II S, S. S

7= + — , - "i^ + -^--f + etc. + C,

X IX X X x^

et posant Ar= 10^ on obtiendra

d*oîi Ton tirera

en poussant la série du second membre jusqu'à son terme.

Une circonstance très-digne de remarque ^ c'est que la valeur de C, à quelque degré d'exactitude que Ton porte l'approximation , se

trouve la même que celle de —^ v désignant le rapport de la cir*

conférence au diamètre ou la demi-circonférence du cercle dont le rayon est i , et que la transcendante v entre aussi dans l'expression de la constante relative aux séries dont les termes gêné-*

rauy sont — ^ — » c^^- ^^ attendant que nous démontrions ri-

goureusement la vérité de cette assertion , par la considération des produits composés d'un nombre indéfini de facteurs , on peut au moins la vérifier par approximation et de proche en proche , sur les séries indiquées précédemment.

Si l'on calcule aussi les valeurs de la constante dans les séries dont les termes généraux sont — , —. , etc. et qu'on les çom-

pare aux puissances 9r^, ^r^, etc. on aura , en portant l'exactitude à seize décimales et en observant que la constante donne la valeur de la série lorsque x est infini ,

DES Différences. 139

i+— +etc.= 1,6449340668481164= r = ^^*

1+ -T-+etc.= i,aoi056903 1595942= -^^

I + -T-+ ^^^•=ïj^8i3i3i3 371 11381= •

1+ -r+etc.= i,0369i77Ç5 1068632= t*

i+"T+c^c-=^o»7343o6i984449i=— -— = ^—-nr*

iH hetc.= i,oo83492773866oi8= —w'

« + A +etc.= 1,0040773 561979443= olr. =T ,^ ' k ^*

I + — +etc.=ij0020o8392826o822=

i + — o+etc,= i,ooo994575i278i8o=-— — =-^

^^^43. Il est bon de remarquer que ces valeurs donnent aussi les /^

limites des séries

« + - — -+ - i?.— -^1+ - ^5— ^ 5,+etc.=i,ioio...

^» ' . 3*4 p 5>6 p , 7>8 ^ 9>^Q ii.«.. ^'-^^ 4

,1 » . 3>4>5 p 5-6*7 p , 7-8»9 p 9-'^-" p . ^., ,^, iH 0^ /TjH i»5— jP- + etc.=:i,0369. • .

I » . 3*4*5-6 p 5'6-7*8p , 7.8.9. lo^ 9.10.11.12^ 2\5,

1 + — — — r ^i -^îT -^s"^ — 5-+etc.= -î — :r*

etc.

qu'on obtient en faisant x=^ i , et successivement

i7is=2, /ns^, /7i=;:4, 171=5, etc. dans la série dont le terme

général est '-^.

140 Ch. I. Du Calcul

Les mêmes valeurs conduisent aussi à insérer ua moyen entre chacun des termes de la suite

B,, B^, B^ , B,, B,, etc. c'est-à-dire , à trouver les expressions des quantités qui seroient représentées par

^â 5 -^4 > Bs 9 jBs > etc.

En effet, B, et B^ répondait aux séries i H — ;-+ etc. et î H — j-+ctc.

B^ doit répondre à la série intermédiaire i + -3- + etc. et d'après

la loi , suivant laquelle sont formées les limites des deux premières ,

on doit avoir , pour la troisième , — ^^ ; on conclura de là

T^= ' T:r% ou 5.= -=0,0581^117

on arriveroit de même kB^, Bc, etc.