K=,(C-.|^)=KC-X1^)=,(C
Pour déterminer la constante , soit if,=tf ; il viendra
et enfin, en passant aux nombres , «.= — -717
Posant ensuite Km:r)==y. et ^{x^)=yu^, , on aura j^^,==y,+ Q , équation dont l'intégrale donne >'*=C'+2Q=C'+Çç, d'où l'on conclut f(OT^)=C"+Q{, et il ne reste plus qu'à exprimer ^en :t,
par le moyen de l'équation u^r=:mxzs, — ^ — .En reprenant
les logarithmes , nous obtiendrons I/wat = q-^^la ? ? 1 ///
Dd 1
111 C H. I. Du Calcul
résultat que nous mettrons sous la forme
\mx =
et d'oîi nous tirerons alors
mx
Si nous faisons pour abréger = * i nous aurons
et par conséquent
If
Si l'on écrit simplement ;ir^ au lieu At mx ^ on obtiendra poar dernier résultat
Occupons-nous encore de Téquatioit f(j^)'=9(i^) + x; nous ferons dans cet exemple tf,=r, »^,=2jt, et nous aurons , en conséquence «^^i=i«,, d'où nous déduirons ».= C.i'=ap; posant ensuite ^(jr)=y, et ^(iA:)=y^, , Téquation à intégrer sera /
^x4.,=j%— 1. Si Ton suppose d'abord ^,=ttf + — , on trouvera
DES Différences. 21)
La dernière de ces valeurs est l'intégrale complète r puisqu'elle renferme une première valeur arbitraire ^ , et Téquation C.x'zzzx^
donnant 1'"'= -^, on aura
résultat qui revient à
si Ton prend * = a» C ( « j^
(*) M. DaTÎet de Foncenof avoît cru que l'équation ç(*)*=<p (a-r) + d ne pouvoit êtrt résolue qu'en supposant ç(x) égale à une constante ( Mélanges de Turin f 7. II ^ pagi 330 ); ce qui précède montre au contraire qu'elle a une .infinité de solution! indéterminées. Nous remarquerons ici que l'on séroît parvenu à la même conclusion en faisant
^{x)=A + Bx*+ Cx^+Dx^+ttc.
d^A il seroit résulté ^équation
A*+2ABx*+iiAC x^+i^D^x^+etc\=S A + 4Sx*+ i6Cx*+6iDx^ + B* 2BC\ S ^+%
de laquelle on auroit tiré
^•=.rf + i, aAi=iB, ai<C + JB*=i6C, etc.
Les racines de la première de ces équations sont A=z%y u4=— 1 ; ia seconde équation aif 8=48 , réduite à ^=a ^ s'accorde avec Tune de ces racines et laisse B iifdéterminé; on trouve ensuite
^ B* aB* - aBC iB'
la 1.2.3.4 60 1.2.3.4.5.6
ce qui conduit it. la série
aB aB* , aB'
^^ ' ' i.a i.fl.3.4 1.2.3.4.5.6
équivalente à
^ X - . B**, Bx* , B^x» ■ B»*4
^(jif)=i+ 1 "A 1- etc.
BS:, Bx^ BV . B*jt4 r
1 4 --—etc. I
BV —B\x
214 C n. l. D 1/ Calcul
9S9. La même méthode s'applique sans difficulté aux équations des ordres supérieurs; soit par exemple l'équation
dans laquelle les valeurs
y a"- y ya""-'» yt^^'^s » y^M . y,
répondent à celles-ci
En faisant x = u^, on aura ax = u^,^ d'oîi on tirera 11^,4.,== tf ir« et u^= Ca' ^ en intégrant. On peut en prendre C=i , et il viendra en conséquence x=a' ; avec cette expreSsion de x ^ on transformera les fonctions P,, Q, > • • • • 7^* ^ C^r et T, , en fonctions de { , on écrira ensuite j^„, j'.^^.i, etc. au lieu de j^/,, J'a""'*»» ^^c. et par ce moyen, Téquation proposée'sera ramenée à celle dun*". 973»
En supposant que les coefficiens P $ Q, 7, U^ soient
çonstanSy la transformée sera seulement
y^+Py^^^. + Qyu^ + Ty^.+Vy,^ V, ;
son intégration ne dépendra que de celle de Téquatiôn
^M-»+ ^^H^. + Qj'm*-*' • • • + ^J'h-. + ^y»= o » à laquelle on satisfait en prenant y^-=m^y m étant Tune des racines de
wi"+iP !«""•+ Q»ï""% . . . + Tflï + V—Q ( n". 974 ), -^
et qui donnç '
y.= C"/n"+ C'm"Jf C'"«""+ etc.
