En général , si dans les formules
. y . cos(p + gx — {gk)
ssin (p-^qx)= ■ . , , + const.
isin^^A
sînf II 4.^.r — 7 j A) 2cos(/i + ^x)= — ^JL^^^^J-L + const.
2 sm 7^/z
on change ;r en x + k^ et qu'on détermine ensuite la constante
arbitraire, de manière que les résultats soient respectivement sin/^
eut cosp lorsque x=ro^ on aura
Ssir\{p + qx) = r-7-T + 7—; — r~
2Sin~yA isin^qh
c.^c/«-L..^^— sin(/i + ^;r+^y/0 sinÇ/;— ^^A)
La formule *y P Q= Q( P + sP)— A Qs'P. + fitc.
conduit au même résultat que celui qu'on déduiroit des expressions du n% 909 , et donne la somme de toutes les séries dont le terme général est le produit de sit)(p+ qx) , ou de co^{p + qx)j par une fonction rationnelle et entière de :i: ; et pour étendre ce procédé aussi loin qu'il peut aller , il ne faut pas oublier que toute fonction ra^onnelle et entière de sinus et de cosinus se ramène à des sinus et à des cosinus d'arcs multiples.
951. Il paroît difficile au premier coup d'œil de trouver ce que deviennent les expressions de Ssin(p + qx) et de S cos{p+qx) , lorsqu'on y suppose or infini; car on ne voit pas quelles peuvent Être, dans cette hypothèse, les valeurs des fonctions cos{p+qx+jqb) et de sin(/'-(-f a: 4- îf A) , qui pourtant ne sont pas susceptibles de devenir infinies, puisque le sinus et le cosinus ne sauroient surpasser le rayon. Cette difficulté, agitée d'abord entre Daniel Bernoulli et Euler , paroît avoir été suffisamment éclaircie par Lexell ( Novi Comment. Acad. Pttrop. T. XVIII ),
148 Ch. I. Du Calcul
Il faut observer premièrement que la série •
svap -h sîn(/^ -H y )-f- sin (/> + 2 j)..., -f- sln (/?+ qx^
est périodique, c'est-à-dire, que ses termes redeviennent successivement les mêmes , et qu'en conséquence les diverses sommes partielles deviennent nulles , à la fin de chacune de ces périodes. En effet , l'expression de 5^ (/> + ^ .r ) , qui se réduit à
2Sinfjr ism^f
lorsqu'on prend â=i, s'évanouit * pour toutes les valeurs de x données par l'équation
dans laquelle xm'jr désigne un multiple quelconque de la circonférence du cercle dont le rayon =1. Si le rapport de cr à y est celui de deux nombres rationnels , on aura évidemment une inHnité de valeurs de AT, pour chacune desquelles l'expression de 5* (sin/? -f- y a: ) s'évanouira.
Cette expression étant ainsi susceptible d'un nombre indéfini de périodes ne sauroit avoir de limites déterminées ; mais il est important de remarquer que si Ton prend le milieu entre les différcns résultats que l'on en déduit pour toutes les valeurs de ;i: , on tombera sur une expression dont le développement en série sera identique avec la proposée. Pour cela on fera successivement
a: = o, a:=i, :r =5= 2 ,...,:!: =7z, dans ^C/^+î^), et on oDciendra
C0S(/7 + 7?) , C0S(;7— iç)
1 sin ^ y 2 sin ^ ^
cos(/> + if) cos{p—'-q)
2sin^^ 2sin^j
^s\n-q 2Sin^^
2S*:njf 2sin~j
DES Différences. 149
]a valeur moyenne résultante de ces valeurs particulières dont le nombre est /2+ i , sera exprimée par la série
2(^/2-+- i;sin-^ 2(^/2 -i- ijiin-^ 2
La somme de la série, renfermée entre les accolades, s'obtient en écrivant /; + -j-f, à la place de/>, dans l'expression de5cos(/>+jx) et en y faisant .r=/2 et A=i , ce qui donne
sin(/? + (/2+i)^) sîn/? cos(/?+ (t»+ i)f )sîn-r(;2+ i)f
2sin-fy 2sin-^^ '^v^ — q .*
quantité nulle dans l'hypothèse actuelle, puisque -r('^+ï)f est un multiple ^ la demi-circonférence : le résultat précédent se réduit
donc à : — -^ . Telle'est l'expression que Daniel BernouUi
2 sm — ^
regardoit comme la somme ou la limite de la série
sin/7 + sin (/> + y ) + sin (/> + 2 j ) + etc.
continuée indéfiniment, mais qui n'en tsl ^ à proprement parler, que le développement ( ////. n\ 4 ) , ^insi que Ton peut s'en convaincre, en formant l'équation
- — ~, ' — sinjp + sin (/? + î ) + sin (/; + 1 ? ) + etc. 2sm-^^
de laquelle on tire d'abord
cos(/? — J^f)=asin/7sin^^ + 2rin(/^+y)sin^^ + 2sin(/?+2j)sin^j+etc.
puis
cos(/^ — ^î) = cos(/^ — ^î)^-cos(/; + ^^)4-cos(/i+|î)+cos(/i + ^-.7) + etc.
