L.JL .J (

a -1 1(L — il ,

etc.

d'oii il faut conclure [;-][ — ï] = ± , suivant que n est

impair ou pair; et avec un peu d'attention on reconnoit que

. %n — I sm T

Texpression donne précisément les mêmes valeurs

lorsque l'indice n est entier , d'où il résulte que les deux expressions

• in — I sm 7f

[î][— 7] et , ont une infinité de valeurs communes*

En interpolant donc la première par la seconde ^ on en déduira

2 I sinox-

mais la vraie valeur du second membre de cette équation étant ^ 9r ^

il viendra [î][ — r] = ""> comme ci-dessus , et nous apprenons

en même tems par là que le terme qui répond à l'indice \ dans la série

\9 +li ""^T^ +7> -—etc.

<rt [4]t-î]. Si l'on fait n=^~ ou 7 > on trouvera

3*9* 9« i5«i5«ii»2i.27. .. 1 puisque sin-g^ =v

Prenant encore /i = i, ou ^, on parviendroit à

x«o»o» io« 10* 14* • • •

à cause de singer = 7 Vi.

96^. On peut obtenir dans cet algorithme un nombre infini de résultats semblables à ceux que nous venons de rapporter , et parmi lesquels il s'en trouver^a qui seront transcendans , d'autres qui seront seulement irrationnels , et d'autres enfin qui seront rationnels, ce qui établit une difFérence essentielle entre les puissances du premier ordre et celles du second , puisque par les unes on n*a pu exprimer en termes finis que des quantités rationnelles ou irrationnelles, et que les autres s'appliquent aussi à certaines transcendantes. Il est incon-

174 C H. I. Du Calcul

testable que les puissances du troisième ordre , nécessairement plus générales que celles du premier et du second , doivent s'étendre à des • quantités qui ne peuvent s'exprimer en termes finis par celles-ci. Vandermonde , dans le Mémoire dont nous avons tiré ce qui précède, comprend toutes ces quantités sous la dénomination. géné« raie HirrationnilUs , et il les distingue en ordres , en appelant irrationnelles du premier ordre , celles qui résultent de l'extraction des racines , irrationnelles du second , celles qui répondent à des exposans fractionnaires dans la série des puissances de cet ordre et qui sont irréductibles aux précédentes , et ainsi de suite. Non-seulement cette nomenclature , et la notation dont elle dérive ^ ont l'avantage de conserver l'analogie des idées y mais elles me pa« roissent propres à mettre sur la voie pour résoudre des questions importantes qui se lient avec le;s réflexions exposées dans les n" 675 et 697.

Jusqu'à présent on ne s'est guère occupé que du problême direct de l'interpolation ; cette recherche présente y comme toutes les autres, une question inverse qui peut être plus difficile que la question directe » mais aussi qui semble intéresser beaucoup les progrès de l'analyse. L'extraction des racines n'est évidemment que l'interpolation par rapport aux puissances du premier ordre , et la recherche des logarithmes , la question inverse dont nous parlons , puisqu'il s'agit , dans le premier cas , de trouver la quantité qui répond à un exposant fractionnaire % et dans le second l'exposant ou l'indice qui répond à une quantité donnée. Dans l'interpolation on connoit l'indice et on cherche le terme intermédiaire ; dans la question inverse c'est ce terme que l'on connoît , et l'on veut trouver à quel indice il répond. Il résulteroit de ta solution de cette question une manière d'exprimer toutes les grandeurs en les regardant comme faisant partie d'une suite proposée ^ et il doit nécessairement arriver que quelques-unes répondent à des indices entiers ^ d'autres à des indices fractionnaires , d'autres enfin à des indices dont la valeur ne seroit susceptible , en nombres , que d'une expression approchée ; et comme toute série , dont les termes croissent indéfi^ niment , peut comprendre > au moins par approximation , une quan* tité qui surpasse son premier terme ^ quelle qu'elle soit d'ailleurs ,

V E s Différences. 175

il existe un nombre indéfini de manières de représenter une quantité quelconque parmi lesquelles il doit s'en trouver d'utiles pour classer les transcendantes, pour les réduire les unes aux autres lorsque cela est possible , et enfin pour en dresser des tables , ce qui paroît le seul progrès qui reste à faire dans le Calcul intégral des différentielles d'une seule variable.