Pour revenir de cette expression dej^., à celle dej^, , 11 suffit de mettre, au lieu de {, sa valeur en x; or par l'équation x = a' ^
on a î = ;—, et en observant que m''=c*''^' ( Int. n". 31 ), il: en résulte ///'= « '•* = a:' ** , d oîi Ton conclut
y^^Cx^-'+Cx^" + C"x *- + etc.
Telle est l'intégrale complète de l'équation
DES Différences. 215
donnée par M. Paoli, dans ses Opuscules. 11 y est parvenu enfaibânc y^z=itix^^ substitution d'oîi il résulte
et qui change par conséquent la proposée en
le coefficient « demeure arbitraire, et si Ton pose a^=m , on aura ,
pour déterminer ;» ^ la même équation que ci-dessus : quant à (x ,
il viendra /i =a j— , ce qui rentre dans l'intégrale précédente. Il y
auroit à faire sur cette équation des rémarques analogues à celles du n**. 976 ; elles ont été développées par M. Paoli , mais nous ne saurions nous y arrêter , non plus que sur llntégration de Téquation
ya-.^Pya^-^s+ Qya^-^s' • . • + Ty^+ ^y.= K ,
qui se réduit d'ailleurs à déterminer C\ C% etc. dans la valeur de j^. , suivant la méthode du n". 975.
990. C'est aux méthodes que nous venons d'exposer que se ramène en général la détermination , d*apr es des conditions données, des fonctions arbitraires qui entrent dans les intégrales des équations différentielles partielles , et dont nous avons traité quelques cas particuliers dans les n"". 796 et 797. Voici à peu près comme Monge a présenté cette recherche.
Soit Z=J»f?(£^) + J\r4(^) l'intégrale d^une équation différentielle partielle, Z désignant une fonction des trois variables x^yy[ttM,N^U^ y, des fonctions de x ^ y seulement. Supposons que les fonctions arbitraires indiquées par les caractéristiques 9 et 4 9 doivent se déterminer par ces conditions : 1% qu'en faisant y = f(r) on ait i = F(x)^ %\ qu'en faisant j^=^f, (a:) on ait i=:FXx); à Ton représente par M\ N'y l/\ F\ Z', ce que deviennent les fonctions M^ N^ V^ ^, Z,dans la première hypothèse, et par M\ , Af\ , £^'i > ^, , Z\ , leurs valeurs dans la seconde , on aura ces deux équations
Z' =Ar ?(£/') + A7'^(r)
ii6 Ch. L Du Calcul
faisant dans la première F'=v^ on déduira de celle-ci une valeur de a; en V , au moyen de laquelle on changera les fonctions iW', N', V et Z\ en fonctions de v, et en les désignant dans ce nouvel état par M\ N\ U\ Z\ on aura
posant ensuite r',= v, on obtiendra de la même manière un résultat de la forme
éliminant 4(^)7 entre cette équation et la précédente , il viendra l'équation
Z" Z" Af" M*
que Ton convertira en une équation aux différences , en prenant U^^u, U\=u,, ^(27") = / et KC^',)=^. On déduira de là une relation entre u^ et Uj ou l'expression de ak en «, et on tirera aussi de l'équation £^'^c= u une valeur de v en u, pour la substituer dans M% N% Z\ M\, N\ , Z\i on formera par ce moyen une équation aux différences entre la fonction t et la va* riable indépendante u. L'exemple suivant éclaircira ce procédé.
