D ES D J F F É A E N C S. II
ses termes est susceptible ,
Cet exemple suffit pour montrer ce qu'on doit faire dans tous les cas«
916. Fidèles au devoir que nous nous sommes imposé , de rat« tacher au plan de cet ouvrage tout ce qui, dans les traités de Calcul différentiel et intégral d'EuIer ^ peut avoir quelqu'importance, par rapport à rétat actuel de l'analyse , noua allons rapporter une méthode pour obtenir l'expression approchée de 2 z/ , au moyen d'une équation différentielle du premier degré et d'un ordre indéfini.
Si Ton fait 2;2< = {, il viendra 2<=:A{^ et on aura, par le théorème de Taylor , cette équation :
» = 7^- + t4^ + t4 + etc.
dx i dx'' i.i dx^ 1.1.3
lorsque la quantité h sera très - petite , ou que renfermés entre des limites connues et très-resserrées, les coefficiens différentiels ^ £X fi dx' dx** dx
gente I on pourra terminer cette équation ; on aura alors une équation différentielle du premier degré , à coefficiens constans , d'un ordre marqué par celui du terme auquel on s'arrêtera, et dont l'intégration feroit connoître la fonction { ( n*. 649 )•
Il convient de remarquer que l'on peut toujours rendre, la quantité h aussi petite qu'on voudra ; car si u étoit fonction de x' et de h\ et
qu'on y fît j:=;= — , on auroit A = — ; mais il faudroit , pour
qu'on pût tirer parti de cette transformation, qu'elle ne rendît pas trop divergente la série des coefficiens différentiels.
Au lieu d'intégrer l'équation différentielle ci-dessus , pour en tirer la valeur de û , nous ferons usage de la méthode des substitutions successives. En négligeant d'abord les puissances de h , supérieures à
la première , on aura uz=.— -^ d oîi [=• -rfi^àx. Soit pour abréger
, -7-3 , etc. formeront nécessairement une série conver-
ii8 C H* I. DuCalcvl
~fudx=zP ^ et posons { = P + /^A; en substituant cette valeur //
dans Tex pression de tf, nous aurons
dP h d'P A* d^P A'
:; +T^ — +T^ + etc.
dx I tfx* i.i dx"^ 1.1.3
dx I tf a*' I.X tf A-^ 1.1.3
mais il est <^vident que la première ligne du second membre est
égale à i^ P , et en se bornant dans la seconde au terme a£Fecté de A%
dp I
on obtiendra u — AP=-pA% d^oh p = —f{u — ù.P)dx. Faisons
dx h*
encore -r-fi» — AP)dx=:P'j et prenons pzzzP'+p'hy Téquatioa A*
u—AP = -f —\--r-i + 7^ + etc.
dx I dx* \,x dx' 1.1.3
deviendra
dP' h* d*P' h" (PP' h*
dx \ dx' 1.x </«■* 1.1.3
+ -J-—+-ri +-rT r + e«c.
â.v I dx' i.i </a-' 1.1.3
la première ligne du second membre étant égale à h^P', on aura f en se bornant au premier terme de la seconde ,
tt—AP-^isP'=-^-k\ d'oii /»'=-^/(«— a/> — Aa?')./x.
U est facile de continuer ce procidi, qui donnera
zu=:i=P + P'h + P'h' + etc.
P^. \ ruJx , P'z=^j\u—sP)Jx, P"=-^/(«— a/'— Aa/'O''* » «c.
Pour en montrer rappUcation, nous fêtons a vecEu!ertt^.v'yA=r;
il viendra
P=\x\ ^-/"(V-K3-v*+5.v+t})ix= — (^x-+|x)
/> =/ { — ( .V + ; ) +x + f + 1 } iA-= : .V, p =0,
et par conséquent
rcsuUat qui s'accorvîc avec celui du n*. î>9S.