<s66. Nous avons montré dans len*. 191, les inconvéniens de „,,P'?^*"'^" ^"^

-,,,:.. ... ... • , . 1 élimination dans

l'élimmation successive de» inconnues , inconvéniens qui deviennent les équations algéd'autant plus grands que Ton a plus d'équations à combiner en- ^"^"^*' tr'elles ; nous allons faire connoîtrç la méthode]qu a donnée Bézout pour les éviter. Pour faire concourir de la même manière chacune des équations proposées à la formation de l'équation finale ^ le moyen qui se présente d'abord à l'esprit ', et que Ton trouve appliqué dans les élémens , aux équations du premier degré , consiste à les multiplier par des facteurs indéterminés , puis à les ajouter entr'elles , et à égaler à zéro les quantités qui multiplient les inconnues que l'on veut faire disparoître.

Si l'on avoit , par exemple , les trois équations

a x*+by + c xy + d x-i-ey-hf =0

a''x-+by+c''xy^d''x + ey+rz=zo,

et qu'on les multipliât respectivement par trois polynômes de leur degré , savoir : par

j4 x^+By^+ C xy+D x+Ey+F jt'x^-hBy-hCxy+D'x + E'y + F' A"x^+By+C'xy+D''x+Ey+F^,

en réunissant les produits qui seroient du quatrième degré et en les ordonnant par rapport et x tty^ onauroit une équation* somtfie ^ qui contiendroit quinze termes , respectivement affectés de

*>* *'y» xy, y

lyS C H. l. D ir Calcul

mais comme on auroit introduit dix-huit coefHciens indéterminés , on pourroit égaler à zéro les coefficiens des quatorze termes qui contiennent :t: etj^, et ne conserver que celui qui en est indépendant ou qui est multiplié par x"" : on obtiendroit ainsi l'équation

Ff+F'f+FT=o.

Il est facile de voir que les coefficiens AjBy...A\B\... A'^j B"... se détermineroient par des équations du premier degré ; mais leur nombre total étant 1 8 , il en resteroit quatre d'arbitraires.

Pour appliquer cette méthode à des équations plus élevées , ou qui

soient en plus grand nombre , il faut avoir préalablement résolu les

questions suivantes: i"*. déterminer quel est le nombre de urmeî qut

doit renfermer un polynôme complet d'un degré quelconque et comprenant

un nombre quelconque ^inconnues ; . i"*. déterminer parmi ces termes h

nombre de ceux qui contiennent telle de ces inconnues que ton voudra

et U nombre de ceux où elle ri entre pas j car ce n'est que d'après la

solution de ces questions qu'on pourra prévoir à quel degré doit

monter l'équation finale , choisir en conséquence les polynômes qui

doivent muhiplier les équations proposées , et s'assurer qu'ils con«

tiendront un nombre de coefiliciens indéterminés suffisant pour qu'il

soit permis d'égaler à zéro tous les termes dans lesquels entrent les

inconnues que Ton veut éliminer.

967, Occupons-nous d'abord de la première question. Lorsque le polynôme ne renferme qu'une inconnue » il est vbible que son degré étant désigné par fn , le nombre des termes qui le composent ^ sll est complet , sera m + 1 9 car il contiendra les termes

et si l'on rend ces termes homogènes par l'introduction d'une nou« velle inconnue u, on aura précisément tous ceux qui composent U puissance m du binôme / + '^> dont le nombre est encore m-^^i. Réciproquement si l'on fait «=19 on reviendra de la puissance du binôme t+u au polynôme à une seule inconnue ; on passera delà même manière de {t+u+xy zn polynôme complet à deux inconnues / et x^ ^ en faisant at = i : il suffit donc de trouver le nombre des termes que doit contenir ( /+ 1/ + ^ )". Or, en mettant cette expression sous la forme {(^+^)+^)}'"> et en la développant

seulement

DES Différences. 177

seulement par rapport ï, Xj on obtient /7z+ 1 termes dont l'un quelconque est multiplié par (r+i/)"*"";!?". Si maintenant on développe celui-ci par rapport à r et à u , il en fournira m — n + i , d*oîi il suit que le nombre total des termes du polynôme proposa sera la somme de la quantité m — ^72+ i , prise en faisant varier n depuis o jusqu'à m , c'est-à-dire ^ la somme de la série

dont le terme général est [/»+ /] , et qui revient à [/w+ 2] ^ ou à

i^±iil^^ ( n% 930 ). . '

En mettant le quadrinomô (/+«^ + ^ + >')'" sous la forme {(/+«+^)+J^}"', et en le développant par rapport à j^ seulement , on trouvera m+i termes dont l'un quelconque sera multiplié par (j+u+xY'^y^, et par le développement de la puissance du trinôme

en fournira ^ d'après ce qui précède > un nombre ■ — -^ .

