Il est bon de remarquer que si l'on prend

î^=CV'+CV^+r'a''"+ etc.

la fonction {, dépendra de l'équation

dont Texpression ci-dessi|s offrira par conséquent T^ntégrale Complète ( n°. 974 ) , -et que y^ étant donné par -l-équation

on aura j^,=[-Srj{:r , d'où il suit que le terme général de la série

Jx 9 J'^r+I > ^x+»» • • •

DES Différences. zoj

sera âonné par le moyen de celui de la série beaucoup plus simple

dont un termç quelconque se forme d'un nombre n des précédens multipliés chacun par uile quantité constante.

Nous observerons que cette dernière est le type générât de celles que les Analystes ont nommées ricnrrentes. Elles jouissent d'un trèsgrand nombre de belles propriétés ; on a déjà vu , dans les Elémens d'Algèbre, qu'elles tirent leur origine du développement en série des fractions rationnelles , et nous reviendrons encore sur cet objet dans la suite*

L'équation j^,= [XJ{, fait voir que Ton satîsferoît à

en prenant yr=C-^x]^'>' i^ P^^t ^tre utile de se rappeler cette circonstance , facile à reconnoître d'ailleurs lorsqu'on est exercé dans l'Analyse y parce qu^eHe conduit immédiatement Tintégrale par le moyen de la méthode du n*. 974.

Nous avons supprimé le dernier terme F, dans Téquation proposée ; si on vouloit restituer cette fonction , on arriveroit à l'intégrale au 4noyen de la valeur de y^, trouvée ci-dessus, que l'on substituer oit à i^ dans les formule& du n"". 977.

984. On peut encore déduire de l'équation en p^ du a*. 979 ^ d'autres cas d'intégrabilité pour les. équations du premier degré aux différences. En s*arrêiant , par exemple ,. au deuxième ordre ^ on a

[/'x+J— ^xt/'x]— Q,=o, on p,^,p,^P,p,^Q^=o, équation de laquelle on tire

Ps

et qui change par conséquent la proposée en

équation intégrable , quelles que soient les fonctions P, et Q^. Si Ton fait /',=/w , m désignant une constante , il viendra

Ce 1

204 Ch. I. Du Calcul

Il est visible que toute équation de la forme

rentre dans celle que nous avons considérée n"*. précédent, en y faisant r,^,=y,.

Voici une équation qui semble indéfinie , ou dont Tordre dépend de la valeur de la variable x y ^X qui pourtant se ramène à la forme du n''. 073 ; cette équation est

+ /'x-4y*-4+ Qx-8yx-5+^x-6y*-«

+ ^î y^ +Q. y. +^. yr^

un terme quelconque y^ s'y trouve rapporté à tous ceux qui le précèdent ; mais avec cette condition que les fonctions P , Q, R, qui multiplient ces termes , reviennent les mêmes de trois en trois. On tire de là cette équation

+ ^x-7yx-7"*- Qx-8yx-8+^x~9yx-9

+Pi yi +Q. y. -^Rr y.i

retranchant cette dernière de la proposée ^ on a

ow r, ^/'x.O^x-t + Qx-.;^x-u+ ( ^x-î + Oj^*-î + ^*— ^x.:j-

Cet exemple suffit pour faire connoitre comment il faut traiter les

équations du genre de la précédente ^ que Ton pourroit nommer

équations périodiques.

Nous terminerons cet article en faisant observer que les équations de la forme

yx^^^^y x-ij' x-aj^ x-î y x^n

se ramènent par le moyen des log^ithmes à xme équation du premier degré ; on en tire en effet

1j^x=i^x+*1j'x-i+^i^x-.+>1:kx-? •t'^hx^nf

et faisant ly,=yx^ il vient

/*= *y'x-i + ^/x-a + >y,-3 • . . . + »iy^„» + 1/^,.

DES D I F F' à IL E N C E 5. lOÇ

En intégrant cette équation, on aura* donc le terme général des séries dont chaque terme se forme du produit d'un certain nombre de ceux qui le précèdent.

985. On intègre aussi les équations aux difFérences- finies par la méthode des coefficiens indéterminés , lorsqu'on peut découvrir au moins quelques parties de la loi que suivent les valeurs successives de la fonction cherchée. Soît l'équation différentielle

+ etc. .

dans laquelle «e„, 0„ , et'^, etc. représentent des fonctions

de la variable indépendante n ; si l'on en déduit successivemeitC

on supposera en général

yn=Au' + B,it- • + C.""'* + etc.

et substituant cette expression dans l'équation proposée , on aura

A, «• +5, a""' + C, a— +etc.

