I - ^ . mx
il en résulte que la constante C doit être remplacée par
mx
et que par conséquent l'expression complète de y. , ou de ^{mx) » qui satisfait à l'équation f (x*) = p{mx)^Q^, fl$|
f(;ii;r)î=c4[sinp(ll-- — ^,^^1*} , cos
1^ '' if
Appuidictn G g
zy4 C ïL h D tf C AL CUL
Dans réquation f{x^)—p(ix) + z, du même mimércx, on ai
obtenu i*= x , ce quF donne ;[= — ;la fonction arbitraire doit donc.
être ^Csin^ — ,. cos^\ et Ton doit avoir par conséquent
Nil IX /
Les mêmes considérations s'appliquent à un ordre quelconque ;. réquation du n"". 989. nous servira d'exemple. En y supposant les» coefficiens conçtans ^ elle se réduit à
et se ramène à
y^+Py^^. + Qy^n^ + 7>^.+î^j^.= ^,
la différence de la. variable i étant ^ale à l'unité lorsqufon: preîuE î = — : par ce moyen Hutégrate
qui y pour être complète , doit s'écrire ainsi
J'^=/72'V(sin9r^, COS9r;[) + /7l'''f^(sinfrç, costfO yi
+/w"V(sin^î, cos9r^ + ... ......)
9% 9' 9 9^f désignant des fonctions arbitraires indépendante!»
les unes des autres^ devient
77,/. 'JrXx ^1^. TT^ir/. '^^x 7r\x\
^,= xl-.(sm^, cos— )+xl-',(sm-^, cos^.
' . "TT" «// • '"^^^ iA'x\
en y substituant , au lieu de ^^ sa valeur en or.
looi. La détermination des fonctions arbitraires qui complètentr les intégrales des équations aux différences , ne peut s'opérer en assujettissant ces intégrales à satisfaire à un nombre limité de valeursdonnées^ car il est. visible que toute fonction arbitraire comprend implicitement un nombre infini de valeurs arbitraires.. Soit pour exemple l'équation ^,= JST ^ ( sin w :r , cos 9r j: ) , de laquelle Ofti doive tirer un certain nombre de valeurs ^^^=^,^,=^',^^,^4'^, ctc*. Si ces valeurs répondent à x=zo^ x=ii ^ x=z ,,etc. on nepournu
DES Différences. 235
tâtisfaire en général qu*à la- première des conditions imposées; car dès qu'on aura assigné pour ^{sin^x, cos^:r), une première' Taleur déterminée , de laquelle il résulte ^0= ^ 9 cette valeur devantseretrouver la même pour les indices Ar=i , :r=i, :r=:3,etc* il s^nsuit que les valeurs de y^ y relatives à ces indices , sont aussi déterminées. Il faut donc que les quantités données a\ u\ etc. cor^ respondent à des indices[intermédiaires.
Si au lieu d'un nombre limité de valeurs isolées ^ qui ne peuvent déterminer qu'un pareil nombre de valeurs de la fonction arbitraire ^ indépendantes les unes des autres , on suppose que dans l'intervalle compris entreA:=o et jr=:i, l'expression dej^. doive fournir les mêmes valeurs qu'une équation donnée j^,=f(:c)y la question sera déterminée. En efFet ^ s'il s'agissoit de trouver la valeur àey.^ qui corresponde un'^ indice égal à un nombre entier quelconque m ^ plus une fraction ^ soit commensurable , soit incommensurable , que nous désignerons par /z , oncalculeroit la valeur dey^, d'après réquation^,=f(x); comparant le résultat avec celui que Jonne alors l'équation j^,=JSr^(sinTx ^ cos^r^), ^ on auroit pour ce cas la valeur de ^(sin^r^^ costjs) , qui doit être là même que celle de f ( sin ^ ( /» + n ) , cos ^{ff^^ n)) ^
et réquation y^=> X^ (sin tt x , coscr;c) , devenant par là
6eroit entièrement déterminée.
La seule condition à laquelle soit assujettie l'équation donnée
^,= f(r) , c'est qu'on en tire pour^^ et^, les mêmes valeurs que de l'équation j'.=-X'p (sin ta:, cos^j:).
1002. Les considérations géométriques jettent un grand jour sur la théorie analytique que nous venons d'exposer. Gierchons d'abord comment on peut représenter , par le cours d'une ligne , les circonstances de l'équation Ay=o: soit AR^ fig. i, une droite indéfinie ^^' *• parallèle à l'axe des ^^ menée à une distance quelconque de cet axe j ^ divisée en parties AA\ A'A'^ A'A"^ etc. égales à àx^, toutes les courbes telles que - ABA'B'A'B"A"'S, ACA^CA^CA^T, ADA'jy A'D'A^V, etc, passant.par les points A y A'^ A", A*\ et composées , entre ces points , de parties égales et semblables y satisferont à l'équation t^y = o. Cela est d'abord évident pour les points ^^ A"^ A"', etc. et l'on voit
Gg 2
%^6 * C H. I. D 1/ Calcul
ensuite que, prenant jiPz=LX ^ j4F—x+ax^ les zrcs JL etA^L\ JMçtA^M\ ANtiA'N\ etc. étant égaux et semblables» les ordonnées LP et L'F^ MF et M'P\ NP et N'Fy etc. seront aussi respective* ment égales» et Ton aura par conséquent dans chaque courbe Ay=ow Si Ton suppose» par exemple » que la courbe ASdk pour équation
j^=:f^sin — » cos — V elle remplira évidemment les conditions^
exigées au commencement de cet article et toutes les ordonnées PM » PN » etc. élevées sur la même abscisse » seront nécessaireoient
TX ' WX
des fonctions de PL , ou de sin — et de cos — , résultat qui 5*^0-
