I II III

i66 C II. I. Du Calcul

nous aurons X = — - , A»= , et en faisant x=:o i

il viendra , pour le terme correspondant à l'indice a ,

Sco= I + -T + — + -T +^tC.

— etc.

Si Ton prend «= 5;, on trouvera

5,= I ;^ + — ;;■ + — - +— r+ ^tC.

ce qui revient à

/IIITIIII V

et si Ton représente par j4 la série

on obtiendra 5, = 2"— 2"-.^/ , d'oîi Ton conclura pour les indices

les termes

2^—2"^, i"+l.2"^, i-+l.+l__2-^, etc.

961. Occupons-nous encore de quelques séries de la forme J, yiB, ABC^ ABCD^ tic.

et prenons pour premier cas particulier la suivante

a tfrt-4-t* a a + c a -^ic a a-hc tf+(jf— i)c

Nous aurons par le n\ 957 ,

en supposant que les logarithmes dos tactcurs tendent à s'évanouir, et en t'iusant .v:=o , d.uis -\\ y A' , , A'j 9 et dans -X.»^, , -X*^^ 9 etCt

DES Différences. 167

Si Ton prend tf= I , ^=1, c=i, on aura la série

a> a'4> a-4'6* a'4'6'8* a 4 • 6 • Jf • » o > ^^^»

pour laquelle on trouvera

^ i(i + i«) 3(4+^^0 s(6+2^0 7(^ + ^^) ** i(i + i») 4(3 + 2«)*6(54-iw)'8(7 + ift>)*

et les termes qui répondent aux indices »+i, w + i, etc. seront nécessairement

^ I + la, 3 + la,

ainsi qu'on peut s'en convaincre par leurs logarithmes , qui se rapportent au premier exemple du n"". précédent. Soit « = 7, il viendra

ç i-3 3-5 5-7 7-9 9-" ^.^ 2.Z- 4*4 6.6 o.o lo.io

résultat qui se change en - ^ d*après l'expression

ir 2.2 4.4 (i.(ï 8.8 10.10

1 1-3 3-5 5-7 7-9 9-^1 rapportée dans le n"". 945 ; on aura donc pour les indices

- -^ ^ ^ exe

les termes

■" j — . — , .— y '■ •— ^ etc.

^ 3 cr 3.5 X 3.5.7 ^

Proposons-nous encore la série a^ a{d-\'b)y a{a + b){a-\-xh) , . • . ^(^ + ^)..,. (^-^-(a; — i)^), etc. dans laquelle ce sont les différences des logarithmes qui tendent à s'évanouir; la seconde formule du n**. 9^7 , nous donnera pour ce cas

. « tf (a-h^) (.^ + *) {a + xF) {u + ib) {a+^b) o^^=a • ■ • ' — 7 • ■ — ' — ~ .tic.

i68 Ch. I. Du Calcul

d'où nous coDcInrons ensuite

Soit pour exemple fl = i, A=i,ou

i^ 1.1, I.1.3, i.2.3.4> etc. et faisons «* = î j nous obtiendrons

Il II I r I r

Ofl»= I * . — —7 • — • — ; . — —7 . , etc.

passant aux quasrés > nous aurons

*j fli"^~ • "" • ^""^ • — — « etc.

En rapprochant cette expression de celle de -^ on verra que

5" = -, d'où on conclura qu'aux indices

répondent les termes

962. Ces dernières interpolations s'obtiennent avecla plus grande facilité par la théorie des puissances du second ordre. Il suffit pour

cela de changer l'expression [/»], en produits infinis. Or on a ( ïi\ 902 ),

ou [/'] = [/'][.''+•']• —*

en observant que L/' + r — r. ] = --. Il viendra de même

LvJ-Lv-iCv+'i.—

d'ob

DES Différences. 169

d*oii on tirera

^ b + ^llî — '^l

Maintenant il est visible , soit par le développement , soit par ce qui a été dit ^ n"". 902 9 que la limite vers laquelle tend l'expression

C/'+^][?+'']ià mesure que le nombre indéterminé r augmente par

rapport aux nombres/'^ y>et;ï,est[A][rJ,et que cette dernière tend à son tour vers y^r'"''=i. En supposant donc r infini , on aura

(-pTr^î— [/^] [?] (/^+^+0(;>+/»+i)etc. (q—n+ t)(g— /2+i)etc.

H-^I'C^-^T] (/^+0 (/'+-) etc. • (^+0(f+Oetc.

valeur dans laquelle le nombre n n'entre plus comme exposant. Prenons pour exemple la série

1.4 2.4.6' 2. 4.6. 8. ...2:1? ' dont le terme général est ^^''~"^*^*^ = ^'C^—il j-^ ^^j--^ .

dans ce cas on a /» = x — î, f = o, « = *, et il vient

Si Ton fait at = 7 , on trouvera ^ en développant les puissances affectées de l'exposant infini r ,

.■n^rl(r+0(7+^)(T+3)etc. (r-0(t-{)(3~7)etc.

I o\ loi = ' ' • — — —

^ "^*- -* 1 .2.3 .etc. 1.2.3 -etc.