X AX

corde ave<5 celui que nous avons tiré des considérations analytiques» La condition Ay=o » n'entraînant point la continuité dans les résultats y les courbes AS , AT, AU ^ etc. ne seront point assujetties à cette loi. Le polygone EFE'F^E\ . . V, composé de parties semblablés EFE\ E'F'E^ etc. donne également Ay=o ; il en serûitdemêflie d'une suite* d'arcs égaux et semblables d'une courbe quelconque assemblés d'une manière discontigue » comme te sont les arcs

cjy, Gn\ G'jr\ etc.

1003. La construction dès équations aux différences s'iKcorde parfaitement avec ta détermination analytique des fonctions arbitraires» En effet » soit û j^ = F( a: , j^) , une équation quelconque de ce genre ' et du premier ordre ; ayant choisi arbitrairement , ou déterminé ^ suivant les conditions de la question » le premier point if » de 1» riG 5. courbe cherchée , J%. J ^ comme l'équation n'apprend rien sur tous les points correspondans à la portion d'abscisse AA'=:Ax » et qu'elle donne seulement l'ordonnée A^B^=y, » on pourra faire passer par les points S et B" une portion d'une courbe quelconque ;. cela feît, pour obtenir la portion correspondante à Tabscisse A'A^^ on prendra en arrière d'un pomt quelconque P^ de cette abscisse » uoe^ distance PP':=^AA'^=ax, et élevant l'ordonnée PM, on mènera MDf parallèle hAR; tirant ensuite de l'équation Ay=/'(x, y) la valeur de Ay pour l'abscisse AJP* j cette valeur donnera la droite VM', qui jointe à JP'D'^=^PM^ fera connoître le point M\ On trouvera de même tous les points de l'arc B'B" : cet arc employé à son tour comme Tare SB\ donnera ceux du troisième arc B'B'^j^ et ainsi de suite»

.'.' ji

DEsDlFTÈRENCES. Z37 f

n est évident que Ton pourroit , par le même procédé , continaer la courbe ea arrière du point ^ , et que dans tous les cas elle satisfera à l'équation proposée, puisque les différences àyr=D'M' auront des valeurs conclues de cette équation: nous laissons au licteur à faire l'application de ce procédé aux équations du second ordre et des ordres supérieurs,

1004. Nous avons supposé plus haut que la diffîrence de l'abscisse x étoit constante; si le cootraire a voit lieu ^^on n'en construtroit pas moins les équations aux difiërences. Dans ce cas^ les équations proposées peuvent être mises sous la forme

la première se construira d'après le n% précédent ^ en regardant x comme fonction d^une nouvelle variable u dont la différence soit constante. Ayant obtenu par son moyen la grandeur de A^ , correspondante à une valeur quelconque de 1^ , on se servira de ce résultat pour construire par la seconde équation , le ày correspondant*

£11 regardant les trois varialades u^ x^ y^ comme les coordonnées des points de l'espace, les équations proposées représenteront une courbe à double courbure. La première donnera la protection sur le plan des utt at , et la seconde la protection sur le plan des x ttyi si l'on éliminoit x^ on parviendront à l'équation de la projection ^ sur le plan des HT et >•

X005. La correspondance qu'on a dû remarquer entre les équa- De la muliîplîtions difiërentielles et les équations aux différences . a lieu par rapport ^^^^ ^^ intégrales

X • ,. . j j •! « . ^ t • dont les équations

a la liaison de ces dermeres avec leurs intégrales , et repose sur des aux différences considérations analogues à celles que nous avons exposées dans le sontsusceptil^es» n% ^^77 , à l'égard des équations différentielles. Ces considérations ont été mises dans tout leur )our par Biot, Professeur de Mathématiques à l'Ecole centrale du Dépanement de l'Oise^ dans un Mémoire qu'il a présenté à l'Institut , et duquel nous avons tiré ce qui suit^

Si l'on a une équation quelconque F{a ,x, y)=o , entre les deux variables x^ ytil^ quantité a supposée constante , que Ton passe à Téquation consécutive F(tf , ^, ,^J = 0 , et que Ton élimine a entre cette dernière et la précédente , le résultat sera une équation aux diffé*

138 Ch. I. Du Calcul

rences , ayant pour intégrale complète V{a y x , y)^=^o ; mais l'équatioa aux différences ^ que nous désignerons par Z=o , resteroit encore la même quand la quantité a seroit variable ^ pourvu que le changement de cette quantité n*influât pas sur féquation F f if , jt, , j^. )=t>. Pour examiner cette circonstance ^ dans laquelle il faut regarder y comme une fonction de jt et de n ^ nous écrirons Téquation primitive pfO«' posée ainsit ^{^^^^yx.a} =o...(^).

et lorsqu'on fera varier x et a en même temps , on aura

Cela posé, il est visible que Téquarion Z=o seroit encore satisfaite par réquation F {«^j^^y»,*} =0, dans lliypothèse de a variable , si Ton avoit y^ , fli=j^« , • , ce qui arriveroit nécessairement si les équations

pouvoient s'accorder lorsqu'on changera dans la seconde jr^^ , «, tt ^*i , « • dans ce cas , les équations

"^i^xf^yysi.a) =0, F{x,,tf,,jr„,«}=o....(r); auront lieu en même temps ; et en éliminant y^x^mj ^^^ conduiront à une équation entre x ^ x^^a^a^^ qui exprimera la loi suivant laquelle doit varier a.

