Il convient donc de nous occuper de l'équation
L+n + ^rîr+fi-i + Qxlr^n-u + ^xU4n~î ••••-*- £^^îx=0. . . . (5),
Lorsque les coefHciens de cette équation , au lieu d'être des fonctions de X j sont des constantes , ou que l'on a seulement
on y satisfait en faisant i^^=^m' , d'où il résulte
elle devient
rrr^Ptri""' + Q/w"-»+ /î /w"-' + £7= o (Z?) ,
et sera vérifiée si l'on prend pour l'indéterminée m les racines de celte dernière. Si donc on désigne par m\ w!\ nî'\ etc. ces diverses racines , on aura ( n^ préccd. )
Cette expression présente, parrapportauxquantités m', m\ni*\ etc. les mêmes circonstances que l'intégrale de Tcquaiion différentielle
dri^Pdxà--\^ q.ix^^'\-\^Rdx'dr'\. . . . + u^^u^^o ( n% 648 ).
DES Différences. 191
Il peut arriver que les racines de l'équation (Z>) soient toutes réelles et inégales , ou qu'il s'en trouve d'égales entr'elles ; dans le premier cas la valeur de { est complète , mais elle cesse de l'être dans le second. Il faut alors recourir à des artifices d'analyse , semblables à ceux que nous avons employés pour l'équation différentielle ; mais nous présenterons cette recherche sous un point de vue un peu différent , en la ramenant à une détermination particulière des constantes arbitraires.
975. L'équation (C*),^ui peut être considérée comme exprimant la nature d'une série dont un terme quelconque représenté par {,^^ dépend des n termes qui le précédent , suppose nécessairement que les n premiers termes de cette série désignés par
sont arbitraires (n'.97o): ce sont ces termes que nous allons introduire à la place des constantes C\ C\ C'\ etc. Pour cela nous aurons les équations-
l, ^C'm' -{-Cm" +C"'m"' . ç. z^C'm" +C"m"' +C"'m"''
î^, = C V— + C"m"'-' + Cm""-' + etc.
dont le nombre est égal à celui des quantités C, C", C", etc. qui n'y montent d'ailleurs qu'au premier degré ; et en prenant suc* cessirement ff=i, n = i, n=3} etc. on obtiendra ces résultats particuliers
ipi Ch. I. Du Calcul
La loi de ces résultats est déjà assez évidente pour qu'on pi^isse les pousser aussi loin qu'il sera nécessaire; mais on peu! en découvrir la forme générale sans recourir à l'induction , en faisant usage du procédé d'élimination donné à la fin du n"". '649* En effet , si Ton représente par
e" +py-*+ QV-^ . . . + z7'=:o ,
réquation dont les racines sont /ti*, nî'\ etc. et que Ton multiplie ravant-dernière des équations (£) par P\ la précédente par Q', et ainsi de suite jusqu'à la première , qui sera miiltipliée par l/^
on aura , en ajoutant les produits ,
+ etc V., , ...«,,
toutes les lignes du second membre , excepté la première , sont nécessairement nulles , comme n'offrant que les résultats dt la substitution des quantités m\ m'^'^ etc. à la place de r: il viendra donc
On trottveroit de la même manière C'\ C'\ etc. en substituant successivement les racines m", m!" , etc. à la place de m\ et en formant Téquatioti t avec les racines m\ m!" ^ m""^ etc. m\ m\ m""^ etc» Nous avons déjà fait voir dans le n"". cité , que
m'»- + P'/72'«-*+ qm"^' + l/={m'—m'){m'—m'") etc,
= n m'-"' + (/ï— I )P;ii'— + (/z— 1) Qm"^'^ . . . . + T ,
ce qui se déduit évidemment de
pourvu qu'après la différentiation on change m en m\ Pour former les quantités -P', Q', R'....U\ il faut multiplier l'équation
r«-' + PV-» + Q V-3 ^ j;/^ ^
par /-—m', ce qui doit la rendre identique avec
;il'» + P;»»-'+ Q"-». . . , + Tm+ £^=0 J
en
DES Différences. 195
en changeant t tn m^tt on aura , par la comparaison des termes
semblables
é*oii on tirera
R'=R+ Qm'+Pm'^'i'ni^ S'z=:S+Rm'+Qm'*+Pm'^+^'^f
etc.
