L'équation •7-;A'= {1(i + a«)}" peut être écrite ainsi
en observant d'appliquer, après le développement, Texposant deduï la caractéristique d , et sous cette forme elle s'étend à un nombre quelconque de variables , en sorte que
{du ^ du , du ^ ^ y . . , . . ^ ^ A + — A + /+etc. I ={l(i+Att)}\
Cette dernière équation se déduit , comme celle du n"*. précédent ; des expressions de a"«, a"'*''^^, etc. en observant que le développement de A^u peut être mis sous cette forme
{du , du ^ du , 1'
^,(du^ du ^ du ^^\
. „,,(du , du, dit, )^»
+ etc.
quel que soit le nombre entier i ^ pourvu qu'on change
dFu dfu dfu dr''^\...u
dx^ dy^ ^î'*'*' dx^dyd^ •
869. SI l'on désigne par àji , a*«2/ , A V y etc. les différences qui résultent des valeurs que reçoit la fonction u , lorsqu'on n'y fait varier que X , par am , a*^ 9 a^ « , etc. les différences relatives à la va* fiable y seulement , on aura
Si l'on fait n == i , il viendra
du • </»
tfoîl € =i+A««^, ^•^=1 + Ay«;
20 Ch. I. Du Calcul
du du
dx dy
et comme b.u-=zi ^ — i,onen conclura d'abord
A // == ( I + ^*« ) ( ï + ^j" ) — ï • puis suivant le fil de Tanalogie qui règne entre les différences et les puissances, on obtiendra
A"//= { (l + A^)(l + A^tt)— I )%
en observant de changer dans le développement du second membre
les termes de la forme (^,«)''(a^)^ en a «(^).
Cette dernière équation se démontre à peu près de même que celle du n% 867. Puisqu'on a
d^U , ,d^'u ,^ .nd'^'u ,^,
et qu'en faisant , pour abréger , a'^m = u' , il vient
A^ ^« = A V«'= -^ *^ + ^' ^y^ ^'^^ + ^"-^y^ A'*' + etc.
il est évident que
A \=—-—h'k'+ (T-l—— -A'^^it^+etc.
CL' ^ u
dxHy^
+ etc.
En prenant successivement pour/^ et pour f tous les nombres entiers possibles en y comprenant o , on formeroit des équations en nombre suffisant pour déterminer les coefficiens différentiels par le moyen des différences partielles , et dans lesquelles ces coefficiens ne passeroient pas le premier degré. Sans qu il soit nécessaire d'effectuer l'élimination , on peut donc affirmer que la valeur de chacun «d'eux ne contient que les premières puissances des différences partielles àtu^ et que par conséquent le développement général de a"!/ ^ qui est de la forme
(*) On reconnoit sans peine que A u n'est qtic Tabbréviatîon de Ai',( A^^;/ ),
If j y
et que Ton doit avoir APjrCA5>w) =^^y(AP»«) , ou A «= A «,
. l> E s Différences. 21
d^u (Tu d^u
h- +Z>' A'»-' A + D' -; -A"-U»+ etc.
idr^'ù d'^'^'u dT'^'u
+ etc.
deviendra nécessairement de celle-ci
A"/^ = £ A\ ï^ + £' A ' « + £'' A ^ + etc.
+ jE A w + £' A « + E"a u + etc.
+ etc.
Les coefficlens E , E' £^ , -S'/>- • • «etc. étant îndépendans de a,
doivent demeurer les mêmes ^ quelle que soit cette fonction ; mais dans le cas où « = e*^, on trouve
ce qui donne
(eA+Â jy£ (a— i;^^ +£' (e*i)"-»(e^i) + r^ (eA i)«-^(4*l)«+ etc. • +£^(eA i)''+>+r^(e^— l)'^ (e'^— l) + r^^(e*i)'^-'(,*—l)*+etC. + etc.
équation qui ne sauroit être identique à moins que le premier membre ne puisse se développer comme le second , suivant lés puissances de ( t^ — i ) et de ( e* — i ) j or c'est ce qui a lieu , car il est visible que
c'est donc dans le développement du deuxième membre de cette dernière équation qu'on trouvera les coefficlens cherchés ; et si Ton y substitue a^^^, a^ , ^yU , au lieu de («*+*— 1)% (^*— i) , («* — i), on retombera sur l'équation
A"« = { ( I + A^) ( i^+ A^a) — I }\ Nous ne pousserons pas plus loin ces calculs , d'après lesquels on voit évidemment que y quel que soit le nombre de variables compris dans la fonction u ^
Le développement de cette formule n offre aucune difficulté. On connoît la forme générale du produit (i+^)(i+^)(i + î).f;
11 Ch, I. Du Calcul
en se bornant à trois lettres , par exemple , on a
d'oîi retranchant Tunité et élevant le reste,
•^ + J' +î + ^J' + ^ î + Jî + ^ J î > à la puissance Uy on formera l'expression de A"a, en changeant les
termes de la forme aA'V en a u.
