dx

- etc.

Si les termes de la scrîe A^B , C, D,... X, tendent à s'évanouir ; on pourra efF«icer de l'expression précédente les séries qui multiplient « et -^^ -^ , dans la première et dans la seconde ligne ;

mais on ne supprimera que la seconde seulement, si ce sont les d'.tVJrences premières qui s'évanouissent, et dans ce cas on retombera sur Te .\ pression complète du n\ préc. La comparaison de cette dernière, avec celle que nous venons d'obtenir, fera voir évidemment comment doit ctre composée la valeur de S^j pour un ordre quelconque de diiîcrences constantes.

Il est bon de remarquer que si l'on change S en wV^, S^ en *y,^'», comme dans le n'. prcc. on passera de S^^ro à irr, et par suite à S, , en cciivjnt dans les deux premières lignes , -J , B , C^ D ^ etc. j l.i place des quantités A' , Y^ , A"; , X, , etc. et D\ D' , D ', etc. à Cvl^* àcs ce anciens dlficieniiels qui multiplient respectivement

- , etc. dans les suivantes.

0^7. Ce qui prjccje ^'applique, par le moyen des logarithmes , aux tonctlcM^s de U ibrme

^. JBCP Y;

car Tcqviatijn

i\ Th/.i-î/; fU'i- iz)....-i-iY,

DES Différences. 159

conduit à

en supposant que les logarithmes IX, IJt, , IX», tendent à s'cvanouir; et repassant aux nombres, il vient

Ç — Ç -^^ ^^^ ^^ -^^ Pfr

-Afti^., -^l^ft'^.a -'^•''^î "-^-'V.^

Il est visible que cette hypothèse répond au cas où les fractions

— -^ , -: — - , etc. tendent vers l'unité.

Dans le cas cii ce seroîent les différences preniicres des logarithmes qui tcndroîenl à s'évanouir , il faudroit ajouter à l'expression précédente de 1*S«, la série

qui revient à

«{lX.+ l|i- + l-f'- + l^ + etc.},

et donneroit , en passant aux nombres , le produit indéfini

X,"*. — ^•— ^.— ^.etc.

d'où il résulteroit ' * "^ 5

«__ * « W__,ft) ;^ ft» ^ i-ft)

•>« — '>^i • :^ •^^ir • — v^ ' ^'

-Ai^^j Jiû)^. .^''>+î

Lequation

15« = 15+1X.— IX.^, + 1X.— IX^^^^+IX^— IX-v^+etc. se transforme comme celle du n"*. 955 , par le moyen des coefHciens différentiels , en mettant pour I Xù>^, , etc. les séries

dx I dx^ 1,2 dx^ 1.2.3

etc.

et donne

I dx «^ ^{IX.+lX. + IA^+etc. }