976. Supposons à présent que Téquation en m ait des racines imaginaires et des racines égales ; il faudra , comme on Ta indiqué dans le n^. 650 , réunir les premières par couple, et on convenir» ensuite chacune en fonction de sinus et de cosinus ^ suivant les for* mules connues : la transformation s'opéreroit avec un peu plus de facilité en traitant immédiatement par le procédé du n% 648 , la valeur obtenue dans le n"*. 974»
En observant que
+P'"/n'"«-+ Q" «"'-^ . . • + U'"=( m"'— ni'X/»" — /«OC'^"— ^")
on peut écrire les deux premiers termes de la valeur de ( , ainsi qull suit 9
et Ton voit qu'ils se réduisent à | lorsque ni—m\
Les trois premiers termes étant écrits de cette manière :
jtpptndlu. B b
ipi Ch. I. Du Calcul
La loi de ces résultats est déjà assez évidente pour qu'on pi^isse les pousser aussi loin qu'il sera nécessaire ; mais on peut en dé* couvfîr la forme générale sans recourir à Tinduction , en faisant usage du procédé d'élimination donné à la fin du n''/649« En effet , si Ton représente par
e^' +PV— + QV-3 . . . . + V— o ,
réquation dont les racines sont nt"^ nî'\ etc. et que Ton multiplie Ta vant- dernière des équations (£) par F, la précédente par Q', et ainsi de suite jusqu'à la première, qui sera miiltipliée par l/^ on aura 9 en ajoutant les produits ,
c"" + /» V + QV~' + c^c
+ etc V,. . ,..*.,
tputes les lignes du second membre , excepté la premièw , sont nécessairement nulles , comme n'offi-ant que les résultats d« la substitution des quantités m", trl"t etc. à la place de «: il viendra donc
On troflveroit de la même manière C'y C'\ etc. en substituant successivement les racines m", nJ" , etc. à la place de m\ et en formant l'équation t avec les racines ai', m", m!"^ etc. w', «i', »»**, etc. Nous avons déjà fait voir dans le n*. cité , que
«'»- +f m'— + Q'/b'"-' + V={m'-^m')[m'-.m") etc,
ce qui se déduit évidemment de
pourvu qu'après la différentiation on change m en m. Pour former
les quantités /^', Q', R!.... Vj il faut multiplier l'équation
/"- + P V-» + QV-3 ^ j^/^ ^
par / — m\ ce qui doit la rendre identique avec
DES Différences. 195
en changeant /en m^tt on aura | par la comparaison des termes senïbldbles
d^oii on tirera
etc.
976. Supposons à présent que Téquation en m ait des racines imaginaires et des racines égales ; il faudra , comme on Ta indiqué dans le n^ 650, réunir les premières par couple , et on convenira ensuite chacune en fonction de sinus et de cosinus , suivant les for* mules connues : la transformation s'opéreroit avec un peu plus de facilité en traitant immédiatement par le procédé du n% 648^ la valeur obtenue dans le n"*. 974.
En observant que
iff"T* + P' /»'•-•+ Q*m'-' + U'={ m'^m'){m'^m'"){m'—m"')
on peut écrire les deux premiers termes de la valeur de i , ainsi qu'il suit y
et Ton voit qu'ils se réduisent à l lorsque m'=m\
Les trois premiers termes étant écrits de cette manière :
(/lï — OT ) • • • •
m^mt^^imm
\ÏÏl — w j • • • •
Apptniict^ B b
194 Ch. I. Du Calcul
deviennent visiblement \ , lorsque l'on a en même tems m:=im!*=ini'\ et ainsi de suite , à mesure que le nombre des racines égales augmente. Il faut f pour trouver alors la vraie forme de Tintégrale , recourir à la méthode du n"*. 139 , quand il n'y a que deux racines égales, et à celle du n% 147 lorsque le nombre de ces racines surpasse deux. L'usage que nous avons déjà fait de ces méthodes dans un cas absolument semblable à celui qui nous occupe ( n% 650 ) » nous dispense d'entrer dans aucun détail , et nous nous bornerons en conséquence à donner la forme des résultats. Il faudra substituer aux deux premiers termes de la valeur de [ la quantité
lorsque /n'= m% aux trois premiers ^ la quantité
J fx I >.ff«-,^'«— I I J^*
cm + c xm + c ■ m
lorsque m=.m^^=im^\ et ainsi de suite: dans ces expressions ^> ^% ^"'9 c^c. remplacent les constantes arbitraires C, C% C^, etc.