870. Nous avons supposé dans tout ce qui précède que chacune des variables indépendantes x ^ y ^ ;[, etc. ne recevoit que des accroissemens égaux ; mais pour donner aux résultats du Calcul des différences toute la généralité dont ils sont susceptibles , il faut concevoir que ces variables éprouvent des changemens successifs quelconques et indépendans les uns des autres. Pour mettre de la symétrie dans les expressions analytiques , nous représenterons les accroissemens des variables indépendantes comme ceux de la fonction proposée. Dans le cas où // ne contiendra que la variable x,^ nous établirons que les valeurs
''ij ^*i ^î> ^n^
correspondent à ces quantités:
qui désignent les divers états par lesquels passe x , et nous ferons
;i;,— •;i: = AAr, ;r.— Ar,=: A*-, , x^ — ^» = A ;c^ , etc. Aa:,— A:v = A'j^ , ù^x^ — Ajf,= A*^„ etc.
A*x, — A*a: = ù?x , etc.
etc.
nous aurons par conséquent
a:j=a: + Ajc, jra=;<f+iAA:+A»A:, Ji:5=Ar4-3Ar+3A*:c+A'j;, etc.
et pour déterminer les expressions de u^^u^y u^\ etc. il faudra chercher ce que devient la fonction proposée u ^ lorsqu'on y met successivement jTi , x^j jr, , etc. au lieu de :i; , en sorte que si Ton écrit tt = f(:r), il viendra
r, K rr ^ . ^(^-^l) n(n l)(/î 1) , .
u^•=i{x^^{\x'{^^ùa+-^ fA*jc+ -^^ ^-^ lù?xJ^ etc.].
DES Différences. 23
Si l'on substitue à u^ la série du n\ 860 , on obtiendra l'équation
n nfri'^^i) . n(n — 1)(;2— 1)
i^^+^ûtt+— i ^-^^u + -^ ^^ . ^A'tf + etc,
= frJtr + -A:*: + — i ^A^^t: + -i^ ^-^ ^ a';c + etC. ] ,
qui doit se vérifier indépendamment d'aucune valeur particulière de/2. Si donc les deux membres étoient développés suivant les puissances de n^ on pourroit égaler entr'eux les coefEciens d'une même puissance f et les équations qu on obtiendroit par ce moyen serviroient à déterminer les différences de la fonction u par celles de la variable x. Ce procédé est analogue à celui du n"*. 34 . et s'étend de même aux fonctions d'un nombre quelconque de variables; dans le cas oit Ton auroit u=i{(^x^ y , i) , il viendroit
n /^(n— i) n(n — i)(n — 2) , tt + - A «^ + — ^ i A^u + -^ — ù?u + etc. =
frAr + -AAr+ -i iA*jtr + -^ ^^^ ^ A^a: + etc.,
y + ^Ay+ ~i ^A"^+-^ i^^ ^ A^j + etc.,
n n(n — i) n(n — i)(n — 1) , { + -A^+ -^ ^A"7+ -^^ ^-^ -^\+ etc.].
En comparant les termes affectés d'une même puissance de n dans le développement de cette équation , on s'en procurera un nombre suffisant de nouvelles pour déterminer a 2/, A'2/, a^;^ , etc.
871. Les calculs qu'entraîne cette méthode peuvent la rendre encore fort laborieuse, et souvent on préférera déduire les unes des autres les différences successives , ce qui , lorsque u ne dépend que de ;r , s'effectue ainsi: on passe d'abord de Au à au^ ,'en écrivant x, et Ar, , ou, ce qui est la même chose ^ x+^x et A;c+ a*a; , au lieu de x et de A ;r, et on a a''u = Au^ — ^u; on obtient ensuite a*^, , en
mettant a:, , Ajt, , A*;^^, ou x+AXy AA:+A»;if, A*a: + A^jk:, à la
place de X, Ax, a*ap , ce qui donne a^u=zA^u, — a*«. Sans pousser plus loin , on voit que pour passer d'une différence à celle qui vient après, il faut regarder en même tems comme variables x et ses 4iffîrences ; et que par conséquent à chaque différeniiation le nombre iitâ variables s'accroît de l'uniic.
