X . III
{ I + —+—+—+ etc. )
+ — { i + — + — + — + etc. } X ^ 2* 3» 4* ^
*^ r III
+ etc.
Les deux séries qui multiplient la première puissance de x , n'ont chacune pour limite que l'infini » mais leur différence aune valeur finie. La première, poussée jusqu'au /i"* terme , se réduit à \(^n+ 1) , tt quant à la seconde , on a par le n". 939
iiii ï^. I JB,
I + -+-+-+-. . . • +-=C+ln+ 4 + etc.
soustrayant le dernier membre de cette équation de I(/z+ 1) ,on aura pour la différence des séries proposées ,
1(^+0 — 1«—C L+L + etc.
quantité dont la limite est C, en supposant n infini; or C=095772i566490i5325 : il viendra donc
x^ , III
+ — (i+— +T7+— + etc.)
( I + - +— +— + etc.)
, «* , III
.+ etc.
Àppcndlct, X
i6i Cn. l. Du Calcul
d'oîi on tirera •
+ xrf^(i+^+-^ + ^ + etc.)
— atVatC I + 4- + -T + -T + «^^0
+ Ar^ix( I + -L + -L i^ + etc.)
— etc.
Toutes les séries de cette équation peuvent se réunir en une seule ^ si l'on observe que
X — x*+ x^ — x^ + etc. = /
etc.
*et il viendra ensuite
— j! = —iA:.o,5772i 5664901 5325
li(i+x) 2(n-.i;) 3(3+^) 4v4+-^) >
959. Pouvant ainsi trouver ce que devient la fonction S^ lorsque x se change en x-^-uy on obtiendra sans peine la vraie valeur des expressions composées de ces fonctions , et qui se présentent sous la forme de \ : telle est la suivante
lorsqu'on y fait .v = i.
Si on fait iH — | — ....+ - = S ^ on aura ( n% 9^5 )
5= ;,(i+i-+±.+± + etC.)
* 3 4 — **(i+^+4+^ + etc.)
2* 3* 4* — etc.
ce qu'il est facile de convertir en
•y=i+ — + — + — +— + etc.,
-etc.
L+AT 2 + Ar 3+jt 4+ar
= i'+ —f — \ — r+-7 r+-7 — ; r + etc.
La substitution de i + » 9 à 1^ place de ^ , dans ce dernier résultat \ donnera
^»=i + -7 — ; — xH — 7—- — r+-7 — ; r + etc.
ou 5»= I + Z)j« + Dy+ Dj^cà^+ etc.
en développant par rapport aux puissances de » ; par ces opérations ,
la fonction proposée deviendra
(1 4- i«)(i +!?,« + Z?X+-P^<^^+e^cO — ( I + « )
2?,» + Z>^ft)*+ etc. + ft) + 2 6) ( Z?,<tf + Z)X+ etc.)
divisant enfin les deux termes de cette fraction par a» ^ et supposant ensuite «=o, on aura D^+i pour la vraie valeur de la fonction proposée dans le cas oîi jc=o ; or il est facile de voir que
2?,= —+-7"! — T + ^^^' ^^ ?^^ P^^ conséquent 2^ 3 4
A+i = i + ^+-^+-^+ etc. = ^ ( Ti\ 942 ).
1^4 Ch. I. Du Calcul
960. Venons maintenant à quelques exemples d'Interpolation : sole la suite
III III
a a a-i- 1 a a-\' b a+zb
III I
a tf + /» a-^-xb fl + (:c^i)A
En désignant par S le terme général de cette suite , on aura
a u-^-b a+xb a-^Çx — i)b^
et comme les parties qui le composent tendent à s'évanouir , on trouvera par le n-. 957 ,
^'"^ a + bx ' ^""-^'^
a + r-t-TA" ^
etc.
5«=5+ — ^— + ^ ■ ' . + . ", . . +ctc.
tf + TA* il + ^ + r;c
tf + ^a: + ^«
a + b + bx + b»
tf+i*+^^
OU bien
— etc.
.S\.= 5+ bu^
— r'ft- 1 1 4. etc. V
f *-'|^ — ;-- — r.T; — —; ^-rr--; ; — — rr + CtC. \
en employant la vàîour de 5*. , exprimée par les cotiHcîens dlffé* renlUls. Appliquons ces tbrmul<s à h scile
i> i-r,, ï'r.Tj, i-Ti-rj-rï, etw.
