Nous ne nous arrêterons pas au cas oh la fonction u

pour A^ B^ Cy etc. 2"*""iPQ , devenant alors 'SJ^PQ^ , on aura

-r^^rsil, B,+^,=:B, C,+B,=C, etc. d'oîi A -rf =3 , A B=^^j4^ , A C=z^B, y etc.

La première de ces équations donne d'abord A^^r^const, puis ^£=1, puisque

«=0 donne aussi y =;i ; la seconde conduit à A £=— i , jB =: •— — , à cause de

J[?=:o , quand /r.=s3 ; poursuivant de la même manière on obtiendra *

AC=7 , t;=: AZ^s?:'-^ ^ />:=-*. -i ^^ , etc.

l 12 IL. 2 1.2,3

Pour mettre pli« d'uniformité dans la méthode, j'ai préféré ce procédé^ la considération de l'anulogle des puissances et des différences, si souvent employée dans ce qui précède : en lesu'vant j'aurois rendu la^^démonstratîon Indépendante de celle du binôme ; mais j'observerai que l'on peut se servir de l'Intégration pour parvenir cette dernière, sar.s tomber dans aucun cercle vicieux. En effet , si l'on prend

(l + jc)" =\-J^4x+Bx^+Cx^+tic,

on aura 'A'==:^À+ 1 , B'=B+ A , C'=C+F , etc. àA=\ , tB^=iA , ù.C=B , etc.

en Intégrant d'après le n^« 899 , qui ne suppose point la théorie des puissances , et faisant attention que Af B , C, etc. doivent être nuls quand m=o , on obtiendra

^ = — , Jo::^ "• 9 1/ ?= ' • etc#

quel que soit l'exposant m, U seroit facile de donner à cette démonstration une forme purement élémentaire ; c'est cfi^qu'on peut voir dans l'Encyclopédie métho- .dique ( Dlctionn. de Math, au mot binôme) et dans les NovaactaAcad. Pttropolitana ^ ann, 1787.

^ppcndicc^ Q

Î21 CHi lé. D V Calcul

renferme plusieurs variables; nous nous born«tons à indiquer les formules

'sru=z

— A + — A + — /+€tC. l

^x dy di , j

Ui+A,«)^(i+v/(i+A.«y---— I j

qui résultent des expressions

i du ^ du ^ ^ du . ^ "1"

f il il £ r

i'=l(i+A^lM+M)*(i+A,»)'---— il (a%895%

lorsqu'on y change + m en -^m ^ en vertu de Tanalo^ des puis-* sances négatives et des int^rales. Le lecteur familiarisé avec les dé-« monstrations que nous avons données des cas les plus simples de ces formules ^ trouvera sans peine le moyen de les prouver en général

AppUcatîon du çjo. D'aj^rès Téquatîon ^f (x, A)=2f (xr, A)+f(jr, À) — tonsu rentes à la som- obtenue dans le n"*. 897 , chacune des fonctions intégrées dans ce qui laation des smtcs« précède j nous donnera la somme de la suite dont cette fonction

représente le terme général. Ayant trouvé , n"*. 901 ^

s [p ] = ^^-^ + const. s {p^ — ±LA 1. cf^^i^

nous en déduirons

mais

[/»]+(«+ >)[/']=(/'--'') !>]+(«+ i)\A=(p+ o[rf=[/'+ ir*

j^ E s Différences. i h

donc •îf/; j =?^ -*— i— ..— -co/w^ de même

donc 5 f/^ 1 = = — — const.

résultat qui se tire du précédent en ch^geant seulement le signe de n.

L'un et l'autre se concluent immédiatement de S [^J, en y écrivant /^ + I , au lieu de ^ ; car on voit en général que Sî{x^h) esc aussi , à la çoostante pràs # ce <{ue devient ^({x^ h) y lorsque x 4e vient :r+&.

Les expressions^ que nous venons d'obtenir nouÉ donnent la somme des suites de nombres figurés y ou dont les termes ont ^ avec un numérateur constant ^ ces nombres pour dénominateurs ; on a par ces expressions

r if

,+*+ 3+ 4 ^lLi^iL±2l^'SL±:l

,4.3+ 6+10 +k±il==J^±±=.ç|[f±ilÇ^±^

f + t-hîrit. it/'-^-^L I/'+B] K/>+0(;>+0(/>+î)

n n'est pas nécessaire d'ajouter de constante à ces valeurs ^ parce qu'elles s'évanouissent en même tems que p.

Pn a de même la somme des séries inverses des précédentes, tn exceptant néanmoins celle-c}

11^ C ît. L D c/ Ca L c V £

pour laquelle 5[/i— i] devient ^ ^ ( n^ 915 ) ; OA trouve tMmt9f

I + T +T" + -ÎT* • • • + t . 2[/^ — l] =— 2 [;^] + C0/Ï5/*

etc.