Soit l'équation [^=.^(^ax — J') + 4(**:— y),
dans Uquelle on se propose de déterminer les fonctions arbitraires 9 et 4 par ces conditions :
I*. qu'en faisant y-r^Ax, j=5:c*, 2". y = Cx^ i = Dx\
Par la substitution de ces valeurs l'équation proposée devient suc*
cessivement
Bx^=^((a—.4)x)+4({b—J)x)
Px'' = ç{{a^C)x)+4Ul'—C)x);
posant (^-^^.v=v , dans la première de celles-ci » et (^ — C)a:=xv, dans la seconde, on trouve
et
D s s Différences. iiy
et on les change par ce moyen en
en en déduit ensuite ^ '
(^c)« "" (A— ^r ~^ ^^^^^ / "" ^ v"îii;5 " y '
et faisant
on obtient premièrement l'équation
puis on transforme Tcquation contenant la fonction f , en cette autre
{a-.A)\b-^Cf {a— A)" —'■""'*
Cette dernière équation s'intégreroit facilement par le procédé du n\ 988 , mais on en peut encore tirer plus simplement la valeur de t^ en substituant a/ à t.-^e^ d'où il résulte
D{b-Ay y B \^
t = ^ ' s /Il — s u\
{a—A)\b^Cy [a—AY '
en d>servant que les intégrales £2^' et S 2^"^ doivent être prises conformément à la relation qu'établit entre la variable indépendante u et sa différence , l'équation»
qui revient à
a—C \a—A a—CJ
Monge remarque que si Ton a en général Au = Kuy K désignant un rapport constapt, il vient
Appcndîct, £ e
%i9 Ch. \. DuCalcVl
et il en conclut par conséquent
»"= . =rr: * £b"=
avec le secours de ces formules , on obtient
D(b—AY a" B »" . .
'— (fl^)'(*— c)» (I +«:)'— I (<»— ^)" (i +^"— I
en faisant pour abréger
Il résulte de là i +X = ^''"^w^f"^? , et Dib—AYu' Bit—CTu"
en remettant ^(b), au lieu de r; on a d6nc ainsi la composition de la fonction arbitraire f.
Pour arriver à 4 («)> oû peut se servir indistinctement de l'une
des équations
Bu" f a^A N , , ^
et on trouvera
on aura donc enHn
^ (^— ^)"'(f C)"— (^->rf)-(<i— C)"
D{a-~Ar{bx^yr-D{b^J)-'{ax^yy .
(a— ^)X^— O'— (A— ^) (a— O' * en écrivant au lieu de u dans la valeur de ^(a), la quantité,«r---y, et dans celle de 4('<) « la quantité bx — y.
\\ est bon de remarquer que la valeur précédente de r devient quand b=ia, parce qu'alors l'équation
rojM/,
DES D I FFÈRENCBS. lï^
qui répond à l'équation différentielle partielle
cesse d'en être l'intégrale complète , et qu'on a
les deux fonctions arbitraires renfermant dans ce cas la même quan- ' tité se déterminent suivant le procédé des n*"'. 334 et suivans.
On voit facilement par ce qui précède que la détermination des fonctions arbitraires dans toute équation de la forme
dépendra d'une équation aux différences de la forme
dans laquelle ^ est une quantité donnée en u^U rapport de cette variable à sa différence étant aussi donné. 991. Prenons pour second exemple réqi.ation
l^z=x*p(ax^y) +y%{px'^y), et pour conditions , qu'en faisant ,
I*. y:=zAx^ or. ait [=:Bx^
i*. y = Cx i = Dx\
On tire de ces suppositions
d'oh, en posant {b — ^)^ = v, (* — C)^=v, il suit
et l'ëlimination de 4 ( ^ ) > entre ces équations , conduit à
Faisons maintenant
Ee 1
110 Ch. I. Du Calcul
nous aurons
ce qui revient à
la relation entre x/ et 2^, sera d'ailleurs exprimée par
tf(7 ' a— A ' (a— ^)(*— C)
Si l'on prend ^ = ^(1^) et /,=:^(tf,), on aura évidemment , poiir déterminer t , une équation aux différences , de la forme
dans laquelle G y E^ Fj désignent des coefEciens constans; et le rapport de la yariable indépendante «^ à sa différence sera donné par une équation de la forme Au=Kuy en sorte que si l'on regarde u comme une fonction indéterminée de la variable i dont la différence est égale à l'unîté , on aura l'équation u^^=(K-^ i)y^. Il est très-facile d'appliquer le procédé du n*. 988 à l'intégration de l'équation r.— G t =£«'''— —Fw'^'»-*,
que par ce procédé on transformera d'abord en
/^ —(;/,= £c'(â:+ i)cp'*-*>— fc'(a:+ xf^^^,
C étant une constante arbitraire; mais au lieu de poursuivre ce calcul , nous allons faire connoitre un artifice d'analyse fort élégant ^ employé par Monge.
