L'équation Ai/ = c — i donne e = i + Aa, et si
on prend les logarithmes de part et d'autre , il viendra
équation qui sera vraie, si dans le développement de 1(i + ai^),
on transporte à la caractéristique A les expôsans des puissances
de A» ; on aura par ce moyen
du
-- A == A tt-^ 7 A*« + j A'i/ — 7 A^i^+ etc. ( Int. n^ 26 ).
Au lieu de nous arrêter à démontrer ce cas particulier , nous prou* verons qu'en général
en changeant aw*, a»% etc. en a'//, a*//, etc. Il est visible
que la question revient à déterminer les coefEciens différentiels
du d^u , ' .
^•••etc, en fonction des différences successives de u
dx ' dx^
Appendice.
l8 Ch. l. Dt/CjiLCVL
t que pour cela on a des équations de la forme
A" « = — A' + ^' — — A'+' + A -—r- h'*'' + etc.
ùr-^^u= A-^^H- etc.
etc.
dans lesquelles les coefficiens difFérentiels ne montent qu'au premier degré ; on peut donc faire
-— h:"'— yu + B'^'^'^'u + jr A"t*i^ + B'^ùT^'^u + etc.
On obtiendroit facilement la valeur des coefEciens inconnus B'^ B'\ B"\ etc. par rélimination successive de
mais puisque l'équation hypothétique doit avoir lieu quel que soit u ^ elle subsistera encore lorsqu'on y fera u = e% ce qui donnera
— ^ = ^' et A'iz = «'(e*— iV,
quelque valeur qu'ait le nombre entier/, et on trouvera par conséquent
hr= ( e*— I )'+ B\ e*— I )"+'+ 5''( e*— I )"+•+ etc. Pour mettre en évidence l'identité des deux membres de cette équation, il suffit d'observer que A"r= { I(i +e^ — i) } " , parce que le développement del(i + «* — i), ordonné suivant les puissances de e* — i ,et qui est
e* I— i(.*— I )*+ !(.*— I )'— i(e*— I y+ etc. étant élevé à la puissance n , deviendra comparable à la série ( e* I V4. 5Ye^— I )^+'+ 5"(e*— I )-+•+ etc.
dont les coefficiens numériques B\ B*\ etc. seront par conséquent
déterminés ; et si l'on éait am , à la place de e* — i , et A" à celle
dx"
d"u de A" , on aura l'équation t-;A"= { I( i + a^) } %posée précédemment.
En faisant pour abréger e* — i = « , et développant (et — !*•+ yct^ — 7*^+ ctc.)% suivant les puissances de a , par la méthode du n*. 98 , on obtiendra les valeurs de B', B\ etc.
DES DiFFÉAENCES. I9