DBS Différences. ii^
917. Lorsque la fonction u est de la forme y y , on parvient à un résultat délivré du signe d'intégration , en faisant 2 v j' = v {; , ce qui donne
en mettant v, à la place de v+âv , et d*oh on tire
vj.-îAv=v.|- -+ -^+ j^ -^-^^ + etc. |.
En négligeant les termes multipliés par h ^ on obtient d'abord / = -^. Faisant — = P et 7 = P+pA, il vient ensuite
■3 +-7-7-: — ^+T^ — ■ H €îc.
dx i 'dx^i.% d:r 1.1.3
dx I dx''i.% dx^ i.^.}
d*oU l'on déduira , en raisonnant comme dans le n". précédent ,
.^/» A A V s=: v^ P , et /» == — 7-— - ; puis opposera ^^^ = 1^^ p = P'+p[k,
et en vertu de Téquation
(dp A* d^p h^ 1
— /;Aav=v,aP + v,{. 1--— ; + etc. \
. \dx I dx 1.2 J
on aura
rfPU* j*P' A^
-J V^TT + etc.
fl:r I dx^ 1.2 A*Av = v,V dp' h^' di'/^^ \'
^ f ~- — +T^ ^ — + etc.
dx I ^JT* 1.2
d'ôh on tirera —p'hLv:=iv,ùJP\ 7^'=— i-ii^.
.. Aav
La marche du reste de l'opératioii est S6niblabl^à<:e oomqçieacemieAt^ et en la suivant on parvient à
X vy = r î == V { P + P'A + P''A**+ etc. }
P== — , P== — —T — 9 /^=— — etc.
AV Aav Aav
120 ,C H. 1. Du Calcul
918. En intégrant plusieurs fois de suite et par parties | chaque terme de la formule ,
s"P Q = Q s P— A Q 2:*P, + A» Q s'P,— a^Q 2^P, + etc. on obtiendra successivement les expressions de î'PQ, ^'-PQj ^c. Taylor a donné celle de z'^PQ, savoir:
^ ^ ^> ^ ^ A*Q2"+'P,+ etc.'
Cette formule se vérifie facilement de proche en proche, en ob« servant que les çoefficiens de Q z'^P, a Q r"^'P, , etc. sont les mêmes que c^ux des puissances de x dans le développement de (i -^•^)~'"» analogie que Ton prouve comme U suit : si on ^t
j«PQ=^Q2"'P+5AQ2-+«P, + CA*Q2"+*P.+ etc.
et que Ton prenne la différence de cette équation en n'y faisant yarierque les fonctions V et Q, on aura
s— 'PQ=^Q2— ^P+^ AQ2-P.+ CfA*Q2-*'P.+ etc.
parce que A. 2-PQ=s~-^PQ / et 6..XY^X^rAr Y,aX ; mais si l'on fait aussi
(i +x)— ac^ + J5jp + C:c*+2)x^+etc, on trouvera
( I +x)- i''-'>= ( I +a: )-"•( I +jr)=u^+5 •x+ C .x*+ etc.
Il suit de là que Ton passe de J.TQ à x'^^'^PQ^ , comme de (i+x)"" à (i+.v)"^''"*'; cettej correspondance ayant toujours lieu jusqu'au cas oii ;i2= I , pour lequel les çoefficiens de 2PQ et de (i+jr)""" sont identiques, il est incontestable que toute la suit^ des déyeloppemens de sPQ, ^*PQy -'PQ, etc. sera semblable à cet égard à ôÛe des déveToppemens de (i +x)-*, (i +x)-S (i +*)~^ etc. (*).
(*) Tavlor démontre îtnmêd:itenient son résultat par des intégrations qu'il est fiîsé de reconnoitre dans Texprcssion de S"— 'PQ et d'effectuer ensaite. Il est ^yident que si Ton change « ea m+i et qu'on écrive en conséquence i^,, B^, C^. etc.
Nous
jo E s Différences. iîi
Nous ferons remarquer en passant que par suite de l'analogie des puissances et des différences on auroît
^ - L i^ i a' Qa ^P^ + etc.