977. Nous indiquerons succinctement ici la route qull faut suivre pour déterminer les quantités C\ C% C, etc. par le moyen des équations (1) , (1). . .{n — 1) , (n) , du n^ 973 , afin de parvenir à l'intégrale de l'équation {J), dans le cas oh les coefficiens P, Q, /î. • • 27 sont constans et F^ est une fonction quelconque de x. Les équations (i), (i)....(/2 — i), («), deviennent alors
m'^' AC+m''^' aC+zw"'^' AC"'+etc.=o 772"+* AC^m"'^^ ^C+m'"^ AC"'+etc.=o
m'"^''AC' + m"^'"AC"+m*"'^"AC'"+ etc. =0 m"-^ AC'+m"^ AC"' + 7n'"'+» aC"'+ etc. =r, ,
en y substituant pour (, , i^^,, , j',^, ,. • • «{"x «te.
m", «"*', to"+\...«"% etc.
si l'on fait
'\C'T-.A'y^-^ m"^'£^C°=A'F,, m'"^'AC"—Ay„ etc.
V E s Différences. 195
on arrivera aux équations
m'A + m'A' + m" A"" + etc. = o
w «-*^ + m"'-' A" + m"""-' A" + etc. = o
traitées dans le n'. 649 , et Ton terminera l'opération comme dans le n"". 975. Si parmi les valeurs de m, il s'en trouve d'imaginaires ou d'haies entr'elles , on aura égard à chacune de ces circonstances par des^procédés absolument semblables à ceux qui sont développés dan^le n**, 650.
978. L'on n'a fait que peu de tentatives pour intégrer Téquation
dans le cas où les coefficiens P^^ Qx 5 • • • ^x 9 sont des fonctions de X ; c'est Laplace qui ^ dans ce genre , a porté le plus loin ses recherches , et pour en présenter l'ensemble , nous commencerons par donner la méthode qu'il employé pour intégrer l'équation du premier degré et du premier ordre.
Soit j^,4:,==PaJ',+ Cx/ on tire successivement de cette équation
y.=P^yr'\'Q.^
yî=P^.+(l.
yA=Piy^+Q^
etc.
substituant la valeur dey,', dans celle de^, , puis cette dernière dans ^Ue de y^ et ainsi de suite , il viendra
y,=P,P,P,y, +PAQ0 +P,Q. +Ç.
y;j=/',p.p .p^, + PjP.p. <2„ + p,p, Q. + /», ç. + Q, ,
Bb 1
19^ C H. I. Du C A L C U L
et en général
expression que , d'après la convention faite dans le n*. 971 , Ton {;eut encore écrire comme il suit:
on a dans cette formule la valeur de y^ ^ exprimée par le mftyen ^c y^ y et par conséquent le terme général de la série correspondante à l'équation
Si Ton représente y^ par une quantité arbitraire C^ et que Ton observe en même tems que la série
étant mise sous la forme
([PJ] IP.l [A] [^-.jV
que Ton peut vérîHer par le développement ou par les analogies de la notation actuelle avec celle du n"". 901 ^ revient à
[P;,«,]s -^^ ( n% 897 ) j on aura de même que dans le n% $7% iP.-]
Ce procédé doit être remarqué parce quil conduit directement à l'intégrale et qu'il montre le parti que l'on peut tirer de la formation des valeurs successives de la fonction cherchée ^ pour ea obtenir l'expression générale.
