Si l'on prend u^=sinax , on obtiendra, par la formule

Sii=:^fudx + ju + etc.

i'sinrt.Y=— -'ZO^aX'\-s\nax-\ coîax-^ cos ax

H ^ :;- cos ax + etc. + C

Dans le cas oii a: = o, on a Ssinax^zo ^ d*oîi il suit

et par conséquent

ri B,a B.a' B.a'' I

AVmj.T= VintfAT+fi— costfx)< '- ^ '- etc. \,

^ Itf 2 2.3.4 2.3.4.5.6 J

COs(tfX — 7^) , ^ rt % .1 -

Mais puisque xsintfjf= ^— r-; ( n*. 908 ), il vient

cos(tfr — fj)

5sinii:r = r— ; H smax + const.

2Sinfa

cosfljccosf tf — sîntfATSÎnTtf cos ^ tf

2sin^tf 2sin^a

cos^^(i — costf:r)

* 2smja

et on aura par les formules du n"". 860 ,

tù (ta — I J I • 2

mettant dans cette équation , au lieu de i'^^-v et de S^ , leurs dcveloppemens respectifs , on obtiendra la suivante

Seo + -X^û)^i -J- -^ fc*-4-a H" -^ûJ+î •••"{" -^6'

d'où Ton tirera

Les quantités .yn^, et X^+i — -X^+i étant équivalentes aux scrits

x,+ (:x.-Ar. ) + (AT,— ;r, ) + etc.

on pourra donner à l'expression de Sa y cette forme: 5«= 5 + ( X.— Ar«+. ) + ( X^—X^^:) + ( X5— A'«^5 ) + etc.

- +iL(ji:,4.(jîr~^.)+(-X',-A'.) + etc. }

+:lfc l>{(jir-x.)+(Ar,-i^.+A:.)+(^,i^j+jr.)+etc.}

et en l'ordonnant par rapport aux puissances de a) , on en déduira , de même que ci-dessus , Içs coefficiens différentiels de la fonction S. Le théorème de Taylor fournit encore ici le moyen de chasser JS»4.| y Xat+aj €tc. en substituant à ces quantités les séries

tf:t: I dx 1.2 fljf^ 1.2.3 * * </a: I dx'' 1.2 ^;t^ 1.2.3

158 C H. \, D u Ca l c u l

et on aura ensuite 5.. =--5+ 0. { A',+ (X— A'. ) ^-(X;— .YJctc. }

^ d {A-.+A'. + A^ + etc.}

«* d' [ Y. 4- a: + A^ + etc. }