La constante est ici nécessaire pour compléter les résultats obtenus qui doivent donner Tunité j lorsquon falt/7=i j mais comme dans cette hypothèse

se réduisent respeaivement à 7, -^^ etc on a pour le premier^' const. 2=± Y ; pour le deuxième , const» = f ; pour le troisième f eonst. = I + j 2= I ; etc.

Il convient de remarquer que la Valeur dé chaque constante est U limite de la série à laquelle elle ^e rapporte, car les puissances

négatives du second ordre' [/'J 9 [/'J^ etc. s'évanouissent lorsque /r tst supposé infini.

Cela posé ^ on aura

I /i + i' 2 (p+OC/^+i)' 3 (/'+0(P + i)(/'+3) pour les sommes des séries dont les termes généraux sont

i,2[;^— i], l.2.3[/^— i], l.i.3.4[/^— 4], etc.

Il est bon d'observer que tout ce qui précède reposant entièrement sur le n°. 899 , peut être facilement ramené , s'il étoit besoin^ à une forme élémentaire*

^ DES DïFFàRÊNCBS. 11^

Toutes les séries dont le terme général pourra se décomposer eo puissances du second ordre , soit positives ou négatives ^ seront sommées facilement par ce qui précède.

û3i^ La fraction -; — ^-rr> r:> que nous avons intégrée dans

le n*. 905 9 produit^ dans le cas où ht=^i , la série

on en obtient la somme » soit en mettant x+i , au lieu de ;r ^ dans l'expression — — — -— r + consf. que donne l'intégrale , par la supposition de A=i ; soit en ajoutant à cette intégrale le terme général : on a par Tun et Tautre procédé

c__if+LL— 3^+4 ,

En égalant au premier terme \ , ce que devient la somme quand ^=1^

on a const.=x , d'où S .,..,. — 2— 7 — ^, — r»

x{x+i){x+i) {x+i){x+iy

On se conduira de même dans tous les cas oti Ton aura intégré le

terme général de la série proposée ; mais , sans nous arrêter davan«

tage à des exemples particuliers , parcourons successivement les

divers résultats que donnent les expressions générales de x u.

931. Si dans la formule 5f(;c, A) = rf(Ar,A) + f(ji:,A) — co/îj/. ( n\ 897), ou Su^=^j.U'\'U — const.on met à la place de 2/;^, les diverses expressions que nous avons obtenues jusquMci , on en déduira les principales formules qu'Euler a données pour la sommation des suites dans ses Institutiones CalcuU diffcrentialis.

I*. L'expression de s « du n"*. 912, en y faisant A=rî, et en employant pour abrégier la notation du n^. 901 , donne

+ [:c+4][o] A^//-— etc. — conse.

1*. Il résulte de l'expression de x «/ , rapportée dans le n\ 919 ,

ï du J-} d^U — Ç (^u

Ii6 Ch, I. D 1/ Calcul

Lorsqu'on prend 2/=.x'^j il vient par la dernière

— etc.— -co/r5/;

en remettant , au lieu des lettres B,^ B^, B^^ etc. les nombre» qu'elles représentent , on a cette valeur :

La constante arbitraire satisfera aux conditions relatives au terme d'oh Ton commence à prendre la somme. Si Ton veut, par exemple, qu'elle soit nulle en même tems que x , la constante doit être nulle pour tous les cas où m est pair ; mais il faudra la prendre égale au dernier terme et de signe contraire , pour ceux oh m est impair. y. L*expression du n". 910 donne

Su=(Sn^+ i)u—Sn.— -+5r/.-— ^^^-t^ + etc.

^ ' dX i dx^ 1.2 dx^

4*. Enfin les expressions des n**. 910, 913 » conduisent à

Par les trois premières formules on obtiendra la somme des suites dpnt II! terme giinaal est une fonction rationnelle et entière , et pat

Z) Ë 5 DîSrÉRENCES. 117

les deux dernières celles des suites dont le terme général est composé de deux facteurs dont Tun est une fonction rationnelle et entière de li ^ et l'autre une fonction susceptible d'un nombre indéfini d'intégrations*

. 933. L\in des cas les plus simples de Cette dernière classe de séries est compris dans le terme général a'jc"', appartenant à la suite

résultante de la multiplication terme à terme d'une progre.<ision par quotiens ( ou progression géométrique ) , par la suite des puissances m des nombres naturels* L'expression de 'Za'y y du n''* 913 , qui donne

'+*y Jy a^h , ,<f»j. (^a*+^.*»**)A*

-''^ {p^y + etc. +..«./.

devient pour ce cas

-^m(m^l)(/7i— i);c"-^ , i ^. ^ + etc.

Si Ton veut prendre la valeur de Ja^jc", à partir de x::^o , il faudra déterminer la constante arbitraire , de manière à rendre nul ^ dans la même hypothèse ^ le second membre de cette équation; on trouvera ainsi

^^'^'=zr-T—j

û*— I tf^— î

a^— I l <i*— I («"* — i) J (tf* — i/

etc.

