AC

i8o C H. l. D u Calcul

qui sont en outre divisibles par «% et que Ton aura ■" A* M ft ft

= [0] { ['^— ? + ^]— [/72— .7— y + /Lt]— [/W;,y +/U] + [/72— «— /l— f + ^]}.

On trouveroit de la même manière que le nombre des termes divisibles ensuite par y"^ est égal à celui des termes de «cette espèce que contient le polynôme complet, moins le nombre de ceux que contient le polynôme divisible par r% moins le nombre de ceux qui sont en outre divisibles par u^ et moins le nombre de ceux qui sont en outre divisibles par x\ ce qui revient à

f^ At (i. ^ .

— [/7Z — ^— T+^J + \m — n — q — r+^] + [/»—/' — y— r+/tA]— [/w — «— /i — j+^x]

et ainsi de suite.

En examinant de près les résultats que nous venons d'obtenir ^ on reconnoît bientôt, i"". que

A^ marquant que la quantité m-^p+iJi varie de — /», 2*. que

— ^t M f* At A*

= [o]( {['7^— y+^]—['^—/^—y+^]} — {['"—^—î+^]— ['"—'*— /—?+/*]}> — it^ ^ — ^ f^

A^.» marquant une différence du second ordre, dans laquelle la quantité m — q + fjL varie successivement de — p et de — n ; et d*après ces considcraticns on verra que le nombre des termçs divisibles par y\ après TexcUision des termes divisibles par r", uF^ o?^ , est

exprimé par a\^^^ „ [o][/7z—r+^] , A%, y, « marquant que la quantité m — r+,u varie successivement de — y, — p^ — n^ et

enfin que A^r,î,i>, n[o] [/w — ■^+^]> exprimera le nombre des

DES Différences. i8i

ternVes divisibles par {', après Texclusion des termes divisibles par

Quant au nombre des termes restans après Texclusion de touv ceux qu'on vient de désigner , il s'obtiendra en observant que ceux qui restent après l'exclusion des termes divisibles par t"" est

[o]{[/w+/x]— [/72— ;:+^]}=A„[o] [/7z+^], et si l'on en retranche ceux qui restent divisibles par u^ et dont

le nombre est a„[o] [/w— /^+/^] , il viendra

retranchant encore de ce résultat le nombre des termes divisibles par x\ après 1 exclusion de ceux qui sont divisibles par /^ et uJ", on aura ^

pour le nombre des termes restans après l'exclusion de ceux qui sont divisibles par r", «% x^ , et on arrivera à

pour le nombre des termes restans après l'exclusion de ceux qui sont divisibles par r", a% x% y: enfin à

pour le nombre des termes restans après l'exclusion de ceux qui sont divisibles par r% «% x\ y et ;['.

969. Maintenant , pour procéder à l'élimination entre un nombre quelconque //c d'équations^ renfermant un pareil nombre d'inconnues et représentées par

(/,../u)"'=o, (r,../iA)"=o, (/,../t*y=o, etc....

concevons qu'on multiplie la première par un polynôme complet, contenant aussi i^t inconnues , mais d'un degré indéterminé wl , et désignons le résultat ou Miquation^produit par (r /u)"*'*^=o;

les autres équations pourroient donner immédiatement les valeurs de 2t^ x^^ y\ etc. considérées comme des inconnues au premier

i82 Ch, I. Du Calcul

degré, et serviroient par conséquent à chasser ces quantités de réquatlon-produit , après quoi il n'y resteroit plus aucun des termes 3ivisibles par «% x^^ jy^% etc. Si donc Ton ne veut conserver que l'inconnue f, dans i'équation-produit , qui deviendra dans ce cas réquation finale résultante de l'élimination des inconnues u ^x^y^ etc. il faudra faire évanouir tous les termes qui en demeurent affectés , en disposant pour cela des coefHciens introduits par le polynôme multiplicateur.

Pour ne pas embarrasser le Calcul de termes inutiles , il convient d'abord de faire disparoître du polynôme multiplicateur tous ceux qui sont divisibles par z^% ^'yj'S etc. afin de connoître ensuite le nombre de ceux qu'il faudra faire évanouir ; et le nombre des termes restans après cette opération sera exprimé par

A [o] [ 1»'+/^] ( ïi\ précéd. ) ,

puisque /e^«— i désigne le nombre des inconnues que l'on élimiiie. Les mêmes substitutions réduiront l'équation-produit à un nombre de termes marqué par

Si donc D représente le degré de l'équation finale en r , le nombre^ de ses termes sera Z?+ 1 » et par conséquent le nombre de ceux qui resteront affectés des inconnues u^x^y ^ etc. dans l'équatiop-produit, après les substitutions que nous venons d'indiquer , aura pour expression

tandis que le nombre des coefficiens indéterminés , introduits par le

polynôme multiplicateur , sera

IL — \ — /x ft

Parmi ces coefHciens il en doit rester un qui soit arbitraire ^ puisque l'on peut toujours réduire à l'unité le coefficient de Tun des termes de Téquation-produit ; d'après ces considérations oo a.