Ce résultat n'est pas entièrement semblable à celui que nous avons indiqué dans le n^. 577. Dans ce numéro , la relation entre a et ^r est exprimée par une équation primitive y en sorte que la valeur de a qu'on en tire n'est que particulière , et l'équation F { x^a^y,^^} = o , perdroit sa généralité par la substitution de cette valeur ; dans le cas actuel au contraire , la relation entre x et ^ étant exj^imée par une nouvelle équation aux différences y conduit à une valeur de tf j complétée par une quantité arbitraire , à l'aide de laquelle l'équation F { x,ii,j',,^} =0, conserve toute son étendue^ et offre par conséquent encore une intégrale complète de l'équation aux différences Z=o y au lieu d'une solution particulière qu'auroit eue dans les mêmes circonstances une équation différentielle.

ioo6. Pour approfondir davantage la liaison qui existe entre les diverses intégrales dont nous venons de montrer l'existence , il faut se rappeler que, considérée analytiquement, une équation aux cfiffércnces donne le terme général d'une série , et que , sous le point de vue

x> B 3 Dit F è r e n c e s. i^yj

géométrique elle est le lieu d'une suite de points correspondans à de$ abscisses déteioiinées suivant une cert^ne loi. Quand la constante a reçoit une valeur particulière , Téquatioa F { a? , ^ , j^^ , «} =^» • • CO devient une imigraU panicul'ârt de Z=a, d'après le sens que nous avons attaché à cette expression dans le n"*. 576; les équations ' { *">^. ^y^. Ml }=o. . -CO 9 F{ ^> ^oy*>a,}=o. • .( A',) , etc. appartiennent donc à des lignes représentant les diverses intégrales* particulières qui naissent des valeurs a^f a^$ etc. attribuées à la constante tf ^ et il est évident que l'éqpation F { x, , ^1 >yn , 01} =^» vépond dans la première au point consécutif à celui que désignent les coordonnées jp ety», aw ^^ établissant donc l'identité de j^^^^^^ et de y,^, aj et considérant les équations

comme ayant lieu simultanément «. on exprime que les lignes données par les équations (f^)tt ( V^ } se coupent au point dont l'abscisse est X, et l'ordonnée y^, a=^*i ,ai> ou que la série dont le terme général est déterminé par la première équation , coïncide dans son deuxième terme ^avec celle dont le terme général dépend de la se*^ conde équation..

Maintenant si, dans les* équations (^9 la quantité^ reçoit des valeurs successives conformément à la relation qu'elles assignent entras cette quantité et les autres variables , on aura ces nouvelles^équations

d*6U il résultera encore jTi», «^ ==y«i. « > «t qui par conséquent établiront l'intersection de la courbe désignée par ( rj) avec celle que représente (^,) , au point dont les coordonnées^sont »^ , j^ j^^^,==y En continuant ainsi de proche en. proche , on obtiendra, une suite de r^ulats compris dans les équations

'{^n 9 ^(it-o jy^in), «(«-!) } =0, F {:r^, ^itf J^*('io. o(«-.i)} =0. . .(F'jl, qui supposent que j'^»), •(»)=y#(n),fl(«-i) s et établissent par conséquent au point dont les coordonnées sont x^,y^^),^^^)=y^n). in..), une intersection entre lies courbes désignées par (^,^,) et (^„)i

Les coordonnées des divers points d'intersection que nous venons de faire remarquer , étant comprises dans là suite

140 Ch, !• Du Calcul

vérifient l'équation Z=o, car j^^^. «i se trouve (ians la seconde ligne consécutif à ^«, « et antécédent à y^^^ ^t 9 ^^ ^îc^si des autres. Il suit • de là que le système des équations (W) exprime la loi suivant laqueUe il Jaut faire varier ^^ pour que Us averses intégrales particulières résuliames de cette variation se coupent successivement dans des points qui vdri^fitni tiquaàon aux diffUrences Z =:r o«

Si donc l'on détermine au moyen de ces équations , la valeur de m en JT y et qu'on la substitue dans ¥{x , a ,yg^ «)=<> 9 on aura Téquar lion commune à tous ces points 9 d'oh dépend le terme général des valeurs de^,, «, formées d*après la série précédente*

Il fiéiut remarquer que cette série n'emporte pas nécessairement l'équation y^ , « =J*a, «i 9 et celles qui* en dérivent , et que par conséquent elle vérifie bien l'équation aux différences premières Zz=to , mais non pas la différence de celle-ci ^ ou l'équation aux diAérenoes secondes.

Si l'équation F(x,tf,^,^«) = Oy que pour abréger , nous représenterons par F^=Oj contient des radicaux , ou si, lorsqu'elle en est dragée 9 la constante a y monte au-delà du premier degré, les équations ( JF) conduiront à une nouvelle intégrale que nous nommerons intégrale indirecte^ mais elles n'en donneront pas d'antres que V=^o^ si tf ne passe pas la première puissance. Edairossons ceci par quelques exemples.

1007. Soit l'équation y^^^'^àx-^a^. . .{V). Si l'on en prend la différence dans l'hypothèse de Ax:=sr, on aura ùyz=utx^ d'oà on

tirera tf = — et par conséquent

les équations ( ff^) deviendront alors

ysi.a=a^,—a^, yxi.a=a,x,—a,^. • • -C^)» et donneront par conséquent la suivante

qui se décompose dans les deux facteurs

Le premier , d'oîi il résulte a = const. nous ramène à l'équation

primitive

n E s Différences. 241

primhîve (A') , et le second étant intégré par le procvdé du n^, 988, après avoir mis xx au lieu de x^ ^ conduit à