On voit par ces résultats particuliers que la constante est égale à ce que devient , lorsque xi=io j le dernier terme de la partie variable de Texpression , et doit être affectée du signe -^.

L'expression générale de Say s'arrêtant toutes les fois que la

1 28 C H. l. D u Calcul

fonction y sera rationnelle et entière , on pourra par son moyen obtenir les sommes des séries qui résultent de la multiplication terme à terme d'une progression par quotiens ( ou progression , géométrique ) et d'une série dont le terme général sera rationnel et entier. Les suites

Z * TîT ' -^ j* • • • • .— ^

p p p if^*3^P

etc.

que Ton rencontre fréquemment sont dans ce cas. Leurs sommes se dé*

duisent de l'expression de Say , en y faisant d'abord A=i , a— — ; puis successivement

y = -9 y = > y — ^, etc.

934. La formule 5PQ=Q(P+sP)— A Qs*P,+ etc. semble encore plus appropriée aux séries ci-dessus y à cause de la simplicité que présente l'expression des différences des fonctions

En faisant P=a* et Q=[oJ[*+i2 — i], on obtient pour le cas général

J[ôîa'[A+«-l]"=M[[x+«-lî(u'+-£— )-[,î[,+«-^^

Ce résultat est susceptible de plusieurs réductions , et notani-

ment de celles dv; facteur commun [o], avec les facteurs

DES DîFFéRENCES. 1x9

facteurs [«],'[«], etc. en les effectuant toutes il vient

— « ' n a' ( ^^ ' " — H"i «—I u 5[o]a'[T + /2 — il= r-^ a[o\ [x+/2— l] — Mr^ + /î— ^1-- ^ *

935. Si Ton fait Pz=,\x'\y et que Q représente toujours une fonction rationnelle et entière , on aura pour tous les cas où n sera un nombre entier positif et différent de Tunité ,

«A»Ç; \ ^; . \] , sf . X + etc. + conse.

résultat qiû peut s'écrire ainsi :

— A^Q[/z — 5][Ar + 3] — etc... + consté

— /rfl

en observant que \x'\:=^=-^—, et en changeant les produits

(— /2+i)( — /ï+i), etc. en puissances négatives du second ordre ^ conformément aux loix établies dans le n"". çoz.

Il est bon de remarquer que Ton peut rapporter à cette formule toutes les fonctions telles que

(Ar+i)(^+i)(^+5)(^+iO' '

dans le dénominateur desquelles les facteurs ne sont pas consécutifs ; et pour cela il sufEt de remplir les lacunes , en écrivant , tant au numérateur qu'au dénominateur, tous les facteurs qui manquent dans ce dernier. Dans l'exemple cité on arrive à

jippcndicc. R

130 Ch. I. Du Calcul

Li fraction appartient au cas qui nous occupe ;

car en dccomposant son dénominateur en facteurs simples , elle revient à •; — -, et faisant i;c— i = ijc'+ 1, on a

(lA— i)(i:r+3)'

4.V-+4V-3 (i.vi.2;(i.v' + 6) 4(-^' + 0(^' + 3) 4C*'+0(^' + 0C*' + 3)

prenant donc «=3 , on obtiendra

puisque a*Q = o.

Si on repasse à la notation ordinaire ^ on trouvera

-f conu.

' + const.:=^ — ■: T-, r+ consin

8(.v' + 2Xx+3) (" + 0(^^+3)

936. Lorsque a est négatif, et qu'on prend A=i^ la série , dont le terme général est a'y , a ses termes alternativement positifs et négatifs , si d'ailleurs la fonction^ conserve toujours le même signe ; Euler profite de cette remarque pour obtenir une formule propre à donner la somme desséries quelconques dont les termes sont alternativemcnt positifs et ncgatits. Il suppose azrs^-^i^ et la série proposée de

«'* 1 -"^V, , «"^Iv. , etc.

quVUe cioit , devient

> • — .^i > +A,, etc.

réquatlon

^j I -■- . {.:S -;. -, : ys-— i- |

DES Différences. 131

donne alors ^ en prenant A = i ,

* + conse.

A^A\JrA\ d?y ' ^

— etc.

Les termes aftctés des coefHciens différentiels dVn ordre pair disparoisserit dlans cette formule comme dans celle du n*". 918 ; car en faisant ^ = -« i dans le terme général de l'expression de £ afy , ' trouvée n!". 923 , il se change en

et nous avons prouvé dans le n^ 918^ que le second facteur de cette dernière quantité s'évanouit toutes les fois que n est impur.

En la comparant avec la valeur de ^^ j obtenue dans le même article , on l'exprimera par (2"-^i)^„^; changeant ensuite ;z en ip ,

mettant à la place de J^^ ,. sa valeur sfc ^^ , rapportée

. aux nombres de BeraouUi ( n*. 9 1 9L ) |. on aura db -^ ^ '^"'' , et

2*3*4**** V par conséquent

^ V^-yv-^'^ \j-^ ^ ^ x.3-4 ^^' 2.3.4.5.6 ^:r^'