Nous partirons avec lui des équations
en faisant pour abréger
pn — i = j8, /iB — i = ee;
et en observant que l'équation h.u^=.Ku conduit à
A.«-= (( I + iK )"— 1 ) »- ( n'. précéd. ) ,
il .■ ' \ Zt
DES Différences. m
puis à «'"=: -; -jr- , nous reconnoîtrons la possibî-
lité d'introduire des différences dans le premier membre de l'équation à intégrer , de manière à donner à ce membre une forme sem-* blable à celle du second. Il suffira pour cela de partager les coefficiens £ et /* en deux parties e et c\ f et f\ ce qui donnera un résultat x
qu'on pourra transformer en et si l'on fait
il viendra
on aura pour déterminer les coefficiens e , t\ /, /', ces équations :
desquelles on tirera
FG , E((t+K)'^i)
cela fait, on obtiendra
E F nlr ^irTi {^'^* + ^-«**} +7^77 iF^i {Gu^+ A.u^}
équation à laquelle il est aisé de voir qu'on satisfait , en prenant f(u)= •- — ; -— H — ^ — ;^ „,^ + consi»
222 Ch. 1. D V Calcul
En substituant pour E ^ F^ G et K, leurs valeurs, et laissant toujours A et fi ^ on obtiendra
K '0 — c^i^a—jy{t—cy—A\î^jéy(a—cyr
A^D\b—JYu<^ t + '^^''•
avec cette expression on trouvera , pour celle de l'autre fonction arbitraire ^
B^(a—Cyu
N*„* ^-HCOTJ/.
c\a—jy{b—cy—j\b—}4y{a—cy
et l'on aura enfin
C^B^i b—Cy^-^x'^ax—yy^'^—B^ia^Cy^'Yi bx—yy^'
Cette équation , en satisfaisant aux deux conditions imposées , conserve bien évidemment la forme i^=x*f(^ax'^y)+y*4(bx — y)^ déterminée par Téquation différentielle partielle qui lui correspond; mais elle deviendroit illusoire si l'on avoit a=b ^ parce qu'elle cesse-* roit alors d'être une intégrée complète.
992. Monge parcourt successivement plusieurs formes d'équations ; il s'occupe du cas où l'une des fc^nctions arbitraires entre dans la composition de l'autre , et prend pour exemple général l'cquation l=K^ + 4(^)),
qui peut s'écrire ainsi ,
f ^ désignant une fonction inverse de ^ , et se traite alors d'une manière analogue à celle du n^ 990.
il en est de même de l'équation
[i:=^{(fiax—y)){^bx—y)).
DES Différences. iiy
qui 9 lorsqu'on passe aux logarithmes ^ devient
OU simplement V %
«n changeant de fonctions arbitraires.