X4 C H. l. Du Calcul
Les dîfFérences de u se développeront aussi par la série de Taylor, généralisée pour un nombre quelconque de variables. En regardant Aa comme une fonction de x et Ar , on aura
Jau Jsu
dx a A X
( d^£iu d*Au d^Su . >
+ etc.
du AJT d^U Ax*
et puisque Azf = j- -i- etc. on aura
dx l dx^ I.l
d'à du
+ etc.
en ordonnant par rapport aux puissances des différences a.v , A*x , etc. Cet exemple suffit pour montrer comment il faut s'y prendre dans tous les cas , quel que soit le nombre de variables indépendantes j puisqu'il est aisé de faire , par rapport à chacune d'elles , ce qu'on a fait ci- dessus à Tégard de x^ et que d'ailleurs la mé« thode que nous indiquons ici revient au fond à celle qu'on em« ployé pour obtenir les différentielles successives» lorsqu'on ne prend pour constante aucune des différentielles des variables m* dépendantes. Nous nous bornerons à observer que si dans l'es* pression de a'u , on écrit en première ligne les termes qui con* tiennent la puissance la moins élevée de chacune des différences des variables indépendantes , l'ensemble de ces termes deviendra identique avec la différentielle ^j/, lorsqu'on y changera Ax, A*x , etc. Ay , A*jr , ctc. en dxy d^x , etc. Jy^d^yj etc. et que chacun d'eux sera de la forme
3/A.v'A V s'x^\ . . .Ay'Aysy . . . ,:^ j'AY aV , etc.
M désignant une foncHon des variables Xj y , ^ , etc. les expo* sans satisfaisant à l'équation
jy E s Différences. 15
872. L'application du Aéorême de Taylor , fournît une expression trèS'élégante du développement de A"// , lorsque u ne renferme que la seule variable x. Pour y parvenir soit
nous obtiendrons
du h, d'u h\ ^a A'',
^a: I dx^ I.l ^:t:^ I.I.3 du A. ^«/^ A% ^/'^^ A\ ^a: I dx^ 1.1 ^;i:^ 1.1.3
ii^=u^— -^ + 7-, —^ + 7-3 — + «^^•
a;c I ^A* I.l dx^ 1.2.3
^«A- ^/< h\ eu A'
'^^=« + 7- — + 7-7 -^+7-3 ^— + «te.
dx I ^;c* I.l ^:i:^ 1.2.3
et substituant ces valeurs dans la formule
n nin — i) n{n — 1)(/2 — 2)
nous aurons
t n n(n — i) nin — i)(/z — 2) ^
A"^=: u f I +-!^ ^ !^ — ' +etc.}
I </« f , n, r(/2 — 1), nln — 1)(/2— -2) , ■ ^
+ TXIgt''-T*-+^*-- ...■3 *'-+'"■>
+ etc.
Le coefficient de k est identiquement nul ; car ce n'est que le déve- \
loppement de (i — i)"; de plus, si Ton changeoit en exposans les
, . * du d^u (Pu
indices de la lettre A , les séries qui multiplient •— , -- — , — -= , etc.
dx d X* dx
deviendroient respectivement égales aux développetnens de (A — i)",
(A* — 1)% (A^ — i)', etc. privés de leur dernier terme , qui est qpi',
suivant que n est impair ou pair : on peut donc remplacer ces
séries par les quantités
( A— I )"=fc I , (A*— I )''=t I , ( A^— . lydzi, etc.
appendice. D
26 C H. l. Du Calcul
en observant , lorsqu'on développera , de convertir en Indices tous les exposans n, n — i , n — i , et de ne laisser à la lettre A que les exposans , 1^2,3^ etc. dont elle est affectée dan$ les parenthèses ci-dessus: c'est ainsi que Prony a présenté la formule suivante ^
CaU^f'de!"dl(fé- ^75* ^^^^ ^^^ principaux usages du Calcul des différences a pour rences à Tinterpo- objet V interpolation des suites ; cette opération consiste à insérer entre ation es suites, i^^ termes d'une suite donnée de nouveaux termes assujettis à la même
loi que les premiers. Soient u^^u^^ u^y etc. les valeurs particulières que reçoit une fonction quelconque u , dépendante de la variable x^ lorsqu'on y change successivement :*: en :r+A , x+iA, ^^+3*, etc» on aura ces deux suites correspondantes
x^ x + ky x+zh, x+'^h^ etc.
