QR

et

En général on obtiendra la valeur de y , délivrée du signe d'intégration toutes les fois que Q sera une fonction rationnelle et entière de :v ( n°. 911 ).

973. Dans les recherches citées n''. précéd. Lagrange applique aux équations du premier degré et d'un ordre quelconque aux différences ^ la méthode que d*Âlembert a donnée pour les équations diffihrentielles du premier degré et dont nous avons fait connoître Tesprit , n\ 65.8 ; mais il est revenu sur ce sujet, en 1775 , par une méthode encore plus simple , que nous allons faire connoître.

Représfentons par

yr^f,+P^.^^^ + Qa^yx+fi-*- • • • + v^^y. {A) ,

une équation d'un ordre quelconque et du premier degré par rapport à la fonction y, ; on^rouve , comme dans le n**, 647, que son intégration se ramène à celle de

et que Ton obtient la valeur complète de {, , lorsqu'on en connoît un nombre n de valeurs particulières.

Cette dernière proposition est évidente, par elle*même ; car il lest clair que si

sont des fonctions de jc , qui satisfassent à l'équation {JB) , l'expression

y s?itisf(!ra pareillement ; et quand le nombre de ses termes supposés absolument réductibles entr'eux sera n ^ elle sera l'intégrale

D $ a Différences. 189

complète de cette équation j puisqu'elle renfermera n constantes arbitraires, C^C,C\^ic.

Cela posé , si Ton regarde ces constantes commi;4es fonctions de ^» et que dans cette hypothèse on change {^ en j^^, ou que Ton fasse

^,= C'^'.+^V.+ C'V"-+ etc.

on en déduira d*abord

résultat qui se transforme en

^.+.=c,64.. +<^xf.+.-+çr:r.+. +etc.

+6+.^<^'*+î"x+.A<:^+r^AC'",+ etc.

en fflettaot pour C^, , C",^, , etc. leurs valeurs T',+AÇ',i r*,+AC"., etc. et se réduit à

lorsqu'on ùàt ' •* »*

<V.aC'.+î%,AC".+î%.aC"",+ etc. = 0(1),

de même que si les quantités C, , C", , C'"^ , etc. fussent demeuré^cs constantes. En faisant de nouveau varier a: , on obtiendra

y^t I , Ail tt I /^It lit I ».

'^^,+«=^^,^,44+0 ^,[ ,+,+c ,+,î ,+,+ etc.

résultat que l'on réduira à

par la supposition de

Faisant varier x- une troisième fois , on parvient à

j'...,=C'.î',^ + C".cVî + C"'^"'.+, + etc. en posant » .

î',^,A(r,+c;^,AC''.+f',^,A.c"'.+ etc.=o (3),

et lV>n continue ainsi jusqu'aux équations

î'.+.. AC',+î''^..AC".+i"'^^.AC"',+etc.=o («-.).

1 90 Ch. I. Du Calcul

Maintenant , si dans la valeur de j^^^.»., on change x^n x+ li on trouvera

yr+n=C',(^^, +c",îV, +<:'",?'%, +etc.

+ 6-.n^C:',+î",^.AC",+î'",^,AC^+ etc.

mettant dans l'équation (J) les valeurs dej',, j^^.^., ). . . 'y^+n-nyx+n* en observant que par Thypothèse et d'après l'équation (B) ,

etc. •:;.:=:.

il restera *

On conçoit facilement qu'avec le secours des équations (1)9

(i) , (3) , {n — i) , («) , on déterminera en fonctions de jc ,

les différences a C", , ^C'',, ^^''a:> c^c. ce qui réduira la recherche des quantités C, C, C% etc.'à l'intégration des fonctions d'une seule variable,