= (^,.«'"' + 5..«"-+C,.K"-' + etc.)(«»« +/3,)

+ (^..«— + i?,.«-' + C^y-' + etc.)««* + i8> + > 'J

+ (^,^,a"-^ + B,y-'' -h C^y-^ + etc.)(*".«' + j8".«* + /> + r\)

+ etc. ♦

comparant entr'eux les termes affectés des mêmes puissances Aa u^ on obtiendra

An-= *«-^«-, + * „-^«^â+ ««/^«-î+etc;.

+ K ^n-. + f^'n^.^. + ^ V^î + etc.

, +rX-»+>.-^i.-.+/.^^î-+-etc.

+ etc»

2o6 C H. I. Du Calcul

et lorsqu'on pourra intégrer chacune de ces équations, on aura l'expression générale de y^. Voici deux exemples qui feront bien connoître le parti que Ton peut tirer de cette méthode. On a

s\nni=sin(n — t Jîcosç + cos(« — i){çinç et 'cos ( /2 — I ) çsin i = ^sinni — 7sin(/2 — 1){,

d'où il résulte "

sin /2 ^ = 1 cos {sin(/2 — 1){ — sîn(;2 — i)îî

faisant sin rti=yn ^^ cos{=«, on formera l'équation

de laquelle on tirera successivement

etc.

on donnera donc à la valeur de ^„ cette forme

y„=y .(^««'•"" + ^X"' + Cy-' + etc. ). Substituant pour y^, , ^^yn-% » ^^urs valeurs , et comparant entr'eux dans l'équation résultante les termes aflfectés de la même pubsance de 2^^ on obtiendra les équations suivantes

eic.

qui ne sont que du premier ordre et qui conduisent très-simplement aux valeurs des coefficiens ^,, 5„, Cn, etc. mais pour en faire usage , il faut observer qu'elles n*ont pas toutes la même étendue , c'est-à-dire, qu'elles ne commencent à exister que successivement: la première n'a Heu que lorsque n=2 , parce que l'équation proposée laisse arbitraires les valeurs de jr^ et y,. Avec cette attention on trouve que le plus petit indice de 5 est 3 , parce que l'équation qui le détermine ne commence que quand 72=3 ; celle qui détermine C ne commence que quand n=4 , et ainsi de suite.

DES DlFFÀRENCES. lOj

Cela posé, en intégrant la première il vient -^n= 2"C', C étant la

constante arbitraire; et comme on doit avoir A^tmx^ il «n résulte

•C'=7, d'oîi -^«r^i""", ce qui donne -^„«.= i"~'. Par cette valeur

réquation en B devient 5;=i5^., — 1""% et son intégrale sera

B^=x\a^^^^:Li)=x\C'-ln) ( n-. 971 et 981 ),

ou iî„-= — i"^^(C''+ «), en changeant la ^constante arbitraire C en • — i- j C. Pour déterminer la constante C\ il feut faire « = i et 5^=0 , puisque Téquation en B ne commence que lorsque /2=3 j^, et on trouve \{C" + i) = o, ou C''= — 1, d'oii il résulte Bn^=L — i"""^(/i — 1), Cette détermination donne 5^.»= — i^-^/z — 4) , et si on substitue cette valeur dans celle de Cir^ on aura l'équation

dont l'intégrale sera

Qr=x-(c-+xi-fc:^)==a"(C-+^2(«--3))

== x.( C-+ JL Ç^lrZf) )=,-(c "+±IZ^) ,

en changeant de constante arbitraire. La valeur de Cne commençant que lorsque /z=4 9 on doit voir £7^=0^ condition de laquelle oa

tire -L(r'— 6) = o, ou C''=6, et d'oîi il résulte

On trouvera de même les autres coefficiens , et Ton parviendra ainsi au développement de sin/s^^ sans avoir recours à l'induction : on obtiendra

smn{=*sm{

2''-'cost''^'~^— ^2"^^C0Sf ^H- 3 A^ ^^2""^COS C

^^ ^^ ^-^ ^2''-^cos f -^ + etc.

986. L*équationy„=2tty„, — y^,^ , se rapporte à celle du n*". 974, car u y jBst regardé -comme constant 5 en y faisant donc yj{==im''^ on parvient à Téquation m*=^um — i ,

mT^

io8 C H. l. D if Calcul

de laquelle on tire m=iuz±i V u^ — i , et par conséquent

remettant pour u sa valeur cos { , et changeant^,, eq sin «{, il viendra

sin/2{ = C'(cosç+ ^ — 1 sinç)"+ C''(cos{— V^ — isin^)'.