Uy «I , u^f «î , etc.
mais outre les valeurs ci- dessus , la fonction 2^ en a une infinité d'autres résultantes des valeurs de x , intermédiaires entre celles qui répondent à la suite proposée; déterminer ces nouvelles valeurs de u sans connoitre l'expression du terme général de la suite , ou ^ la manière . dont la fonction u est composée en :r , et seulement par le secours des valeurs numériques des quantités UjU^^u^^u^^ etc. c'est-là ce qu'on appelle interpoler la $uite u ^ u^^ u^^ u^y etc.
La question que nous nous proposons ici revient donc à trouver la valeur de u lorsque x se change en x+h\ h! désignant une quantité quelconque, en n'employant dans le résultat que les différences de la fonction u , calculées dans l'hypothèse où x varie de la quantité h ; or on a par le n^ 867 ,
Su
—r A»= ùfu + Aà^'ù + A'é^'u + A^'ùî^^u + etc. • dx^
d*oîi il suit
^ A'»r= ^ ( A^/^ + ^'A^'« + ^''A^i^ + etc. ).
dx\ h\ '
r> E s Différences. 27
Si on tîroit successivement de cette équation les valeurs de
du d^u ^u
v > T"^» "T^ j etc. pour les substituer dans la série dx dx^ dx^
du h' d^u A'* d?u h'^ u + j + — + — ^ + etc.
dx I dx^ l.i dx"" l,2.3
qui exprime ce que devient u lorsque x devient x+h' ^ on aurolt un résultat de la forme
+ ( 5'. 1 + i?".^ + B"',Ç) A'« + etc.
B\ B"y B\ , 5", , B"\ , etc. étant ainsi que A\ A\ etc. des coefficiens numériques indépendans de A ; et désignant par a'« l'accroissement que reçoit la fonction a dans le passage de x à x-^^h'y il viendroit
i + A'«=:i + — A « + (5'y + -B"-r7 ) A'» + etc.
Cette équation devant avoir lieu quel que soit«, subsistera encore dans le cas oh « = e*, et se changera alors en
e«'=i+£(**-,)+(5'^ + i?"l')(.»,).+ etc
équation dont on ramène , par le développement , le premier membre à la même forme que le second ^ en observant que
e*'= [ I + ( «* — I )] ^ ; et comme en remettant dans le second A//,' A*tf, etc. à la place des quantités e*— i , («* — i)*, etc. on retombe sur le développement de i+^'^y on doit en conclure que
I + a'« = ( I + A a ) * , pourvu qu'on se rappelle de transporter à la caractéristique A » dans le second membre^ les exposans des puissances de A//.
Ce résultat , aussi simple qu'élégant , a été présenté par Lagrange comme une conséquence de l'analogie que les différences ont avec les
puissances. En effet, il suit de Téquation e^ =:x + a«, ( n^ S64),
^8 Ch. I. Dc/Calcul
que € ^ =(i +Ai/)^, ce qui donne sur le champ ,
i+a'// = (i + a«)'^, puisque r"^* =i+a'^.
En développant le second membre de Téquation que nous venons d'obtenir, ainsi qu'il a été prescrit, on trouvera
a'« = — A z^ + -1 — ^ A»« + --^ ^-^ ^ £^^u + etc.
h n.ih h.ih.-^h
Si l'on fait y4 = i , on aura
A'w = — Au + — 1 A*iz ^ ^ ^-ï^ 1. a'// + etc.
série qui n'est autre que celle du n% 86o, dans laquelle on auroit mis h' à la place de n.
874. Venons maintenant à des applications. Si Ton désigne par uf ce que devient ï^, lorsque jc se change en at + A', on aura u'=zu + ù!u^ et il est visible que pour tirer parti de l'expression de A'^, il faut, ou qu'elle se termine , ou du moins qu'elle forme une série convergente. Le premier cas a lieu toutes les fois que la suite des différences Aw, A*«, A^Uy etc. se termine elle-même, c'est-à-dire, lorsque l'on parvient à un ordre dont les différences sont constantes, ce qui rend nulles celles du suivant.
Soit d'abord la suite
3, 7, 19, 39, 67, etc. correspondante aux indices
o, 1 , 1, 3, 4, etc.
on a pour ce cas,
«=3 , x=iOy k=i , A«^=4i A*^=8, A^«=o, ( n\ 860 ); l'expression de a'u se réduit à ses deux premiers termes , et Ton obtient par son moyen a'u = 4 A'+ 4 A' ( A' — i ) = 4 A'* :
ainsi pour l'indice A', il viendra i/=3 -f 4A'*. En prenant A'= ^ , par exemple , on trouvera que le terme correspondant à cet indice est 28.
