVcrire u , à la place de l'unité qui tbrme le premier terme de chaque binôme et qu*ll Êiat regarder comme tenant la place de (•^}%

|?i^±i)i^±i + etc ]

a'ik

-Dj^j Différences. iij

et enfin substituer A^isr » jiu lieu de Aif ''^ on obtiendra ainû

^ m m(m+i) mCm+iV/n+i) ^

—+ — + ^ ^ ■ ^ + etc. J A«

III i.x I i

^ .^ + — ^ ^^ ^ + etc. [ A*#

+ etc.

Quoique les séries qui multiplient u^ lu ^ l^u ^ L^u ^ etc. dans cette expression , se présentent sous une forme infinie ^ il faut néanmoins n'en prendre la somme que depuis l'indice x = o ,

jusqu'à l'indice -• C'est ce dont on peut se convaincre , an moins

pour le cas où /72=; i , en comparant le résultat que donne alors la formule ci- dessus > avec celui qu'on déduiroit de ces relations ^

2 ^ = «^-i + ^^% + u^^ + «-4+ etc u — Att+ aV — A^//+etc.

+« — iA//+3A*i/ — 4^^i^+ etc.

+ tt — 3A«+6a*« — ioù?U'\' etc.

+ etc

fondées sur les n*^. 897 , 873 .

Au reste, il est facile de voir que la formule ci- dessus est plus curieuse qu'utile ; je ne l'ai rapportée que pour compléter ce qui regarde l'analogie des puissances négatives et des intégrales, et )e ferai remarquer à cette occasion que l'équation

àf^U = { ( I + A tt )^— I }■

tst vraie aussi dans les mêmes hypothèses; car elle devient A%3s {( I 4- A w)-^ i }", quaod on fait A'=A.

925. Nous aurons peu de chose à dire pour le moment, sur la manière d'intégrer par approximation les différences. Ce procédé , 4e mkmt que son analogue dans le Calcul intégral des diffiârentielles ^

ii6 Ch. I. Du Calcul

consiste à réduire les fonctions proposées en séries dont chaque terme soit facilement intégrable. On atteindra ce but toutes les fois qu'il sera possible de transformer ces fonctions en séries dont les termes procèdent suivant les puissances du second ordre , parce que . ces puissances s'intégrent immédiatement ( n"". 901 ).

Supposons qu'on ait la fonction — ^ et que la différence de la

variable x soit égale à l'unité ^ ce qu'on peut toujours obtenir en

substituant 7- à :c, La fraction — étant convertie en

[«] + 3[^3 + ïi[^] + etc, ( n\ 903 ), aura pour intégrale cette suite

— [^] — 1[^] — T"[^] — ^tç. + const. ( n^ 902 ).

L'expression - échappe à ce moyen parce qu'elle renferme le terme [x"}

dont l'intégrale se présente sous la forme — = — — , semblable à celle

que prend la formule fx^dx-=^ , lorsque /n = — i. Si l'on

employé la valeur desx^^ obtenue dans le tC.^i^y on trouvera

= (*+ 1) __i + ; ■- — - ; ^. + etc. -^-const:

AT+I ^ ^ ^ lAT+I l(*+l) 4(*+0^ 6(*+l)®

résultat qui contient un logarithme.

Les autres valeurs de sa fournissent aussi des séries infinies qui peuvent conduire à des résultats approchés , lorsqu'elles sont convergentes. Celle du n". 911 donne

en prenant les valeurs de ù[x'\ , £^\x] , d'après les formules du n*. 901; ce résultats devient 9 après les réductions dont chacun de