DES Différences. 183

pour déterminer m\ Téquation

qui donne

r=:[o]A C'^+^+i^lj

en passant hors de la caractéristique À , le facteur constant [o] , et en réduisant les deux termes du second membre à un seuU II ne reste plus qu'à développer la difiérence indiquée , en observant que les variations de la quantité m + m'+ gi sont successivement — « /n ^

Pour y parvenir il suffit de remarquer que la fonction [//^ + /»' + fx] , étant développée, par rapport aux puissances de m+m\ sera de la forme

et que Ton aura par conséquent

Substituant cette valeur dans celle de Z> , on aura seulement

D:=.mnp q •

cVst-à-dire , le théorème de Bézout, énoncé dans le n"". 1S9 ; savoir , que U degré de £ équation finaU , résultante de H élimination £un nombre quelconque £ équations complètes y renfermant un pareil nombre Jtiruonnuis et de degrés quelconques , est égal au produit des exposans de ces équations.

i84 Ch,L Du C â l c li l

De rintégratlon 970. Jusqu'Ici nous avons supposé que la différence de la fonction DffFé^^nceH^dcw c^^^^hée ctoit donnée explicitement par les variables îndépenvariables. dantes, nous allons maintenant nous occuper des cas oîi Ton a

seulement une équation contenant la fonction cherchée ^ ses difiérences, les variables indépendantes et leurs ac^roissemens. Supposons d'abord que la fonction cherchée y ne dépende que de la seule variable X j dont l'accroissement , considéré comme constant » sera désigné à l'ordinaire par h. L'équation proposée sera comprise dans la formule générale ^^x^h^y^Uy^ tk^y ^ etc. ) = o. Il est à propos d'observer que l'on peut en faire disparoître les di^érences uy , ù^y , etc. en les remplaçant par les valeurs consér cutives de j^y puisqu'on a

^y=yx—yy ^>=y«— ^j^i+y» etc.

et le résultat prendra la forme

d'après laquelle on voit que toute équation aux diilerçnces fait con« noître la valeur de la fonction cherchée , par le moyen d'un certain nombre de valeurs antécédentes.

Si l'équation étoit du premier ordre, par exemple , on auroîty,, par le moyen de y; si elle étoit du second , on en tireroît j^., exprimé par y^ et par y , et ainsi de suite.

Il est facile de reconnoître qu^une équation quelconque aux différences équivaut à une série , dans laquelle on obtient chaque terme par le moyen de sa relation avec ceux qui le précèdent et avec l'indice qui marque le rang qu'il occupe. En effet , lorsqu'on a , par exemple, ya = f(^* *f^>yi) • on en déduit

j.^=f(x,A,j',,j^J, ^4 = f(^,A,j'.,j^j), etc. ^t l'on forme ainsi la série

y ^ yi\ y^y y^\y^% etc.

au moyen de ses deux premiers termes.

Ce cas particulier sufHt pour montrer que dans la série diduiu £uni équation quelconque aux différences^ il y aura toujoicrs autant dt termes arbitraires qùil y a d^ unités dans C exposant de tordre de cetu équation^

On

n E s Différences. 185

971. On peutx changer toute équation aux dîfFérences en une équation diffiérentidlle d'un ordre indéfini , en substituant , an Heu de Ay» ^V» ^^c- \^xf^ développemens d'après le n"". 864, et il n'est pas moins évident que l'on convertiroit aussi toute équation différentielle en une équation aux différences d'un ordre indéfini , en remplaçant les coefEdens différentiels par leurs développemens tirés de la formule du n% 8^7,

. Il ne paroit pas que ces transformations , qui ont l'inconvénient d'introduire un nombre infini de termes , puissent être , en général , fort utiles pour Hntégration des équations ; mais elles sont trèspropres à fiedre sentir la différence qui existe entre le Calcul diffé* rentid et le Calcul aux différences. Elles prouvent que par la nature de ce dernier » les différetures de Ia yariable indépendante doivent avoir nécessairement une valeur déterminée ; car si l'onâvoit une équation entre x ^ y ^ ajct , Ay , ^y , etc. dans laquelle aa: demeurât indéterminé, qu'on la développât suivant les puissances de A^ y A^ y A*jr , etc. ce qui lui donneroit la forme