\x substituant cette valeur de a dans Téquation {V)^ on la changera en

Ix . alx

Pour construire cette nouvelle intégrale , il faut d'abord déterminer les arbitraires a et b , de manière qu'au premier point , que Ton suppose donné , on ait jr^^ 5 =y*, «• E-n désignant donc par « et /l

les coordonnées de ce point , on aura

1« il*

d'oïl l'on tirera deux valeurs pour a et autant pour b , qui fourniront en tout quatre séries satisfaisant à Téquatiqn (Z). U est visible que les deux valeurs de b seront de la forme

et que par conséquent Ton aura ces deux équations

%x* Vx ^ ' . .» » ^

k— 1« a(U — \tC^

Soit maintenant AX^fig. 4 , Taxe des abscisses sur lequel on ait FIG. 4. pris AP=<t : les valeurs ^P^ , AP,, , ^P, , et ^P" , ^P* , ^Pf%. . . les unes antécédentes à AP et les autres suivantes , seront déterminées par rintégrale de Téquation x'=ix y qui donne x=i*ct; d'où Ton

voit qu'à chacune de ces abscisses ^ la quantité -— ^ ^ est égale

1«— lot

à un nombre entier , que (— i) ^* =+ 1 ou — t , selon que n est

un nombre pair ou impair, et qu'enfin ( — i) *^ =t. Cela posé, . Appendice. H h

M^ CiA. l. Dv Calcul

^9 on construira la parabole CQ donnée par Téquation.

y= b'^y et la àïoixtJRj représentant réquatîony=+i^'jrt

on obtiendra les ordonnées de rang impabr , savoir r

en ajoutant Tordonnée de la ligne droite AR , à celle de la para* bole , et les ordonnées de rang pair , savoir :

en retranchant l'ordonnée de la ligne droite. Cela fait ^ toutes les * droites M^M^^ , ^«^^ 9 ^^* 9^^^ joignent deux points consécutifs de la nouvelle intégrale , seront comprises dans réquation^=stfr — 4% ce qui vérifie la conclusion du n"*. précédent.

. Une semblable construction appliquée à Téquation formée par la seconde valeur de h^ donne une troisième intégrale ~donC les points successif sont désignés par les lettres

m If mf

Ces points , ainsi que ceux de l'intégrale précédente , sont joints par des droites afin d'en rendre Tensemble plus évident.

Il convient de remarquer que les deux intégrales^ indirectes se ré^ duîroient à une seule , si Ton aVoit jS = ^ ct\

ioo8. La méthode précédente suppose que l'équation aux diffiiif ences passe le premier degré et qu'elle ne puisse se décomposer tn fecteurs rationnels. Si Ton avoit , par exemple , ùy^z=zc^ ^ dans l'hypothèse de Aâp=i y cette équation donnant ày^L+c^ aj<=s-— c , » deux intégrales distinctes

y*,«=^** + tff J^*,a= — cx + a.

En faisant varier les constantes de ces équations on n'obtiendroît point de nouvelles int^rales , quoiqull soit évident que les intégrales particulières que fournit la première ^ puissent coïncider avec celles qui résultent de la seconde , de manière à satisfaire à Téqmrtion aux différences comme le montreal les séries

X y 1*1 y x^ y eic»

formées d'après celles du n*. ioo6,

U est facile d'appercevolr pourquoi ce cas diflire de celui que

DES Différence si 243

nous avons considéré en premier lieu, JLei deux intégrales de l'équation ày^=ic^, consîdirées s<lparcment| ne fournissent que des droites parallèles qui ne sauroient se rencontrer ; de plus ces intégrales n'étant point liées entr'elles par une irrationalité commune ^ et se trouvant exprimées par deux équations distinctes , on ne sauroit , par une même opération , faire varier à la fois , les arbitraires m et a' de manière que les droites données par Tune coupent celles qui résultent de Tautre ; mais cette difficulté dtsparoit lorsqu'on a recours à réquation aux différences.

En effet, les diverses intégrales complètes que peut avoir une équation aux différences ^ ne sauroient s'accorder indéfiniment dans les différences de tous les ordres ^ sans quoi elles seroient identiques ; lorsqu'on fait ^^,,«=y,,,«, il en résulte bien j^„,^ =j^,,^^,^ mais non pas j^M,«=r««^«t, ainsi qu'il le faudroît pour que les différences secondes fussent communes aux deux équations. Nous con-^ clurons de là que les diverses intégrales d'une même équation du premier ordre ^ doivent , en général ^ répondre à diverses équations Jài second ordre ; et Monge a montré le premier que Ton obtenoit ces dernières en diffërentiant l'équation du premier ordre , parce que le résultat se décompose en plusieurs facteurs rationnels. Cest l'application du procédé exposé dans le n"", 673 ^ qiù l'a conduit à cette remarque.

Si l'oD prend la différence de Téquaiion ^j^^pnc^, on auim réquation

cm se décompose dans les facteurs

le premier donne ^y^^^^ > ^ éxwt une constante, et par vne nbu** Telle imégration mène à yz:i:Ax^a^ La CMuslanle A n'est pas arbi« traire , puisque l'équation Ay=^ doit nécessairement s'accorder avec la proposée Ay*=t* ; on a donc A=^±c et y:= dc^cx^a : telle est intégrale qui se présente la première. Le second facteur iAy+ a*jc=o slnti^re facilement et conduit dabçcd k %y i- Ayes^J, ce dernier résultat donne , par le n% 97a ,

(-ir+i

(^in»--(-^i)— }

*+^(*ir

Hh

144 C H. I. Du C A L C U Ts

en réduisant et changeant Tarbitratre b en i^. Tirant ensuite de

cette expression la valeur de Ay pourla comparer à Téquation aj*=i:*,

s fin de déterminer Tunedesarbitraires^ on trouvera Ay= — 15( — 1)%

d'où on déduira J5==b — ; on aura donc pour Téqualion propo-

sce Ay*=c* les quatre intégrales suivantes ,

>'x,a=^^+^ (0> J'xja = — ^^ + ^*-*(*)