DES Différences. 197
• 979« Passons aux ordres supérieurs: soit
et faisons
multipliant successivement les n — f , premières ^e ces équations f
par «, ^ «,^ et|y etc <^h^\3 ^ ajoutant les résultais avec la
dernière, nous obtiendrôAs réquation
+ (^/^-./'x+it-î— «»-0^*+iH-? +*i/'xyx
+ f,4.»-i + <«,i-,fx+ii-i + «j^-rfx4«-.l +«ifxi
comparant celle-ci avec la proposée , nou» en déduirons les suivantes >
^x =«»-«/^*^.ll-î *«»-?
dont le nombre est évidemment égal à /z+ 1. On tire successivement dei i»"»'!^ premières ,
'»-l — Pae^n-i^^^i
«.=[/'x+7ï-il — frx+n^ J^x— [/^X4*- jQar* • • • + 7^
et à cause que t^,=at,/>^, il viendra^
Il H^t JI—1 I
>équatioa qui n'est que de l'ordre n— i « par rapport à la fonction
198 Ch. !• Du Calcul
inconnue -p^^ puisqu'elle ne comprend que les valeurs Ps^Px+i^* • •/'x+ii-i > ni^is qui n'est plus du premier degré. Il n'est pas nécessaire de l'intégrer complètement , il suffit de trouver une seule valeur qui y satisfasse; on substituera cette valeur, ainsi que celles de tt^^^^ «n-t > ^i» ^^^ l'équation
qui ne renfermera plus alors de fonction ipconnue que q^ et qui ne sera que de l'ordre n — i et du premier degré par rapport à cette fonction. Cette dernière étant intégrée , donnera uoe expression de ^^ , avec/2 — i constantes arbitraires, et l'intégrale de l'équation du premier ordre et du premier degré j^,^,=:p,y,+f,, deviendra celle de la proposée ; on aura ainsi par le n^ 972 ,
980. En poursuivant les conséquences de cette méthode ^ Laplace étoit parvenu de son côté au théorème que nous avons démontré dans le n*. 973 ; nous renvoyons , pour cet objet, le lecteur à son Mémoire , mais nous intégrerons avec lui l'équation très-étendue
dans laquelle les coefficiens A ^ B ^ C^.^.L, sont constans; mais oîi X désigne une fonction quelconque de 47. L'équation qui donne p, devient alors
n 1 II— I a /:— 1 R-.I I „
et si l^on prend /'x=^-X,,p,,i^, , a étant une quantité constante , il viendra
ly n n— I n— 1
{>,+i.-.]=«"[-S^r4«] » [/'*+»-.]=«'"'[-X'^+.m-] , etc.
La substitution de ces valeurs fait disparoître X^ et il ne reste que l'équation algébrique
Si , pour simplifier , on prend m=n — i, et que l'on représente v^r <^9 ^\ ^"\ c^^c. les valeurs de a , celles de p^ seront
^'•^x 9 ^"-*^j( 9 ^"X^ , etc.
DEsDlFFÉRENCES. I99
Il est visible que l'on doit supprimer dans ce cas la quantité q,, •
et que Ton a seulement j^,=[/j^, ] pour l'intégrale première de l'équation proposée , mais à cause des diverses valeurs de p^ , on en déduira , par la théorie des équations du premier dogré ,
intégrale complète de la proposée , et qui revient à
j.,=[:yj{CV'+CV'4.rV''+etc. ;...}. 981. Les résultats précédens peuvent être changes en d'autres d\]ne forme plus simpfe à quelques égards , en ipettant à y l'indice ^ ai la place de Jt+72 : l'équation proposée deviendra par là
On la traitera encore suivant le procédé du n"". 979 , en observant d'écrire p^^^ et y,^, , au lieu de />, et de q^ , dans les premières équations de la page 197 , avant d*y changer x+nçn x ^ et de les prendre ensuite dans un ordre inverse.