Aux +5Ay ^'*

'+ CAjc* + Z?A;cAj^+*ffAy+FA*j^ ^=o; -h etc. ^

on y pourroit substituer , au lieu de ty^ ù^y , etc. leurs développemens , et comme a jvy resteroit encore mdéterminé , il faudroit que les cœfficiens des diverses puissances de cet accroissement s'évanouissent d'eux-mêmes. On obtiendroit ainsi , entre les variables a: ,^y et leurs différentielles ; un nombre infini d'équations qui devroient s'accorder entr'elles pour que la proposée signifiât quelque chose ; et dans ce cas elle ne seroit équivalente qu'à la première de ces équations , dont les autres deviendroient les différentielles successives.

En ne supposant l'équation aux différences que du premier ordre , ce qui la réduit à

Jax + BAy + Cax* + Dàxâiy + Eày* + etc. = o ,

et prenant

dy Ax d^y A;c* ê?y A x'^

^y — ^ -»-7-: +3—3 + etc.

dx i dx^ l.x tf JC^ I.1.3

Appendice. A a

i86 C H. I. Du Calcul

il vient

B'^XlX'^'E -^ JAx' + ctc.

d'où l'on tire

i.i dx'

S^^A=o, E^^^D-f+C-^ — :L = o,etc.

dx dx dx i.l dx*

et si cette suite d'équations ne peut avoir lieu , la proposé^ «e pourra se vérifier qu'en assignant à a a: une valeur particulière. *

971. Ces préliminaires posé^ ^entrons en matière par lUntégration de l'équation générale du premier degré et du premier ordre.

Soit réqiiatîon Aj'-f-/'7=Q, analogue à réquation diflPéren* tielle que nous avons traitée dans le n"*. 547; un procédé semblable à felui du n"". cité va nous conduire à son intégrale. Faisons y = i/{, et nous aurons aj^ == h^a^^- :ji^«-{. a« Aç ,

ce qui changera l'équation proposée «n

U^[ + :fA«+ A«A{ + Pr/{=Q;

en posant séparément

[Lu -{- Pu[=zo y ou A« + -Pa = o, il restera i^a^-h AttA{;=: Q, d'où Ton tirera

A{= — ^= — et { = z

U + AU *• «-hAW

La question se réduit donc à intégrer l'équation au+Pu^=o ^ dans laquelle on peut séparer les variables en lui donnant la forme

— = — P , puisque P est supposé ne contenir que x^ Prenons «=<•,

^' Au ^'

il en résultera ùu = c\c — i)et — = c — 1= — P,

d'oii nous tirerons

A/ e =1— P, Ar=l(l— P) et r = 2l(i — P);

r> E s Z) Références. 187

maïs la somme des logarithmes de la fonction i— P, repondant au produit continuel des valeurs successives que reçoit i — P, entie

les limites de Tintégrale , si l'on désigne ce produit par [ i — /*,,],

on aura ' = I[i— -P^i], d'où on conclura

Le sens de la notation que nous venons d'introduire est facile à saisir d'après celle du n*. 902 , car il est visible .que

en $*arrètaût<à la première des valeurs de :r; et si Ton fait attention que u + ^u:=^u^i on oi^tiendra

^ « + Aii = [i/>,] et î = s î^-^,

C9 qui donnera enfin

la constante arbitraire étant comprise dans Tintcgrale indiquée.

Cest à peu près ainsi que Lagrange ^ qui le premier fit voir l'analogie que les équations du premier degré ^ aux différences , ont avec les équations différentielles du même degré ^ a intégré , en 1761 , l'équation traitée ci- dessus ; il applique ensuite son résultat à l'équation

qui revient à j^ + Ay = Ry + Q, En comparant cette dernière avec Aj<+/*jK=Q> il vient J^=i — /î,.i— P=/?, et l'on a par

conséquent ^ = [ /?,., ] z — ^,

Dans le développement du produit [i — P,..!] , nous avons supposé 9 pour plus de simplicité 9 la différence de x égale à l'unité ; on pourroit conserver la même expression en convenant qu'elle répond à (i— p^^J(i p,^^^)(i— P^^J etc. lorsque Ax=n , ou bien transformer l'équation proposée en une autre, en faisant x=-nx\ ce qui donneroit Ax:=n^x^ et ax'=i.

i88 C H. I. Du Calcul

Si l'on suppose que le coefficient R soit constant, on aura

. L'întcgration indiquée s'effectue facilement lorsque Q est constant; on obtient dans ce cas