Voilà ce que Monge a voit trouvé y et Biot a fait voir ensuite que y

e si , au lieu de prendre simplement J9 ==b — , on supposoit

B =^dtz — ( — I y, en désignant par « Tabscisse qui répond à l'oti-

gine , que Ton fit varier x de manière que x — et fût toujours un nombre entier, c'est-à-dire, que ( — i )'('""*)=+ 1 , les deux intégrales indirectes devenant

donneroient pour les abscisses

*5 «+i, *+i^ «e+3,*etc.

des ordonnées communes aux droites qui résultent des intégrdes directes 9 lorsqu'on détermine les arbitraires tf et ^ par la condi* tion que la valeur de ^«, « de Téquation (i) soit égale à celle de^,, ^ de réquation (4), quand x=^a^ ou que dans la même hypothèse y^^m^ pris dans Téquation (2) , soit égal à^jr> » » pris dans l'équation (3). ioo9« Pour appliquer commodément le procédé de Mange à l'équation du n% 1007,

dans laquelle a jt = jt , Biot la cHange en

y = Px—P\

en faisant P = — ; et prenant la différence , il obtient

A^ = PAJf + «AP+ aPaa: — xPù.P — A/>%

DES DirràRESCBS^ 145

ce qui se réduit à ^

en mettant pour a^y sa valeur P >r , et en observant que Lxs=^x.

Le premier facteur aP=: o ^ étant intégré donne Ps — = ^ qu

Ay=^ji; ^ valeur qui substituée dans Véquation proposée aux différences, conduit immédiatement à l'intégrale directe j«^=tfjc — a\

Le second facteur xP + aP=i ar, peut être écrit ainsi Py + P=ijc, En y appliquant le procédé du n*. 988 , on a d abord à intégrer l'équation x^^=z%x^^ puisque Jir,:=2af , et on parvient à x,=2*; puis en opérant sur Téquation

on trouve

mais de P.=^ = ^ , il résulte

Aj^.=-(-.i)'{c.i'-i(-4r}=-<^-i)'+ï(4)', ■ .

d'ofa l'on déduit

remettant pour ^ sa valeur — tirée de l'équation Xj,=:i' , on aura

Cette équation contenant deux arbitraires , il s'en trouve une de surabondante qu'il faut déterminer , en substituant cette valeur àty,

dans l'équation aux différences ^ y:=i Ly ^^ qui se réduit alors

à C'= — — ( — i)^^> et Ton a par conséquent

246 C H. T. D 1/ Calcul

résultat qui devient identique à celui du n"*. 1007 , en prenant

loto. L'analogie des nouvelles intégrales que nous venons de trouver pour les équations aux différences , avec les solutions particulières des équations différentielles est frappante : les unes et les autr^ s'obtiennent, soit en Elisant varier la constante arbitraire dans rintégrale complète , soit en diflSrentiant de nouveau l'équation auic différences dans un cas et Tiquation diâërentielle dans 1 autre; mais malgré ces diverses conformités , les solutions particulières des équations différentielles ont, dans l'absence de la constante arbitraire , un caractère distinctif , auquel il faut bien faire attention pour éviter Terreur dans laquelle Charles 9 Géomètre mort il y a quelques années , est tombé , et qui Ta conduit aux plus étranges paradoxes relativement au Calcul intégral. Il remarqua le premier , dans le tome X 9 des Savans étrangers , la pluralité d'intégrales dont pouvoit être susceptible une équation aux différences ; mais il crut dans la suite ( Mem. de tAcad. annt!e 1788 ) en pouvoir conclure les so« lutions particulières des équations différentielles correspondantes , en faisant seulement i2kx-r=:o , pour répondre à la supposition de dx infiniment petit; « par ce moyen, dit*il, on obtiendra des so« ^ lutions particulières plus générales que celles qui sont connues M jusqu'à présent , et l'on en pourra déduire , comme un cas par* » ticulier , la solution particulière ordinaire , dans tout ceci on sup- » pose Lx constante h. Charles appuie cette assertion sur le raisonnement suivant l'équation aux différences: «< Téquation aux diffévi rences infiniment petites ( c'est-à-dire , Téquation différentielle ) t» est la limite de l'équation aux différences finies correspondantes ; M donc la solution particulière de l'équation aux différences infi- » niment petites est ce que devient l'intégrale nouvelle de l'équation H aux différences finies , quand on fait dans cette intégrale Axs=:o >»«

Il est bien vrai qu'en faisant ^xz=.Oy Ay=o, dans une équation aux différences , on en tire Téquation différentielle qui en est la limite ; parce que dans cette hypothèse on supprime tous les termes qui ne sont pas homogènes ta lx^ ày {^ n"*. 65 ); mais on ne $auroit en conclure que les équations primitives correspondantes à

DES DlFFÉJtEirCES. I47

fune et à l'autre de ces équations soient liées eiltr*eUes de la même manière ; car $i on tire les équations {W)à\x n"*. 1006 ^y^x, «=^4:, , é^ et J^,o«,= f(*o^«)i on aura f(*,,tf.)— f{^,, tf) = o, résultat qui prendra la forme ùa{^{x,^a^àa)=o lorsqu'on le développera après y avoir changé a,tn a+àai il donnera d'abord Aa=^o^ ou a^=consi. valeur qui ne conduit qu'à l'intégrale directe. Il reste à traiter l'cquation f,(x+Ajr, a^ Aa) = o^ laquelle demeure encore susceptibfl^ d'une véritable intégration j mais si om y fait a jt et a a infiniment petits ^ elle se transforme en une équation primitive » et ne donne plus qu'une valeur particulière pour a. Lors donc que Ton veut passer de la nouvelle intégrale de l'équation aux différences, à la solution particulière de l'équation différentielle, il faut faire disparoitre la constante , sans néanmoins lui assigner aucune valeur particulière 9 ce qui ne se peut qu'en revenant aux différences et en effectuant ensuite sur le risjultat le passage des différences aux différentielles»