993. Le calcul 'se complique beaucoup à mesure que le nombre des fonctions arbitraires augmente , et présente de nouvelles difficultés , ainsi qu'on en jugera par ce que nous allons dire , d'après Monge, sur l'équation
Soient les conditions suivantes :
i\ quand yz=zf{x)^ î=F (:*:),
supposons qu'en faisant dans l'équation proposée les substitutions qu'elles indiquent , on ait
z' =3f'Kr)+jv'4(r' )+/^^(^).
on fera successivement y'= v , V\z=zv ^ ^'*=^ y , on tirera de chacune de ces dernières équations des valeurs de x^ que l'on substituera successivement dans la première y la seconde et la troisième des précédentes , et désignant les résultats par
Z'' = M^p^^T )+JV^ ^{ir )+P' ^(v),
z^=i^^V(^^)+JV^4(£^^)+?V(v),
on pourra éliminer la fonction vtv) : il viendra
P'Z\^^P',Z'=iP'M\f^T':,)^P',M''p(r^^.P'N\^V\)^P\N'^U')^ P'Z\ -'P\Z'==P'M\p{T\)—P\M'f{T") + P'N'A{U\) ^P"^hr^U') , équations que , pour abréger , nous représenterons par
^. = 5. ♦(î".)-^ <r) + CA{u\)-c ^u 7 ,
Soit maintenant
il faut bien observer qu'en général les quantités t\ et « , ne doivent pas être regardées comme des valeurs de t et de u^ consécutives à r, et à u^ parce qu'elks ne résultent pas nécessairement de la loi de variation établie par le passage àtu^u^ et de r à r, , en sorte que si Ton prend r, — t=z£it^ u^ — u^=.b.u^ il faudra faire /,— r/=A'/, u'^-^u^sr^àfu^ ^à! désignant une autre difFérentiation que A. L'élimination de v entre les équations qui déterminent t^ t, jt\y u^ u^^ u\y donnera les diverses relations que les variables r et » ont entr'elles et avec leurs diâFérences ; posant ensuite
on obtiendra deux nouvelles équations de la forme qui revient à celle-ci
Nous voici donc amenés à un nouveau genre d'équations , dans lesquelles les différences des variables $ont relatives à diverses hypothèses , et par conséquent représentées par des caractéristiques différentes. Nous ne connoissons jusqu'à présent aucun travail étendu sur ces équations ^ qui paroissent devoir présenter encore plu$ de difficultés que les équations ordinaires aux différences» •
Nous n'avons considéré que le cas oii les fonctions arbitraires ne sont qu'au premier degré dans l'équation proposée ; en variant les circonstances que cette dernière peut présenter y on tomberoit sur de nouvelles recherches de plus en plus épineuses; c'est ainsi que Condorcet a montré que quand les fonctions arbitraires entrent d'une manière transcendante dans l'équation proposée , leur détermination dépend d'une équation cpntenant à la fois des différences et des fioefiîciens différentiels. L'étendue qu'a déjà acquise l'ouvrage que nous présentons au public, l'importance des matières qui nous restent encore à traiter, ne nous permettent pas d'entrer dans l'examen de ces diverses questions , qui n'ont offert jusqu'ici que des résultats très-peu satisfaisans , parce qu'ils sont très-particuliers ; nous croyons avoir rempli notretâcheen faisant seulement connoître
leur
-DES DlFFÈjR,ENCES. 22 5
leur origine , leur but , et en les indiquant aux. recherches des )eunes gens qui se proposent de cultiver l'Analyse pour en étendre le domaine et en applanir les difficultés.^
994. Lorsqu'on a un nombre m d'équations entre m + 1 variables et leurs différences » on peut appliquer à ces équations les divers procédés dont on a fait usage dans les mêmes circonstances à regard des équations différentielles ( n", 651 et suiv. ). Pour donner d'abord un exemple de l'élimination , nous prendrons les équations
j^x+ny,.i=Q',{,+/î',îx-. ; W;^
en chassant premièrement ;^., , comme une inconnue algébrique ^ il vient
(/î'.-/î,)j.,+(iî',p,-/î,p',)>'x-,=(^'.Q-^x(2',){,;
écrivant ensuite dans ce résultat x — i , au lieu de at, on obtient cette nouvelle équation
dont la combinaison avec les équations (i) et (2) servira à chasser en même temps {, et {;,.,. Si l'on multiplie l'équation (i) par *, l'équation {2) parV, et qu'on ajoute les produits avec l'équation (3) , on aura ^ après avoir égalé à zéro les quantités qui multiplient {, «^ îx-€ » ^^ P^^^ ^^5 équations
réquatlon finale
qui sera encore du premier degré 9 mais • qui montera au second ordre.
