llA:=5lAr + Arli=C+(x+^)k+xli
Retranchant la troisième série de la seconde , il vient
Il +I3 +I5 +17* • • • +1(1^— i)=a:1a:+ (Ar+f)li— ^, d oît Ton conclut
ili + il4+îl6.,,+il(ix— i)+lix 1^fiC+i(:t+i)U+iArli— 1^-^]
ili— ll3~il5,..— il(i.v— 3) + il(i:r— 0 J \ —^x\x-^{x+^)\^J^^x
et comme le premier membre de cette équation est égal à W — li , on obtient , d'après la réduction du second , 1 t — 1 1 = 1 C-^i 1 1 ,
d'oîi C= î (1 ^+1 i)= î 1 1^ = 1 ^^ 3 résultat bien remarquable et d'après lequel on a
\.xx 3.4^^ 5.6X*
On rendra cette équation propre à un système quelconque de lOf-
garithmes, en multipliant par le module les termes î— , — ^ , crc,
I • émX \ • A y
dans lesquels il n'entre point de logarithmes.
jd E s Différences^ 143
946. Proposons^nous gour exemple de trouver la somme des logarithmes des 1000 premier^ nombres des tables , c'est-à-dire , la valeur de li+l 1+I3*. .•+1tooo. La caractéristique 1 désignant ici des logarithmes ordinaires , dont Je module sera pour abréger représenté par M ^ on aura ^=10005 d'où on conclura
+ ^li^ = 0,3990899341790
— Mx =—434,1944819032518
MB,
l.XX
MB.
résultat. •••••• 1567,6046441111318 :
mais I1 + I1+I3 + liooo=:Ki.i.3... iooo=l[ jopo] ;
il s'ensuit que 1 [ 1000] :=? 1567,6046441111318.
lOCO
L'on apprend par là que le nombre [1000], dont le calcul est. presque impraticable, doit avoir 1568 chiffres, et que les dix premiers chifFres sur la gauche sont. 4013 871600» en sorte qu'il est compris entre les nombres qui résultent de 4013871600 et de 40x3871601» suivis chacun de 1558 zéros. Cette connoissance suffit dans beaucoup de recherches , où l'on ne demande que les rapports des produits de grands nombres ; et dans ce cas la valeur approchée de ces rapports devient précieuse par l'impossibilité où l'on est d'effectuer les calculs nécessaires pour arriver à la valeur exacte. La longueur de ces calculs devient alors un obstacle aussi insurmontable que la difficulté d'exprimer rigoureusement une fonction transcendante. Laplace a beaucoup] étendu cette recherche, dont les applications sont très-fréquentes dans le calcul des probabilités , mais comme il s'appuie sur des considérations différentes de celles qui nous occupent maintenant , c'est plus bas que nous rendrons compte de ses travaux sur ce sujet.
947. En suivant Euler^ nous allons montrer comment on parvient à
144 Cn. l. Di/ Calcul
trouver le cociTicient quelconque d'une très -haute puissance du binôme et le rapport que l'un quelconque des termes de cette puis* sance a avec la somme de tous ceux qui la composent.
n —Il
Le terme général du développement de (a+ty étant [/n][o]a""^**,
« — « son coefficient [/^][o] peut être changé en
et passant aux logarithmes il vient
l[m][o] = l[H-I[«]-l['«--n]; or on a par le n". 945 ,
ce qui donne
1 }'"^ ^ ==--lUff+(w+f)lw^(/»+i)lH—(/B — «+i)l (/» — »)
U J [w — ri]
iff, Bx By
+ etc.
Lorsque Ton fait 72 = — , quand n est pair, on tombe sur le terme qui occupe le milieu du développement de la puissance de a+b^
an
fini
et qui est affecté de tf"^; son coefficient est exprimé par -^=-j-^ ,
le
DES Différences. «45
la formule ci-dessus donne pour son logarithme
in
t M.. ., ,, ^ , ^ B, B' Bj
/r ^^. 1.1. xn 5.4.2V 5.6.1/2
__1^ + "^^ «- —"^5-+ etc.
expression que Ton peut changer en
li--l = l -^^i^+M^.- 4£l-. + etc.
tl Ton passe des logarithmes aux nombres, on aura
I^J=i^., i...2«.,3.4..3„3^^ î-6.i»<etc.
Il est facile maintenant de développer cette série suivant les puissances de n, en substituant à chaque quantité exponentielle la série qui lui est égale ; mais nous n'effectuerons point ce calcul , parce que la forme logarithmique est la plus commode pour les applications.
Si l'on se proposoit par exemple d'obtenir le rapport du coefficient moyen de la puissance xn du binôme à la somme de tous les autres , on feroit a et b=i , d'où (tf+^)"=i"; le logarithme du rapport cherché aiiroit pour expression
y^^ 1.2.2/1 3.4.2V ^.Si.z'^nr
En prenant , par exemple, 2nz=zi00y on trouvera par cette formule le rapport de i à 0,0795891.