En prenant une marche contraire, Charles obtenoit une équation primitive qui ne pouvoit pas satisfaire à l'équation différentielle , et po«r parer à cet inconvénient , il introduisoit dans l'intégrale de réquation aux différences un terme affecté ' des différences , qui devenait une différentielle du premier ordre et détruisoit ainsi l'ho^ mo^éité qui fait la base du Calcul diffifrentiel ; cette conséqaence auroit suffi seule pour montrer rerreur dans laquelle il étoit tombé s mais il y en ajoutoit une autre qui n'étoit pas moins paradoxale. Cest que tous les polygones inscrits à une même courbe ne se con* fondent pas avec elle quand on suppose le nombre de leurs côtet infinies et qu'il y a un choix à £iire entre ces polygones pour tomber s\ir celui dont la limite conduise à l'expression de Hnclinaison de la tangente. .^

* 1011. Nous avons fait voir (n^ 894 ), que les fonctions de De Tintlgratioa deux variables cngendroient des séries formant des ubles à double différenTelTtro^ entrée ; un terme quelconque de ces séries peut être exprimé par ^^ ^ ?° P^"* 8^^"^

• t jij if\« ji . ..ym nombre de vawa-

^ceux qm le précèdent^ et de là naissent ta équations aux difflrencts blés. partielles.

Soit y^,t une fonction quelconque des deux variables x et / ;

248 Ch. I. Du Calcul

on en déduira par les variations de ;r et de / la table suivante \ trouble entrée ,

j^wjo» yt>o> y%% fi ^ y^^ fi y* « © % y«+i » © > etc.

yo9oy yi9i9 y%9if y\9i j^r^i» «Xx^-t^iy ^tc.

yo9^j yi9%j ya>.> ^î»» y^y^^ ^*+oâi etc.

j'oM» J'iJî» y^*i9 y\9i ya:j^f j^x+iM» etc.

^oj#f yiytf' J^.io ^3>i •J'x,^, J'x+oo etc.

. ^'o » /+i > y I » i+i * J'» » «+1 9 «Xî > *4-i • • • 'J^* > i+i j y*+i » «+I f etc. etc. etc. etc.. etc etc. etc. etc.

- Supposons que la loi de cette série soit exprimée par Téquation du premier degré

^y,9*+^yx^i9i+^yT^*9i +^j'x4.»jf

+cy.yf^ +^y.^^.y

dans laquelle les coefficiens A,B,B\C^ C, C\...N^ N\ etc. sont constans ^ elle sera formée sur le modèle de celles que nous avons nommées récurrentes ( n^ 98 3 ) , et nous Ten distinguerons en l'appelant , avec Lagrange , séries récurrentes doubles.

1012. Occupons*nous d'abord du cas oii l'équation proposée n'ayant que quatre termes ^ est de la forme

faisons j', , 1= tf *'^', « et i8 étant des constantes indéterminées^ nous aurons

en substituant les valeurs dans l'équation proposée , nous obtiendrons

A^BtL + B'&^Ca(^ = o.

Cette équation donne la valeur de l'une des deux indéterminées a et fi,

par le moyen de l'autre ; on en tire ;3 = -p. -~ — d^îi l'oa

conclut ^„ .=« « (^-^ ^r;:^) ,

expression

DES Différences. 149

expression dans laquelle la quantité et demeure entièrement arbitraire , aussi bien que a , mais qui n'est pas la plus générale de celles qui satisfont à Téquatîon proposée.

Si Ton réduit en série descendante , ordonnée suivant les puis-

sances de * , la quantité ^— b'+Ca) * ^" ^^^^^ ^^'^" ^' (^ ji±I±^ = 7*^*'+ Taf'-' + T V-+ T'^a,^'-' + etc.

les coéfficiens T, T', T'', etc. contenant avec les lettres À, B , B\ C'y la variable/, l'expression dej^,,^ prendra alors la forme y, , ,= Ta cl'^^' + Ta a*^^'"' + T'a *'+'*'-• + T^'a a'^^'"^ + etc.

changeant successivement les constantes a ti a^ en £ et )8 , en € et 7 9 etc. on auroit aussi

y^, ,'=.lcy'^^^ArTcy^^^-^^Tcy^^'--Jc T'cy'^^'''-^ etc.

etc.

ces diverses valeurs satisfaisant en particulier à l'équation proposée ^ qui n'est que du premier degré ^ leur somme y satisfera pareîllcr ment, et Ton pourra prendre

y,,i^T {^aa^^^ +*i8^^' ^cy^^' + etc) + r (tfct^'*'-' + *i8^^'-*+^7.^'*'-'+ etc.)

+ T (^*'+^'--+i^*+^'-*+c7'*^'*'--+ etc. ) + r>a'*'*'-^ + *i3'-*-'*'-^+c>*+'*'-'+ etc.) etc.

Chacune des lignes de cette expression , qui contient un nombre indéfini de constantes arbitraires , peut être remplacée par une fonc* tion arbitraire de l'exposant variable dont ses termes sont affectés , tX l'on obtient alors

y,M=rK*+^0 + r>(^+/^^— 0 + 7"'f(a;+f^/— 2)+etc. en désignant par f cette fonction arbitraire.

