En changeant dans Téquation

• [y'+/]=i>"]+[?kôk«!i[7i+[î][oî[«][?J*

+[/] (ô) [«]î7]+[/] [o][« JW+ etc.

Jppcndici. Y

170 Ch. I. Du Calcul

à laquelle nous sommes parvenus dans le n*". 904 j q tn m^ p tn p + n ^tt multipliant ses deux membres par [/>] , il viendra

lP+mJtnJp]=[p^nXp^+lm][^^^^^

+ etc.

Qr il est visible que

n — « «—1 — » —1 n— » —Il —4

Il— « — rt — »

on aura donc

+ [/7/][ô^][nn/'] + [/wKo][«K/'] + etc^ et comme le second membre de cette équation demeure le même lorsqu'on y échange les quantités m et n entr'elles , il s'ensuit que

Ip+m+n ][/>] = [/^ +n + m'] [p ].

Si Ton remplace /^ par ^ , et qu'on écrive ensuite/' à la place de q+m+n, on aura cette expression

dans laquelle la quantité n n'entre plus comme exposant, et qui peut par conséquent servir à l'interpolation. En l'appliquant à l'exemple du n"". précédent , elle donnera

+ C-i][ô][*][o] + [-îî[ô][*-]W+etc.

résultat qui revient à

9^4. Nous pouvons , à l'aide de ce qui précède , trouver Texpression de 9- ^ dont nous avons fait usage dans le n"*. 945 , et plusieurs autres très-remarquables. Pour cela il faut développer la quantité (1 — x^y^ dans l'intégrale /2r/;t"'~"^;t:( i — jt')'", ce qui donnera

nrfx'''"dr{i'^x'Y—nrfx'''^'dx{i—{p}\ [o>'+[/n] \p]x^'—\m] \p]x^'+ etc.} Intégrant chaque terme ^ depuis x=Oy jusqu'à :t-==i , il viendra n * -' n * -* n ? -î n 4-4

expression équivalente à celle-ci

+ («+x)(«+x)(«+3)(«+4) ^"^^°^^ **'' que l'on peut écrire comme il ,suit

+ [/n][o][— /ï][/2]+etC.

Cette dernière, devenant identique avec le développement de

n —Il

[^+iw-H/î][/'], rapporté dans len*. précéd. lorsqu'on y change n en — n tXpttifi^ est par conséquent celui de la quantité \n 4- m — ri] [rî] ,

ou [/»][/i] 9 d'où il suit que la valeur de l'intégrale /2//3c""" Vjk-(i — x')\

prise depuis x=o^ jusqu'à :f=i , est [^] [n], ou

(/2+i)(/2+i)(/2 + 3)... {m+iXm+iXm+i)... ^ n^.QÔi).

Appliquons maintenant ces formules au cercle , dont la demi-cir-

conférenceestdonnéeparTintégrale /-— 3=:: ( n*. 410 )

nous

aurons pour ce cas r=i , «=7, /» = — f, et nous tirerons du développement en série

- = I + — + L+ LJ- + etc.

lyi Ch. L Du Calcul

résultat qui n'est que celui du n''. 410 ; mais en faisant usage du développement en puissances du second ordre ^ nous obtiendrons

et en observant que l'équation L/'] — C/'] [p^^ff^l (n^ 901 ),

donne l{\=W\i—Ù^ nous déduirons de là t^ = 2([î])%

dou 9r = 4( [^])% ou enfin ^ = 2.[î]«

Cette expression est bien digne de remarque , car la quantité ana«

logue à 2 [^] ydans les puissances ordinaires ou du premier ordre, étant z(j)»=—: :=K z, exprime la diagonale du quarré dont le

côté =1 , tandis que V v est le côté du quarré dont Taire est

égale à celle du cercle ayant pour rayon Tunité.

Si Ton développe le produit [7] [ — 7] , d'après le n**. 961 , on

tombera sur l'expression de Wallîs tt = - ^ , rap-

portée dans le ( n". 945 ).

On parvient encore à ce résultat sans le secours d'aucune intégrale y ainsi qu'il suit : on a

ii^i

riir— ii = î — I