En général , si dans les formules

. y ^ cos(p+ûx — {qh)

xs\n(p ^ ûx)= ^ — . , , — ^ + conse.

xsm^qh

sîn(o4-fl.r — itf A)

xsit\-qn

en change x en x + k^ et qu'on détermine ensuite la constante

arbitraire, de manière que les résultats soient respectivement sinp

et cosp lorsque :r=ro, on aura

S cos{p + f ^) =

isin-j^A xsin^qh

sm{p + qx+ ^qh) sin{p—iqh)

isin^jA isin^^A

La formule JP Q= Q( P + zP)— A Qs'P, + etc.

conduit au même résultat que celui qu'on déduiroit des expressions du n% 909, et donne la somme de toutes les séries dont le terme général est le produit de sw(p+ qx) , ou de cos(p + qx)j par une fonction rationnelle et entière de Jt j et pour étendre ce procédé aussi loin qu'il peut aller, il ne faut pas oublier que toute fonction ra^onnelle et entière de sinus et de cosinus se ramène à des sinus et à des cosinus d'arcs multiples.

951. Il paroît difficile au premier coup d'œil de trouver ce que deviennent les expressions de Ss\n(p + qx) et de 5cos(/?+fi ) , lorsqu'on y suppose :r infini; car on ne voit pas quelles peuvent £tre, dans cette hypothèse, les valeurs des fonctions cos(p'{'qx+jqb) et de sin^p-^qx -i- jqh) ^ qui pourtant ne sont pas susceptibles de devenir infinies, puisque le sinus et le cosinus ne sauroient surpasser le rayon. Cette difficulté, agitée d'abord entre Daniel BernouUi et Euler , paroît avoir été suffisamment éclaircie par Lexell ( Ni>vi Comment. Acad. Pttrop. T. XVIU ).

14^ Ch. t. D V Calcul

et on aura par conséquent

mais on sait d'ailleurs que Jfl'= ^ ~ ( ^^^ 933 )5 on con-

tf — - I

dura donc de ce qui précède que

=— +-+— Itf ^(U)' + 5— -rCl^r— etc.

ê, — I Itf 2 2 ^.•3.4 ^•3.4.5.6

d'où on tir£ra

Vl — 1 2/ 2 2.3.4 2.3.4.5.6^ '

équation dont le premier membre se réduit à —, ^ — . et donne ;

comme on voit , la somme d'une série très- remarquable.