Il tst facile de généraliser cette méthode , si l'on observe qu'elle se déduit de celle du n*. 78, en remplaçant les différentiations indiquées dans ce n"". par les substitutions successives àt x — i , JT— -3,'etc. au lieu de x.
995. Laplace s'est occupé en particulier d'un genre d'équations qu'il nomme rentrantes en elles-mêmes , et dont les plus simples Apptndiu. Ff
22(5 C H. I. Du Calcul
sont de la forme
II) n ^
ys>yx^ysf y » désignant des fonctions de la yariable x^
telles que chacune étant exprimée par celle qui vient après, la dernière Test nécessairement par la première. On rend évidente la composition de ces équations en imaginant que les fonctions
yx^yxyy^^ yx^ soient disposées autour de la circonférence
d'un ^cercle j de manière que la dernière y, se trouve contigue à la
première y^ ; d'après cet arrangement les équations rentrantes en
elles-mêmes expriment les relations de chacune de ces fonctions
avec un certain nombre de celles qui les précèdent. Si la loi doit
être telle que chaque fonction soit , par exemple y égale au double
de celle qui la suit, rapporté à l'indice Jir-~i , plus au triple de celle
qui suit cette dernière, rapporté à l'indice ^— x, les équations
rentrantes qui expriment cette condition seront
Il est évident que Ton auroit toujours les mêmes équations en commençant par celle que l'on voudroit des fonctions cherchées.
Pour intégrer les équations rentrantes , il £iut commencer par en déduire une équation finale entre la variable indépendante x et Tun^ des fonctions cherchées ; la forme des équations proposées donne
DES Différences. iij
Heu à des simplifications dans le procédé, pour lesqudles nous renvoyons au Mémoire de Laplace, cité dans la table et dont nous avons tiré ce qui précède.
996. La méthode du n\ 656 , par laquelle nous avons intégré conjointement plusieurs équations différentielles, s'applique aussi aux équations contenant des différences ; cVst ce que nous allons montrer sur deux équations du premier ordre, auxquelles nous donnerons la forme
M,y,+N',l,+F,t^y,JrQ[,^=y'. ( n*. 970 ),
pour les rendre plus analogues aux équations différentielles. Nous multiplierons la seconde par un facteur 0 ^ et l'ajoutant à la première, il viendra
si l'on met cette équation sous la forme
die se changera évidemment en une équation à deux variables , toutes les fbk qa'oA aura
C3X en faisant alors y, + j^ ,tjJ î»=y«» ^ viendra l'équation
gui rentre dans celle qu'on a traitée, n*. 971.
Les conditions à remplir dans cette circonstance sont exprimées par les équations
La première donne 0 , et l'autre est purement une équation de condition, qui sera satbfaite, en faisant 9 constant, lorsque les
Ff 2
128 C H. I. D'tr Calcul
coefEciens M, N, M', N'y seront constaos ; dans ce
cas, 8 sera déterminé par Téquation du second degré
(Q+9Q;)(M+9M')z={N+iN'){P+iP').
Lorsqu'on aura les deux valeurs de cette quantité , on en déduira deux valeurs de y, , qui conduiront à deux équations de la forme
à l'aide desquelles on déterminera séparément y^ et ç^
Nous observerons que dans le cas qui nous occupe , on peut aussi , par une méthode analogue à celle du n°. 653 , ramener les équations