—cosC/^ + Tf)— cos(/7+i^)— etc.
en mettant pour les produits de sinus leurs expressions connues ; les deux membres de ce résultat deviennent identiques , abstraction faite du dernier terme, ainsi que cela arrive dans le développement "des fonctions en séries divergentes ( Int. n**, 5 ).
Cette dernière transformation donne un moyen aussi élégant que facile de parvenir à l'expression de *Ssin(/7-}-^.v). En effet, si on multiplie par 2sin^y les deux membres de Téquation
5sin(/?+îA:)=sin/+sin(/? + î)-hsin(/; + 2î) l-sinC/^+^r),
M^ C n. l. D 1/ Calcul
elle (Jtrvîent isin^qSsir.Çp+qx)^
isin/'sin ~ç+ 2sii.(;7+y)sîn iq+isiD(p+ 1 ^) sîn |^ y. . . . + 2sin(/i-Hfx)$in^^,
et se transforme en ^Sln'l'qSsin(^p^qx)=i
d*oîi l'on conclut
2 sin 4- y
951. En appliquant à l'expression de Scos{p + qx) et à la série
cosp'^c6s(p + q) -i- coh{p -^ iq) + cas {p + yq)-^ etc.
les raisonnemens et les opérations du n**. prccédent, on parvient à des conclusions analogues. On trouve d'abord que la valeur moyenne de toutes les sommes particulières déduites de
ç r.cr . x sîn(/>4-(.v4-l)^) s\n(p—{q)
2Sin^^ ism^q
donne la quantité
La somme de la série comprise entre les accolades se tirant de l'expression de 5sin {p-^qx) , en y changeant p en p-h '^q , et en y faisant /2=i , x=n^ est
cos r cos(p + ('î 4- 1 ) f ) sin(;i + ^ (n^- 1) q) sîn J- (/74- iV
2Mn|^ 2sxn;-^ s'in^q . .
et s'évanouit nécessairement lorsque l'équation (/i-4- i)^=2.7rir a lieu.
sir(r — ;^)
On a donc encore dans cette circonstance '-. — " '^ ; et oa
2sin^^
prouve que le développement de cette fonction reproduit en eflFet la
série proposée , en multipliant par 2 sin ^ q les deux membres de
l'cquation
— '■ =co$p -,•- cos C/' 4- ï ) + cos (p + 2.f ) 4- etc.
isin^./
qui devient alors — sin(;— 1 7)=2sin-; qco^p+i sin ; q co<(f+q) + i sin 1 fCO£(/?4-zy)+ etc..
DES Différences^ ici
se change en
— sln(/^+i^)— sin(/J4-|f)— etc.
lorsiju'ou y met pour les produits de sinus et de cosinus leurs valeurs, et devient par conséquent identiques! on la considère comme indéfinie*
On arrive aussi à l'expression de Scos^p-k-qx) , en multipliant par 2sin^^, les deux membres de Téquation
S COS(p + qx):=COSp + COs(p + q) + COs{p+ lq)+ . . . + COs(p+qx) ,
on forme de cette manière l'équation isin{qScos(p+qx)=s.
2sinjjco5jp+isinîycos(/> + y) + zsin|^cos(;y+i^)..*+isin^^cos(/; + jjr'), équivalente à cette autre: xsin^qScos(p+ y:r) =
~SÎn(/7— iy)+sin(;;4--:?)+sin(;i+f/)...H-sin(;^+(Ar— i)y) + sin(;, + ^.r + ,^^
sit\(p + iq)'^Siï)(p+lq). • .—sin(p + {x'^()q),
de laquelle on tire
c...c^.^.^ — sîn(/i — ig) + sin(;y+^A; + ^g)
SC0S{p + q X=^ —r-r- ,
1 sin - q
résultat conforme à celui du n"*. 950.
953. La sommation des suites a conduit Euler à des interpo-^ Application de lations très-élégantes dont nT>us allons donner une idée. Il faut la sommation des
• • 1 , /< . séries a l intcr-
d abord observer que certaines suites représentent des fonctions que poUtion. Ton ne sauroit exprimer d'aucune autre manière j et dont on n'a pas même les diflférentielles ; Euler les appelle functiorus inexplicabiUs. La première recherche à faire est celle de leurs différentielles dont on obtient des valeurs approchées par le moyen des. formules
du n*. 931.