La somme de cette expression , prise depuis /^ = o » jusqu'à p = m ^

c'est-à-dire, celle de — [iw+i], donnera le nombre des termes

contenus dans le développement de la puissance m du quadrinome , ou dans le polynôme complet à trois Inconnues : on aura donc , pour

ce nombre de termes^ [^+3]j oui j^v ^ /v -r y^

De même 9 puisque le terme (r+M+^+jr)'"-^» du développement de {(r+tt + *+J^) + î}'' en fournit

i^ H^^ ^ — i-V-^ , et que la sommme de cette ex-

pression y prise depuis q^=o, jusqu'à q'=m^ revient à celle de

[/«+ 3], on aura [/w + 4], ou

V -r^M ^>j\ ^ J^ — i J pQ^^ jç nombre de termes du déve- 1.2.3.4

loppement de la puissance m du quintinome, ou celui des termes du

polynôme complet à quatre inconnues,

appendice, Z

178 Ch. I. Du Calcul

En général le développement de la puissance m du polynôme formé de yt. termes /^ u^ ^»y> {> etc. en contiendra un nombre

exprimé par — == =î— , ou par

I «âM^ct* «^

et ce nombre sera aussi celui des termes du polynôme complet contenant fA inconnues. Passons maintenant à la seconde question,'

968. Pour envisager cette question dan$ toute son étendue » neuf; l'énoncerons ainsi : trouver dans un pofynorru complu du degfri m^ et renfermant un nombre quelconque J inconnues t ^ u^ x^y^ etc. combUn il y a de termes divisibles par t" ; combien , outre ceux-là ^ il y en a de divisibles par \x^ ; combien , outre les précédens ^ il y en a de divisUks . par x% etc. en supposant d'ailleurs n+p+q+etc.<m.

On voit aisément que si Ton rassemble tous les termes divisibles r par r^, et qu'on supprime ce facteur ^ le quotient sera un polynôme < du degré m — n. Si on avoit , par exemple , le polynôme complet du sixième degré et à trois inconnues t ^ u ^i x , dont les termes seroient

t^ ^u ^x t^u^ t^ux /♦*• /V e^u*x fux^ ^x^

t^u^ t^u^x t^u^x^ ^ux^ /"x*

ti^ tu^x eu^x^ tu^x^ tux^ tx^

u^ u^x u/^x^ u^x'^ u^x^ ux^ x^

^ t^u ^x t^u*' ^ux t^x* t*u^ t^u^x i^ux* /"x* "^

tu^ ti^x tu^x* tux^ tx^

u^ u^x «^v' u*x^ ux^ x^

r* ^u êx t^u* t*ux t^x^ tv? tu^x tux^ tx^

là u^x u^x* ux^ x^

t^ t^U ^X tU^ tUX tX^ U^ U^X JOf' *'

r* tu tx «* ux X*

En réunissant ceux qui peuvent être divisés par t^^ savoir, toiis ceux qui sont multipliés par des puissances de /, supérieures à la

n E s Différences. 179

seconde, et en effectuant la division, on formeroit le polynôme du troisième degré , dont le nombre des termes seroit par conséquent

En général ^ dans le polynôme du degré m ^ (a inconnues , que nous désignerons ainsi ( ^. • • ,fA y^ le nombre des termes divisibles par t sera égal au nombre des termes du polynôme (^••.,fA)"~%

ou à [/» — 'ï + mIEo].

Après qu'on auraef&cé du polynôme du sixième degré, qui nous sert d'exemple, les termes divisibles par 1% si Ton se propose de trouver ceux qui sont divisibles par «<% il faut , du nombre de ceux qui Tétoient avant l'exclusion des termes divisibles par /', retrancher celui des termes divisibles par u^ ^ contenus dans le polynôme dont ^ est le facteur commun ; or les termes divisibles par u^ dans le polynôme total sont au nombre > de

(4 + 3X4+0(4+0 ^ ç^ ççj^j j^^ ^^^^^5 divisibles par «• i.a.j , ^

dans le polynôme du troisième degré formé des termes divisibles

par ^\ étant le même que celui des termes du polynôme du degré 3 — 2,

ou du degré i ^ est égal à 4 ; la différence 3 5 — ^4 , ou 3 1 , sera donc

le nombre des termes divisibles par &% après l'expulsion de ceux

qui le sont par â.

En général [/n^-^+/^][o] étant le nombre des termes divisibles

par uF dans le polynôme proposé, et [m — n — ^/' + ^t][o], celui de; mêmes termes dans le polynôme du degré m — n , formé des termes

divisibles et ^ , la différence [/w— ;'+At] [o]— [/w — /2— -p+^] [o] , sera le nombre des termes divisibles par m% après l'exclusion de ceux qui le sont par t\

Il est facile de voir que le nombre de ceux qui le sont ensuite

^r x^ s'obtiendra , en retranchant du nombre total des termes de

cette espèce contenus dans le polynôme complet , le nombre de

ceux que renferme le polynôme divisible par r^ et le nombre de ceux