L'équation du n^ précédent se changera ^ de cette manière , en
si l'on fait m=^n^ et dépendra alors de Téquation
qu'on transformera encore en
d'-^AJ^-'—Ba^"^ — iîtf— 1=0 ;
en prenant p,=:aXx , et la valeur complète de y» sera
y,=[j:j { Ca''+ Ca"'Jr C"a"'' ^ttc).
981. Passons à l'application de ces derniers résultats , et prenons pour cela les équations comprises dans la formule
j^x=^Mrx..+^MVx-. +iM>',-n ,
qui s'obtient en faisant X^-zizx dans Téquation proposée ; nous trou* verons qu'elle dépend de
et qu'elle a pour intégrale
J^*= W { C'^''+C V'+ C'"^"'+ etc. }.
200 Ch. \. D u Calcul
Supposons^ pour particulariser les résultats, que Téquation proposée ne monte qu'au second ordre ; nous aurons seulement
d'oii nous tirerons
Si Ton veut déterminer C et C par le moyen des termes y. ety^ p
on aura , à cause de [o]ae i , les équations
y^=C + C\ y,=CV + C'a%
lesquelles donneront
C/ ^yo yt ^t ^ycT^yt
et U viendra pour résultat final
yx—\x\\—-u — -7— « + ~7 — ïT"^ f*
Quand les deux racines J et a' seront égales ^ on fera «"rrra'^. i( ^ il viendra
en développant et réduisant ^ on trouvera
= W{ J'.«''-(«>.-:kO(*«""'+ -^^^~«"-A + etc.) } ; posant ensuite A;=o> on aura seulement
^,= [.v]a"- {tf>o— (i>o— ^,)*} .
$i les deux rapines a et a' étoient imaginaires , en les ramenant
DES Différences. %o\
à la forme a+^V — i , * — jSv — i, on changeront l'expression de j^, en
mM
vci;).
mais on a par le n*. 165 •
(a+fi \/ZIiy=yrç coslx+ VZITi sin i<x )
(rt— .j8/^)'=3.'( cos J^ AT— t/H^ sin <rr ) , en posant
1/- ■ A fi m
y A^+ fi=y, = cos J'f ■ =SinJ:
et la subsiitutîon de ces valeurs dans celle de y, donnera ^,=W >'{ J^ocos J^x+ ^~^^'' sin /a: } . Prenons enfin un exemple en nombres ; sdt Téquatîon
ou j^,=i AT j',-,+ 3^(*— O-X*-. >
qui, lorsqu'on fait j^o=i j J^i=4j engendre la série y-»
I, 4» *2., 104, ,>»«^ etc, ^<tA 0^kM^ nous aurons, pour déterminer a^ l'équation
«• — 1 tf — î = o , de laquelle nous tirerons a =3 ^ «'=— 1 ; puis nous obtiendrons avec ces valeurs
Si Ton prend, par exemple, Af= 3 , on déduira de ce résultat ^^=204, ^e même que ci-dessus.
^ppcndicc^ C c
L'équation générale
se traitérok absohiment comme la précédente, et son intégrale seroit de k forme
y,=[x][C'a''+ra"'+C''a"''+ etc.},
a\ a\ a"'^ "etc. étant les racines de Féquation
tf"— ^ tf"-'— ^tf"-". . . . —1= o.
Si Ton TDuloit déterminer les constantes C\ C, C"^, etc. par le moyen des n premiers termes de la série engendrée par Téquatioa proposée , on auroit ces équations
^,=r +r +r' +etc.
21 = CV +Ca" +C"'V + etc.
^ r= CV'+C"fl"+C"fl"'»+ etc,
€tc.
qui rentrent dans celtes dn n\ 97c , -tt donl on tirerok tes vileurs de C\ C\ C'y etc. par le pl-occdé de ce numéro.
Si lequation en a contenoit des racines égales ou 'des racines
imaginaires^ l'ornploi 'des métfhodes 'indiqiiéès n^ 976 ^ condmfDit
aux résultats relatifs à chacun de ces '^as ; et Texemple du second
ordre auquel nous nous sommes arrêtés , )oint à ceux que nous
^ avons donnés pour les équations difFérentiélles , doit lever toutes
t^j^^les (^f]^j;hcs à cet égard.
