Soit une série quelconque
dont le terme général ^^= u ; si Ton pou voit obtenir séparément la somme des termes affectés d*un indice impair, on arriveroit faci*lement à celle de la série
^o-^^i + ^^ — -'î + ^4—^5+^6— etc.
puisqu en nommant J" la somme de la série complète, et S^ celle de la série des termes dont Tmdice est impair , on auroit
( — i-A > —--A» —-A —etc.
= ^î.-^J. + J^—J^ + j/j^ — ^^+^ç— etc.
Si Ton dcsîgnoit par A^ la somme des termes pris de trois en trois dans les suites proposées , on auroit
J-15 - ^ ^ ., ^^^ 2.V,-etc.
= --/, + .•/,— .^. + .V, + J,^.-t, + .:/, + .y —..A + etc.
On voit assex par ces combinaisons le parti que Ton pourroit tirer pour U somnution des suites de Texpression des termes pris à des
intervalles égaux dans une série quelconque ; or c'est ce que donnent les formules
en y faisant ;w=i , A=i » et A'=z , =3 , =4 ^ etc, puis déterminant la constante arbitraire de manière à faire commencer la série partielle à tel terme que Von voudra de la série complète.
La première formule donne ï'tt= -j , et son développe-
dx t — I
ment se déduisant de celui de Stf ( n\ 919 ) , en y changeant seu* lement h en h!^ il viendra
x'u=—fudx u+B,- ^\Tl +etc.
h! 1 dx z ^dx^ i*3*4
ajoutant ensuite le terme général u ^ pour passer à la somme S'x , on aura
fudx+^u+S,-- 5,-3 — —
h 1 dx 1 ^dx^ i-3*4
C étant la constante arbitraire ^ et on tirera de là
Su—iS'u=( I— 'Tr]f^dx u+ ^ Lj.
\ h / 1 % dx
(i— iA'^)2?, ^i^ 1.3.4 ^^
quand A'^^i, le terme fudx disparoît, et on a, comme dans
le n°. 936 ,
^ w fï (2*— 1)5, rf« (i^— 1)5, ^« 1
Su^iS'u='^ \ -u+ "^ ^—^ -; ^^ '—^ -— , +etc. [ +êonst.
Il 1 ^;i: ^•3*4 dx )
en observant de donner à u le signe du terme oîi Ton s'arrête.
939. Parmi les cas où les diverses expressions de Su, rapportées dans le n"*. 931, ne se terminent point, ceux dans lesquels on obtient une série convergente méritent une attention particulière, car alors on arrive au moins à une valeur approchée de la somme des suites proposées.
S'u=^fudx+^u+S,— -: S^y-^ -:-^— + etc. + C,
J34 C H, I. Du Calcul
La formule
B, du B^ dhi
2 dx 2*3*4 ^^ étant appliquée à la suite
Su^izzfudx + î ^ + -^ -7:: — J -p-3 + etc. + conse.
III T
donne
.,» 1 I B, B. Br
A - — 1a + L-|-L^ 4. etc. + con5r.
.V 1.V Z.V* 4 AT* 6 a;
Cette dernière est d'autant plus convergente que la valeur de x devient plus grande ; mais avant d'en faire usage , il convient de déterminer la constante arbitraire. On ne peut supposer a;=o ; et si Ton &it ji;=i ,
ce qui rend *y- = i , Téquation
q\i*on obtient alors ayant pour second membre une série divergente ne mène à rien. Pour parer à cet inconvénient il n'y a qu'à prendre x plus grand , égal à 10 , par exemple ; et désignant par A la quantité
on aura
y/ = -l 10 H 1 • + etc. + consi.
et on tirera de U
^VTjrr.nr.if— « I 10 1 + CtC,
et mettant cette expression en nombres^ on obtiendra.
tc\Tj/. = o^s"*"!! s 6^4901 5 5 15.
Il est à propos de remarquer que cette valeur est aussi celle de la fcrie di vei génie «
I /?. B* B\ Bw
- + — ^ + — + etc.
i » 4 î tnai$ il ûut entenJre ici par la valeur d'une scrie divageue la quantité dont cette scrie tient la place, ou ce qui est la même chose,.
£> £ s Différences. 13J
là Valeur de la fonction dont la série divergente oâFre le développement ^ soit général , soit particulier.
Pour faciliter les applications de l'expression de S -, aux difFé«
rentes valeurs de x , nous rapporterons ici les valeurs des huit premiers nombres de Bernoi^illi ^ exprimés en décimales ^ savoir t
Supposons à présent que Ton demande la somme des tooo premiers termes de la série i +7+y+etc. on trouvera , en faisant :c=iooo, que pour avoir cette somme avec treize décimales , il suffit de cal^
culet les quatre premiers termes de l'expression de 5*- , et en ob-
servant que le logarithme népérien de lO est 1,301585091994045 ^ Introd. n"". 14 ) , on aura
pour ra:=i=riooo= 6,9077551789811 ^
pour -I =+0,0005000000000