M. yr + ^s Ir + P. ^ys+ Q. t^^-=y.
à celles-ci
qui n*en diffèrent que par l'absence des termes V^ et V ^. En effet , ^î y' X et y\ > i^ et :^^ , sont des valeurs particulières qui satisfassent à ces équations , on aura , pour les valeurs complètes ,
si maintenant on prend les différences, en faisant varier les quantités C'y C'y et que l'on substitue dans les premières équations proposées , elles deviendront
" iP.ys^.+ Q,Ù^,) + ^C'iP,y'^,+ Q,l',^,) ]
C { M'y, + jvx + P', Ay,+ Q'.Aî', }
DES Différences. 229
les deux premières lignes du premier membre de chacune de ces équations sont nulles en vertu de
il ne r^ste donc que les équations
qui serviront à déterminer a C et a C\
Ces Indications suffisent pour pousser aussi loin qu'elles peuvent aller les méthodes que nous venons de rappeler, en s'aidant d'ailleurs de leur application aux équations différentielles dans les n***. cités.
997* Pour ne laisser inconnue aucune des méthodes que Ton peut employer avec succès à l'intégration des équations du premier degré aux différences ; nous montrerons y d'après M. Paoli , l'usage que Ton peut faire à cet égard de la méthode du facteur.
Soit l'équation
en la multipliant par un facteur quelconque i^^, , et supposant que son intégrale première soit alors
hX^^ys+n^x+P'^yx^^^-^ Q'^yr^n^^ — + T',y,)=7:r^, ,
on prendra la différence de cette dernière équation , qui sera
— /** («, yx^n^i+P'm yM^^%+Q's >'*+7i-r***+^'* y* )
et on la comparera avec l'équation proposée multipliée par ^^ , ce qui donnera
/*x+i Q'x+i— f*x^'x=f^xQ»
230 Ch. h' D u Calcul
Si l'on prend ces équations dans un ordre inverse , on en tirera
d*oii Ton conclura
V' !^f±LU T
, — '— — *^x+ii-â •* x+n-î' • • • — V:*
f*x '^x Mx-H«-t y/ f^x4.|t-> >7» ^x4-r ri D .
*,— -^ ;^ «^x+ii-i - -«x+ii-»* • • • TT v+i'~'^» »
déduisant de cette dernière la valeur de «t^^, ^ pour la mettre dans réquation tfx4.if*x4.i=^x > on aura
Il est visible que cette équation répond à celle du n*. 979 , cv si Ton fait — ^*^ = — , il s'ensuivra
/*x f^x+i* ^* /'«/''^.t ' i*x Mx4*Vx+,' ^x ~PJfT^tP^
ce qui donnera -^^^=- ^, et conduira par conséquent à
^x+I» , 'x+a-t , Xx4>« , '^x^.i
DES Différences. 231
ou à • '
H II— I •. lï— 1 1
Nous ne- nous arrêterons point ici sur les propriétés de cette équation , nous nous bornerons à observer que lorsqu'on aura trouvé n valeurs particulières qui y satisfassent , on pourra former un pareil nombre d'équations semblables à
au moyen desquelles on obtiendra l'expression y^^ en éliminant
les /z— i quantités y^, , y^ y^^n^x*
Si on navoit que/z — m valeurs de /t<,, on ne pourroit chasser que r — m — I de ces quantités ^ et on rameneroit par conséquent l'équation proposée à une autre contenant y^ , j^,^, , . . . • •yr^m 9 c'est-
a-dire, de l'ordre m.