JPour se convaincre de la possibilité de substituer une fonction vbitraire à la place des séries

asC^^' +bfi'^f*' +cy'^^' +etc.

etc.

appendice. I i

150 Ch. I. Du Calcul

îl suffit d'observer que l'expression de j',, , ne satisfait à l'équation proposée , indépendamment de toute valeur particulière des quantités et , /S , > 9 etc. que parce que les termes oh ces quantités se trou» vent affectées des mêmes exposans , après la substitution des valeurs

de ^,,0 J',,t4-. > J^x+«,o j^r+ot4., , se détruisent mutuellement d'après la forme des coefficiens T ^ T\ T'\ etc. car il est visible que ces conditions seront également remplies par la fonction 9 , puisque les termes affectés des mêmes exposans dans le premier cas se trouveront multipliés par une même fonction dans le second ^ et se détruiront de même indépendamment de la forme de cette fonction» Quand on a r = o , l'expression de^,, ^ devient d'abord

y,y.=T^{x) + T>(:c— i) + r^K*— 0+ ^'K*— 3)+ etc. et se réduit à y^^^^=i^{x)y parce que dans ce cas

r=i, r=o, r'=o, t''=o, etc.

d'où l'on voit que ^{x) n'est autre que la valeur àt y^^^^ lorsqu'on y fait /=o , que l'on doit avoir en général p{x + ^)=^y ^^^^ i • » et que par conséquent

yx y <= TïT^Mn c + T'y^^i^, , ^ + T'y,^^^ , ^ + etc. Les quantités ^,4^, « , J'x-m»/-, » • , yx^Mt^M 1 o , ne sont autre chose que les termes pris à partir de l'indice x+fju ^ et en revenant vers rindice o ^ dans la première ligne horizontale de la série à double entrée , correspondante à l'équation proposée. Il suit de là que la détermination de la fonction arbitraire suppose que l'on connoisse tous les termes qui forment cette première ligne, et qu'il faut même pouvoir la continuer en arrière , c'est-à-dire , l'étendre aux indices négatifs — 1 , -^1, —3 , etc. La valeur dej^,,^ se trouvera formée ainsi d'un nombre infini de termes; mais elle n'en contiendroit qu*un nombre fini , si tous ceux qui répondent aux indices négatifs devenoient nuls , comme cela arrive dans quelques séries , et l'on auroit seulement

La même expression se termineroit encore si l'on a voit if'=o, ou C'=o; car dans l'un et Tautre cas, le développement de la

quantité — (-^7 — 7^7~) n'aura qu'un nombre /+ 1 de termes , tant

\ ^ -f- C et /

que / sera un nombre entier positif.

DES Différences. îji

1013. Prenons pour exemple la série récurrente double

I* I» ïf I> I» «

etc.

dont chaque tergie se forme en prenant la somme de celui qui le précède dans la ligne horizontale oii il se trouve placé 9 et de celui qui précède ce dernier dans la colonne verticale: le terme 10 ^ par exemple 9 placé à la troisième ligne dans la sixième colonne, est égal à 6 qui le précède plus à 4 qui se trouve au-dessus de 6. Cette propriété donne évidemment Téquation

j'^+i > tf 1 ^^^ y* » M-i T y* > < •

en la rapportant à l'équation dont nous nous sommes occupés dans le n"*. précédent , nous aurons

la quantité (^— n'^C ) ^^^^^^^^ { ^ \ ' "°^^ donnera la série

«-'+ - *-'- +-i i *-'-•+ -^ il-J i «"'-»+ etc.

et comparant cette série avec la série correspondante du n*. dté » il en résultera

,, r=i, r'=iil±l2

f*= — Il ^ = i> -« =-f i =— = ^, etc.

à Taide de ces valeurs , la formule générale de ce n"". se change en

>',M=y*-o«+ 7>'r-«-«>.+ — — — J^x-i.i,* + etc Faisons à présent a: = 0 9 pour avoir

j^o, *=J'-i, 0+ -J^-i-, , 0+ — J'-t-.j •+ etc.

et en observant que tous les termes de la première colonne verticale

25Î Cn. hDi/CALcuz

de la série proposée sont nuls , à Texception du premier^ nous en conclurons que l'expression de ^'o m doit être nulle pour toutes les valeurs entières et positives de /, condition de laquelle il résulte

y-i » o= o., y^^ , ^= o ,. . . .y^sjo— o f s désignant un nombre entier positif. La série qui exprime j^,,, devient donc finie pour le cas qui nous occupe > et nous aurons seulement

mais comme tous les termes de la première ligne de la série proposée sont égaux à Tunité , nous pourrons écrire

tt, en sommant le second membre ,

(^+ i)(^+2)(r+3),...jf "' i.2.3...,(x — e)

Nous ferons remarquer que la série proposée renferme le trîangU arithmétique de Pascal , dans lequel chaque colonne verticale donne les coefEciens numériques des termes de la puissance du binôme ayant pour exposant le nombre qui marque le rang de la colonne , diminué de l'unité.

1014. Discutons en particulier les cas oîi Ton a C"=Oy ou bien B'=o , et dans lesquels l'expression de j^, , , s'arrête ( n®. i o 1 2 ) .

i*. Lorsque C"= o, l'équation proposée qui devient

n'est plus que du premier ordre ; et si pour abréger ^ on fait

— ■g7=/'> •j = y,on trouvera

développant et comparant à la série générale ^ on obtiendra

H=2, T=p\ r=.-p'ù r= \ / p'q\ etc.