Proposons-nous encore la suite
I , 4 » 2. , 3 , 9 , 16 , etc. en prenant les indices comme à l'ordinaire , savoir :
DES Différences, 19
et formant les différences * on trouvera
A:=i , a=r, 4a=3 , A*tf= — 5 ,, A^u=8 , i*«= — 6,a*«=o,
d'où on tirera'
,/-, 1,*' hXV—,) h\h'-,){!,'-:,) ^t-(4-— )(y-i)(i--;)
en réduisant cette expression, et l'otdonnant par rapport aux puissances de h\ on aura
, 11+ ii6A'—iiiA"+34A''— 3^*
11 est important de remarquer que l'expression de u\ dans cet exemple et dans le précédent , étant rigoureuse , et convenant à toutes les valeurs de k\ offre le terme général de la suite proposée , puisqu'elle en donne tous les, termes particuliers.. en y faisant sucr. cessivement h'=. o , h'=. 1 , h.'-= i'-^ etc. et quoique nous n'ayons * rapporté- que les premiers -tenhies de -àettc-ciàte, ^ p«iit: U continuer aussi loin qu'on voudra , suivant la; loi observée dans ces termes. Il en sera toujours de même quand fa'série proposée aura '■ des différences constantes, parce qu'elle ne peut résulter. alors que des valeurs successives 4*une fonction algébrique rationneUfl^ et entière. • -, ' - ■ m ',- oi
'Syf.Les cas, auxquels -on appliquele plus fréquemment 1a.foHni)ll9
■ A.,-L. ^ ^ab-+ ''^ ■ ^A'aetc' '
h. là h. in. 3a
sont ceux dans lesquels tes différences Au, A'u y A^u , etc. vont
ett décroissant» parce qu'alors elle est convergente. En voicî un
exemple tiré des tables de logarithmes. Je suppose qu'on veuille obtenir
lelogarithme ordinaire de .3ii4tî9i6j36>, parje moyen d'une table
contenant les logarithmes depuis i jusqu'à 1000, avec dixdéctma}ei;
on regardera, alors les logarithmes contenus dans la table comme des
valeurs particulières de la fonction u , les nombres comme les indices
aiuquels répondent ces valeurs ^ ,et on formera le tableau suivant
»,=o^98,ip5,58 , ^' ^^
..=0,499«87c8i« Ay^]^.
«,=o,50iOî9i«ii .i^-g;'»
30 Ch, I. Du Calcul
dont ]a première colonne renferme les logarithmes de
3>i4» 3»M» 3îi6, 3^17, 3,18; la seconde , leurs différences premières ; la troisième , leurs différences secondes; la quatrième^ leurs différences troisièmes, et la cinquième leurs différences quatrièmes qui se réduisent à trois unités du dernier ordre : on aura par ce moyen
Au= + 0,0013809057, A*i^ = — 0^0000043769; A^tf=r -I- 0,0000000177, A^«= — 0,0000000003 ; et comme A=o,oi , A':= 0,001 5 916 5 3 6,on obtiendra
A' Il h h'
-lÂ-=iÂ-t'^=:r^>^^^"78", "-ïr'=^-^=-<''7ioi8366:
tttec œp Takurs il sera très -facile de mettre en nombres la formule
A A.iA A.1A.3A A.1A.3A.4A
qui ''donÀeVa «'=0,4971498716.
■ "* Il etiste des moyens plus faciles pour obtenir les logarithmes des '. nombres exprimés par beaucoup de chiffires, mais le précédent est ifèi^fÂprê â* Servir <Fexemple pour la méthode d'interpolation. On doit reconrioitre déjà que cette méthode s'étend à beaucoup d'autres cas , elle est sur-tout d'un très-grand usage dans les calculs astronomiques,
876. Si on développe l'expression générale de «, suivant les jpiiissances de A , le résultat sera de la forme
' -=!•:.. \ tt'=tt + ^A'+5A'-+ CA'^+ etc. et le dérAtei exposant de h\ marquera l'ordre de la plus haute différence à laquelle on* ait eu égard. Il est vibible qu'en considérant A' comme une abscisse , et u' comme l'ordonnée correspondante , l'équation ci-dessus appartiendra à une courbe du genre parabô* lique; et puisqu'on doit avoir successivement
.ji*=fe-irj ni -=.11^ y, u'z^iu^^ u'=u^^ etc. lorsqu'on fait A^= o , ■ A^^ A , « h'= 1 A , A'= 3 A , etc. il s'ensuit que cette courbé doit passer par autant de points donnés ,