998. Les quantités arbitraires, introduites par l'intégration des De la nature de*
équations aux différences à deux variables , ne sont pas nécessai- aAitraircs introït • IX 1 • f f , duites par linto-
rement constantes comme celles qui complètent les intégrales des ^ration des équaéquations différentielles ; mais pour donner aux résultats toute la ^'^"* *"* ^'ff^»^^"* généralité dont ils sont susceptibles , on doit regarder ces arbitraires tructîon de cet comme variables. En effet, l'équation a^ = o, n'exprime pas abso* q"**^^*^^** lument que la fonction y soit constante , mais seulement qu'elle ne change point de valeur lorsque la variable indépendante x devient x-^Lx. Si, par exemple, ax est constant et égal à â^ on pourra prendre pour y toutes les fonctions de x ^ qui conservent la même valeur quand on y met :r+i, au lieu de x. Or il est facile de voir que parmi les fonctions circulaires il s'en trouve un nombre infini qui jouissent de cette propriété : telles sont les fonctions
'3FX IfX
de sin —, cos — - , lorsque » désigne la circonférence , car U| substitution de a: + â , au lieu de x , dans ces quantités , donne
Sin f 7r+ — j=: sm — , cos ( ?r+ ~J =C0S 9r ,
on peut donc , dans cette hypothèse , prendre
^=^Lsin — , cos— J, pour l'intégrale de a^ = o, au lieu
232 C H. I. Du Calcul
de j=C, en considérant d'ailleurs la fonction f comme entièrement arbitraire et susceptible par conséquent de toutes les formes possibles. Il est évident que la fonction qui complète l'intégrale de l'équation Lyzzzo , prise dans l'hypothèse de A;i-=A , corapléteroit aussi toute autre équation aux différences du premier ordre prise dans la môme hypothèse; il faut donc substituer dans l'intégrale de l'équation quelconque du premier ordre ( n*. 971) » au lieu de C, la quantité ^(sin'Tjr, cos^i-x-), puisqu'on y suppose Ar, ou A=;i.
999. C'est Euler , qui le premier , fit cette remarque importante y en cherchant le terme général des suites récurrentes ( n*. 983 ) , par l'intégration d'une équation différentielle d'un ordre indéfini; la marche qu'il a suivie dans cette occasion est trop élégante pour n'en pas donner une idée. Il se propose d'abord it trouver U terme gênerai de la strie dans laquelle chaque terme est égal à celai qui U pré* cède y ce qui lui donne l'équation y^^i=y^y et en observant que
^ i dx i.a dx* ï.2.3 dx-
il la change en cette autre
^yx I ^yx ï ^y^
o = ^+- -/f + /f + etc,
dx . 2 dx* 1.1.3 ^
équation différentielle du premier degré , mais d'un ordre indéfini ^ et à laquelle on satisfait en prenant y^'=e'^' » pourvu que m soit déterminée par l'équation
— + — H + etc. = o,
qui revient à «"* — j=o. Cette dernière donne d'abord /w=o, et par conséquent j^=C; mais ce résultat n'est pas l'intégrale complète qui doit nécessairement renfermer un nombre de constantes arbitraires égal à l'exposant de l'ordre de la proposée , et par conséquent infini ; pour y parvenir il faut donner successivement à m toutes les valeurs qui peuvent satisfaire à l'équationc"" — i =Q i or en passant aux logarithmes , on a
iT: = li=o=tzW^ — 1 { n^ 181),
expression
n E s Dit f ê r e n c s si ijj
«xpfessîoii dans laquelle i représente tous les pombres entiers possibles j y compris o. Si Ton réunit , comme dans le n"". 64$ ^ chaque couple de valeurs semblables , on en déduira ^ pour l'intégrale complète demandée deux termes de la forme
cçosî'^x +^iSÎn/Vx, € et c, désignant de nouvelles constantes arbitraires ; il suit d^ là que l'expression de y, sera "Be la forme
+ €'^sin9r;r+c'',sin2.'r:ir+c*',sin '^'jrx. . . . ... . .
ce qui revient évidemment à une fonction arbitraire , des quantités
sin7r:r^ cosx;^ (Int. n'".4Z , 43 )^ Euler traite succe9sivement de la même manière les progressions par différences ( ou arithmétiques ) , les progressions par quotiens ( ou gigmisn^uês } ^ les séries récurrentes, et parvient à des résultats analogues au précédent, mais nous ne saurions le suivre dans ces détails.
1000. Lorsque la différence de la variable indépendante x n'est pas constante > le procédé donné n"". 988 y appliqué à l'équation Ay,=o y conduit à la composition de la quantité qui doit entrer dans la fonction arbitraire; car ayant changé cette équation en Ay«=o^ son intégrale doit être^.?=4(sin^î, cos^{), et il n'y a plus qu'à substituer au Heu de [ sa valeur en x.
Âyaiit trouvé pour le cas oîi Ajtr=jr^ — mx, dans le n% 988,