DES Différences. 153

d^oii on déduira

Cette expression^ évidemment finie lorsque r est un nombre entier positif, ne contient que des termes de la forme Xio> ^ désignant un nombre entier positif.

i\ Lorsque -B'=o , Téquatîon proposée réduite à

est encore du second ordre; faisant *^ — '=p^ "^^f 1 ^^^us aurons

tirant de là les valeurs des lettres >> T, T, T\ etc. nous arriverons à y, i t—p'{y.* o+-Vj'»-i » 0+ — -- — î*7,-o .+ etc. ) ,

expression qui demeure finie tant que t est un|nombre entier positif,, mais qui renferme un nombre limité de termes de la forme y^^^ ^ , lorsque ^>^; il ne suffit donc pas dans ce cas, comme pour le précédent , de connoître tous les termes de la première ligne de la proposée , correspondans à des indices positifs , il faut encore pou* Toir prolonger cette ligne en arrière pour obtenir ceux qui répondent aux indices négatifs ; savoir , >', , . ^ ^'-t 5 o • • • •>'-(«-*)>••

Si pourtant on ne connoissoit pas immédiatement ces derniers termes , on pourroit les déduire de ceux de la première colonne verticale ainsi qu'il suit : on prendroit x=:o , et donnant successivement à t les valeurs x 9 1 ^ 3 9 etc. on auroit

yc9^=p{yoJo+^9y^t'^o+3fy^^,o+q'y^^~Jo)f

etc.

y.$i—Ayo7 •+ 7 iy^if.+ ' {'Z' î'J^-^i •+ etc. ) ,

154 ^H. î. Du Calcul

d'où on tireroit

L'analogie de ces expressions avec les formules des différences successives ( n*. 860 ) est frappante ; et si on représente par

les termes de la série

III I

J^«|o> ""yi^o» ^yt9o9 "T.J^P»> ^^^* "TJ^»)»> 9 19 9

et par

r, r, r', T-', etc.

ceux de la série

, yofo9 rJ^»>i> "tJ^omï ■:t^om> ^^^*

on aura par ce qui précède

etc.

d'où Ton conclura

+ — 77^7^— n-,+etc.},

en observant de 'remplacer dans la série du second membre , les termes affectés d'indices négatifs , par des différences dont l'exposant soit égal à cet indice ^ cest-à-dirô> de substituer aT à Y,.

DES Différences. 255

1015. La méthode du n*« lOiipeut s'appliquer aux équations de tous les ordres ^ comprises dans la formule générale du h*. 10 1 1. En y faisant , comme pour celles du second ordre dont nous nous sommes occupés , j^„,= tf a'/3', elle devient

+ C'(^\ . . . + JVV-iS* }=o... (i) ;

mais cette dernière ne pouvant donner en général la valeur de i3 en « que par une série infinie » ne fournira non plus , pour exprimer j^,,,, qu'une série infinie. Il s'offre , à la vérité , un assez grand nombre de cas particuliers , dans lesquels on peut exprimer d'une manière rationnelle et sans dénominateur complexe les quantités « et jS par le moyen d'une nouvelle indéterminée ^ : l'équation

j4+Ba+C «t* ^ + B'fi+Ccifi > =0,

dérivée de l'équation complète du second ordre

est dans un de ces cas ; mais au lieu de nous y arrêter , nous allons exposer la méthode qui convient à tous les cas. en général.

Cette méthode est fondée sur ce que l'expression de y ne contient que/3'^ et que t étant >;z^ il est toujours possible , au moyen de l'équation ( i ) , d'exprimer jS' par a et par les puissances de $ inférieures à j6". En effet, puisque Ton aura /=:/77/z+/'5/ï désignant un nombre entier quelconque , et /^ un nombre entier moindre que n, on pourra donc écrire j8'=(i8")'".iS''; on prendra la valeur de jS"" dans Téquation (i) ^ pour l'élever à la puissance de m et la multiplier ensuite par g^^y puis^ toujours avec le secours de Téqua* tion (1)9 on éliminera successivement du résultat toutes les puissances de j8 , égales ou supérieures à (S". On conçoit facilement

Z^S C H. I. De/ C A L c u t

que le résultat de cette opération doit être de la forme

les coefficiens T, r'....r, , T', , etc. étant des fonctions rationnelles de r» et des coefficiens A^B^ etc. de Téquation (i).

On obtiendra d'abord une valeur particulière de y^^^ty en muiti* pliant cette expression de f! par 4 a' ^ et changeant les constantes arbitraires at\ <Ly ainsi qu'on l'a fait dans le n\ 1012 , on formera une suite de valeurs particulières de y^^ty dont la somme satisfera encore à l'équation proposée , parce qu'elle est du premier degré ; enfin y les considérations du n"** cité , étant applicables au cas actuel ^ permettront de changer en

Tf(.v), rf(A:+i), TY(;^+i), etc, Içs termes de la première ligne ,

T*% •TV+^, TV+%etc.

en r.f.Gr), r.f.(x+i), r.f,(:t-+2), etç,

les termes de la seconde ligne »

r,et'/3, . r,(t-*-'ia, rv"*"*^, etc.

etc.

en désignant par f(x), f,(Ar), f,(A:) , etc. des fonctions arbitraires de .r y indépendantes les unes des autres. Le nombre de ces fonction^ sera évidemment égal an, car la dernière ligne

fournira les termes

el

DES Différences, ij7

et l'on aura

y.„=Tf(*)+rf(* + i)+rf(x+i)+r'f(*+3)

+rC)f(Ar+/)

+ T-f^O^^^C*) 4.rJ^yV„,(A;+^-n+i).

La détermination de ces fonctions arbitraires s'opère au moyen clés n premiers rangs horizontaux de la table du n% loii ^ c'est-àdire , en supposant que Ton connoisse les valeurs de

quelle que soit celle de x\ car il est visible que l'expression de ff devant se réduire successivement à i , jd ^ ^3% /3^, etc. il en résulte que dans ces hypothèses , lorsqu'on y fait / = o ,=i , =i , etc.

r=i, r=o, r=o, r'"=o,etc,

r.=i , T\=o , T\ =0 , r^=o , etc.

r,= I , r'.=o , r''. =o , t\ =o , etc.

etc.' et que l'expression générale de y, , , donne p3r conséquent

. ^r»o=f(^)> J^x>«=fi(^), -y^f«=?f.(;^), etc. . d'oïl l'on conclura

y9u'=T^y'^^+'^' y'-^^^^^^'^' y^'^^'^c'^'^^'yT^^^o^^^'+T^'^yr^n.