Pour déterminer les constantes arbitraires , il faut observer qu'on a sin/2{=o, lorsque «=o, et sin/î{ = sin{, lorsque /2?=i j ce qui ^onne les deux équations

5Înç = C'(cos{+ V/III7sin{) + ^(cosî — v — isin;;}^ qui mènent à C= — — zr > C'= —

2V/i iV^— I

(cosr + K — I sinrV — (cos — rV — isinrV

résultat conforme à celui du n"", 40 de Tlntroduction, Le développement auquel il conduit ne diffère de celui du n"*. précédent que parce qu'il contient les puissances impaires de sin:(;, qui sont ré« duites à la première dans ce dernier.

987. Pour achever d'éclaircir Tapplication du Calcul aux difle* rences à la recherche des lolx que suivent les formules, nous en donnerons encore un second exemple sur l'expression

d"""' =^.arc(sin=.v\

lin faisant pour abréger — r= « , on trouve d'abord

du X d^u Xx'+\ d^u 6x^ + ^x

d'oii Ton doit conclure qu'en général

d"u J^x'^ + B^x"-* + C„*"-* + /?„*«-» + etc.

diâSérentiant

DES DiFFiRENCES, IO9

di£[ërentiant cette dernière expression , on obtient le résultat , f (n+iM*""*'' + («+3R *"-+C«+5)CK-»+(«+7)0 fr"+'4-etc.

dont la comparaison avec donne les équations suivantes

Toutes ces équations ont la même origine , et l'on peut en conséquence supposer dans toutes /2=i. La première Jn'^^s=:(n+l)J^^

d'après cette remarque , a pour intégrale An=\n\. La seconde de«

venant alors -fl,rt-i=('^+3)-^»»+'*W » ^ P^"^ intégrale ( n*. 971 ) ,

=[« + !] JC+I.IS — ^ — l

et comme

on aura

expression dans laquelle il faudra déterminer C, par la condition jippenduc, D d

2IO Cil I. Du Calcul

que Bn soit nul lorsque »= i ; on trouvera ainsi C'=. , et

Les valeurs de C„ , /?« et des coefficiens ultérieurs , s'obtiendront de la même manière , on aura

c„=[/ô.-î^[«][ô]=w[àô][«][ôî

^»=W.r^-IW[o]=[«]m[o]W[o]

etc.

en changeant n en ;z— i , on en conclura

irarc(sîn = ji:) d"^^u

7^ ■*" dx^"' ^

-^^^-^{^-'+[7kok'^i]w*"-'+[i][ô]Cn-i]fl*^^

+ [î][ô][«— i][ô]*-'+[n[ô]t«-i][o]**-»+etc.}.

988. Jusqu'ici nous avons toujours supposé que raccroissement de la variable indépendante x étoit constant ; il existe cependant des questions analytiques dans lesquelles cet accroissement est variable , telle seroit la suivante : trouver une fonction de x, désignée par (p( v) 9 dans laquelle en mettant successivement {{x) et T(x)^

au lieu de X , on ait K^U)) =^xKf(*))+Q, 5 f(*), F(x), Px et Q^ , étant des fonctions données de x. Laplace , par un pro* cédé très-simple , ramène cette question à l'intégration d'une équation aux différences , dans laquelle l'accroissement de la variable indé* pendante est constant ; il fait f(.v)=M, , ^(^)=^^z^i9 ^», représentant une fonction inconnue de la variable [ , et puisque f(j;) est connue , on peut y en supposant l'équation algébrique f ( x ):=//« ^ résoluble par rapport à a: , tirer de là xz={^(u^) , valeur qui transforme l'équation F(a-)=w^, , en cette autre u^^,=V{f{u^)).

Lorsqu^on pourra intégrer cette équation, on aura l'expression de u^ en fonction de { , au moyen de laquelle on obtiendra aussi x

n E s Différences. ,211

en fonction deç: les fonctions ?(F(.r)) et ^(f(,v)), deviendront respectivement ?(w^^.,) , ^(wj ; on pourra les représenter par j',^, , y^ , d*oii il résultera une équation de la forme

dans laquelle la variable indépendante { ne croîtra que de Tunité. Après la détermination de y^ , on y substituera la valeur de { en jt , pour passer à l'expression de (p{i{x)) , que Ton ramènera à celle de ^(at) , en y changeant f(ji:) en x.

Pour donner un exemple de la recherche précédente , faisons {[x)-=imxj ?(x)=x^^ et supposons que Ton doive trouver

ç{x^)=9imx)+Q,

Q étant un coefficient constant. En prenant u^r^mx^ w^j=Ar% on

formera l'équation «^,= —^ , qu'on transformera par le moyen des

logarithmes en 1«^,= jl«.— ylw; l'intégrale de cette dernière, par rapport à 1//. est