I.l \dx^ dxdy dy
1 C J?u ^u {pu ^u « \
i.x.-^Xdx^ ^^dx'^dy ^^dxdy"" ^ dy' J
+ etc.
et si de cette formule on retranche u ^ le reste sera le développement de la différence de i< ^ ou de a // ^ et se formera de celui de l'ex-
du , du ^
Il JL, ^
dx dy
pression e — i ,
en observant de transporter à la caractéristique d , les exposans de du^
dijf du"* dr^'^u
c*eist-à-dire • de changer le produit -7— -p- en , „ , ■ s Avec cette
dx'^ dy^ dxrdy^ ^
attention ^ on aura non-seulement
du du
dx dy Lu-=^t -^ — t ^
mais encore
du du A
En eâet ^ on verra par les développemens successifs que produisent les substitutions réitérées de^ + ^^t^^ + ^f dans ceux de lu , A//, ^ A*« , A'i^, , etc. que
C jr^^u ^^'u d^'^'u ^
+ etc.
et si Ton prend u=^é^^ on trouvera
du ^^ ^""^ ^^^ .- ^*^ — ..«4-
dx dy dx^ dxdy dy^ """ '
A tt ==: e*+A+;'+^— ^^^= C^[ ^*+*— . I ) ,
A*tt = t*^(e^*— I )%. . . . A"/« = ^*+y(<rA-H*— I )%
i6 Ch. I. D 1/ Calcul
valeurs qui changeront l'expression générale de A"2^ en
( eA+* I )'= A* + Ah^'k + ^'^A"-*A* + A^h^-^k^ + etc.
+5A"+' + JÎ'A* A + 5"A^-A*+5'"A-*X'^+etc. + etc.
- les accroissemens A et A devant rester indéterminés , il en résulte que
les coefficiens numériques A\ A" . • • •» B ^ B\ . • ., etc. du second
membre seront identiques avec ceux du développement du premier.
Il doit être évident , sans qu'il soit besoin d'entrer dans de nouveaux
détails , que si u dépend de x y y ^ ç , etc. et que h, k^ l ^ etc.
soient les accroissemens respectifs de ces variables j
du ^ du ^ du .
A + — A:+ — /+ctc:
, dx dy d7
du^ du'' du^
en observant toutefois de changer ; ; — . • . . x hl'k^r
dx^ dy"* tf {
^^ 1 n , . f r X A'^AiV. . . ; car en opérant comme d-dessus , on
dx^dy^d^....
ramèneroit la détermination des coefficiens numériques à celle du développement de ( ^*+^+«tc. — j y^
866. Pour développer la quantité (<M-*+^«c — ,)»^ il suffit d'obtenir les coefficiens numériques des puissances de a dans le développement de ( e* — I )", parce que ces puissances seront des Polynômes dont on connoît le terme général ( Int. rC". 19 ). Or oa a
l e*— I Y—t'^ 1^"^'^ + -^^ It^""^) ^^ <^ ^*^''^^)+etc.
et comme par le n**. 2 5 de l'Introduction ,
<*• =1+ + + +etc.
e-C^-O^i+î^ L.+i L +A i — + etc.
e^(«-»)=i •\> '—Ar^ <- — +-^ i — + etc.
etc.
le coefficient de ** sera
1 72 .. n{n — i), .. n(/i— i)fn — 2L
1 ( rù^ ^(n-^J^ J^^(.ay- J^^ ^(;,3 y ^.. etc. } :
cette
cette série s'arrête d'elle-même^ mais il faut observer qu'elle ne commence, ainsi que celle du n% 861 , que lorsque i = /2.
Si on développe ( e* — i )% d'après le procédé du n**. 98, en faisant
(t*— !)"=('-+— -liH — + etc.Y=*"+^'*""*"* + ^'*""^*+etc.
et prenant ensuite les différentielles logarithmiques , on trouvera
'xA'" = ^{nJr^)A'' L^{n+i)A' + -^—n
etc.
à l'aide de ces équations on déduira successivement les uns des autres^
les coefEciens A\ A"^ A'\ etc.
du du
dx dx