Supposons , par exemple , que Ton demandejes difTérentielles de la fonction qui exprime la somme de la série
iH 1 V - -f--!
fonction dont on ne sauroit avoir l'expression/ indé/inie , mais dottt. la valeur approchée est
I B. Bx ' Bt , jn 0 m ' \
TÇi 'Ch. t. Du Calcul
en dcsignant celte fonction par i/, on aura
dx X l.V* -V^ A"' x^
série qui donnera avec d'autant plus d'exactitude la valeur du coeiHcient diflfcrentiel que celle de x sera plus grande. En général, la formule
Su—JuJx -j. -// + — ~'~- -— + ^ — ~ -^r — etc. + conse.
X 1 dx 2.3.4 J.V" 2.3 .4. 5.6 UX^
donnera
du idu B, d'u B, d^u 2?. d'^ii
=«4., 4.-! L 4. 1 — ^ etc.
^a: Xfl-v 2 «y.v" 1.3.4 fl.v" 1.3 .4. 5 .6 i/j;
si Ton fait S u = U.
On appliquera de mente à cette recherche les autres formules du n*, 931 , et par leur moyen , on obtiendra le dê%eloppement de la valeur que prend C, lorsque .v se change en .v + «, ordonne suivant les puissances de w.
9S4. F.uler eft aussi parvenu au même développement sans le secours des fox mules citées, et par des considérations qu'il est bca de connoîtrc.
Soit *y la somme de la série
correspondante aux indices
^4^ et AV, ce que deviennent cette somme et le terme génëial, lorsque a- se change enA-^'*', et désignons, comme à roiiiinaiie, par \j , A'j,....A". , A'j,, etc. !es valeurs de S et de A", corrcs* pondantes à -v-p i , .v-fi , etc. Ctîa posé, nous aurons
Ç - Vj. V > 5- •=S^ -i- Y.
.V, .V+X, + .V, f 5 ..^,-=5,-1- -Y ...^.Vv^
Maintenant
DES Différences. 153
Maintenant il faut examiner la forme que prend la série dans les termes très-cloîgnés du premier, afin de connoître la limits vers laquelle elle tend sans cesse. Si , par exemple , ses termes consécutifs approchoient de plus en plus de régaîîic , de manière qu'en supposant l'indice n très-grand, on eut, avec une exactitude toujours croissante, -y^=Jf„^. , -Y„^^,— Jif„^^, etc. on en concluroit
et par conséquent 5'„^«=5„ + ft)A'„^,. En égalant cette expression de Sa^^ à celle qu'on trouve dans le tableau ci-dessus , on obtiendra
mettant pour S^ son développement, et tirant la valeur de J» , on
aura
— A<»^i-— A^e».^— A^w^^— ^etf^4« • •— ^<w^„.
Cette formule étant appliquée à la série i H [--... + -
donne
OU
fi> » 6)
en négligeant le terme correspondant à « X„^, ; ce résultat sera d'autant plus exact que x sera plus grand et « plus petit.
Pour le développer suivant les puissances de « , on observera que
+ 7— 7— r; — 7— 7— r, + etc.
Ar+i+« x+i {x-^iy {x+if {x+iy
Où to* to^
x+i + ^ x+2 {x + iy^(^x+ay (.v + 3)^^ '''
€tC.
jippcndLc,
154 Ch. I. D V Calcul
et on aura ensuite
.f,y^ 1 — . 1 1 + etc
-x-to^X- u 1 i h etc. \
— etc.
comparant cette formule avec la scrîe
i^ 5'«=i'+ -+— j — + T-3 + etc.
dx \ dx* 1.2 dx^ 1.2.3
qui résulte du théorème de Taylor , on en conclura
-; — =— 1.2! 1- h 1- -^ h etc. t
dx'
etc.
Considérons encore la série
nous obtiendrons , par les formules précédentes ,
•^1 -'^ftï^.i —
-^ A -^'ft'+a
+ — " - / . Xm+3 ^*^«
etc.
et réquatîon
etc.
de laquelle nous déduirons comme ci-dessus les valeurs de
9^^. En général, on a
, ^ dX u d*X «• tPX «»
jr«.. =a:,+-— ^ -+-^ — +^^ + etc.
^ ^ dx \ dx' J.2 </j:' 1.2.3
etc.
d*oii l'on tire
5«=^„+«:r„^.- T Tx
«» d*{X, + X,JrX, + X^+ etc. }