I o 1 6. On peut aussi parvenir à déterminer^, , f par la connoissance des m premiers rangs horizontaux et des n-. — m premières colonnes verticales de la table du n"". loi i ; c'est-à-dire , lorsque les valeurs de

Appendice. K*k

2^8 Ck, ï. Du Calcul

seront données aussi bien que celles de

En faisant toujours ^,,,=tf£t'i3', ce qui conduit à réqitation (i), on peut tirer de certe dernière la valeur du produit «"""iS", au lieu de celle de jd" , pour la substituer dans l'expression «'j3'^ décomposée en ( A""""/S"yA')0', afin d'en éliminer tous les termes affectés da produit de «"'"jS"*, Ou des puissances de ce produit , et qu'il n'y reste plus .par conséquent que des termes dans lesquels les exposans de « soient moindres que n — m^ lorsque celui de fi est égal à n, ou surpasse n^ et des termes où l'exposant de « étant n — m ^ ou surpassant Vf^m^ celui de jS soit toujours moindre que n. Il est facile de voir quecette équation doit donner un résultat de la forme *V=^ +^ * +f'' *• +f^'^0**H

+ ^«+a/î"+*+ ^«+.«/P^ + v^w^^^tr-^. • . + f' !*?*"* *""^"i*

dans laquelle les lettres V^ V*^ etc. f^, , f^, , etc. désignent des fonctions rationnelles de t et des coefficiens de l'équation (i).

Il suit de la théorie des fonctions symétriques des racines des équations , que les différens termes de l'expression précédente soot absolument irréductibles^ parce que le terme «"^"/a* ne s'y trouvant plus j toutes les autres puissances et produits des lettres « et ii renferment nécessairement des quantités irrationnelles distinctes et irré-^ ductibles entr'elles. Si donc on subtitue , dans l'équation jMroposée aux différences , la valeur de j^,| t, déduite de cette expression > il iaudra que tous les termes affectés des mêmes puissances de « et de |l

DES Différences. 259

se détruisent séparément , ce qui arriveroit encore si Ton remplaçoit chaque produit de la forme a' fi' par une fonction quelconque de r et de s. Au moyen de cette remarque , nous obtiendrons , pour la valeur complète de y^t^, l'expression suivante:

+^(-.)f(o,«) +f"^ fo,») +r'-. f(*,'«)

+^j^[^'^(«— w—ijw+i)

+ ^Jj7~' ^("""^ — I » "» + 1)

Il nous reste à déterminer la fonction f, ce que nous effectuerons en faisant successivement

/ = o, =lf =:^f =3 , etc....(/w — l), puis x=o,- =if =^> = 3 , ctc.#*«(/z — m — i),

indices qui répQndent aux valeurs données de ^^ , f ; nous connoîtrons pour chacune de ces hypothèses les coefficiens ^, y^ etc. en examinant ce que devient alors le produit a'^'. Lorsque e=o^ ce produit se réduisant à «% il ne doit rester dans son développement

que le seul terme f^W^t* ; l'on doit donc avoir f^')=i, et tous les

autres coefficiens deviennent nécessatrement nuls dans cette hypothèse.

Kk 1

i6o Ch,I. Du Calcul

Quand x=i , il vient V^ff^ ce qui donne V'{=\ , et les autres coefficiens nuls.

En général lorsque x^n^^m — i , on a

et tous les autres coefficiens nuls.

En établissant les mêmes hypothèses , et leurs conséquences j dans l'expression générale àty^^^y on reconnoît que

quel que soit x, et ensuite que

quel que soit r.

On aura par ce moyen

+ ^» y.ym +'"» ^..» +^" J.»

(n— m— i) • ^ ^ J'l|.lll.t 9 ■»4-t

DES Différences. i6i

1017. Le moyen que nous avons indiqué dans le n"". 1015 , pour obtenir l'expression de j8', peut suffire pour chaque cas particulier ; mais cependant il ne sera pas inutile d'en exposer un autre d'après lequel on puisse construire des formules générales ; pour cela prenons

'jf , -^g , . • • ^n^i f désignant des polynômes en <t , le premier du degré t , le second du degré r— i , ainsi de suite , jusqu'à -^„, , dans lequel a ne doit monter qu'au premier degré. Représentons par 0', fi\ ^"'y etc. les diverses racines de l'équation (i) , nous aurons ces équations

etc.

dont le nombre sera suffisant pour déterminer les polynômes AjA^j A^y etc. il ne restera plus qu'à mettre pour fi\ fi\ etc. leurs expressions en a ; mais l'équation (2) devant être identique , indépendamment d'aucune valeur particulière de et^ il suffira d'y substituer pour fi une expression en série ascendante suivant les puissances de « ; et par conséquent on n'aura qu'à chercher par de pareilles séries les valeurs des racines fi' y fi" y etc. pour les substituer dans les valeurs àt A y A^^ A^^ etc. en observant de les pousser jusqu'à la puissance r de et dans le premier polynôme A^kh puis« sance r — i dans A^ , et ainsi de suite , jusqu'à Aj^^ ^ ou l'on pouira s'arrêter à la première puissance de <t.

Il n'est besoin de déterminer par cette méthode que le premier terme de chacun des polynômes A ^ A^^ A^^ etc. parce qu'on peut trouver la relation que les autres ont entr'eux à l'aide de la difFéren* tiation relative à a, comme dans le n*". 98. L'équation (1) donne successivement

t\fi = \{A+A,fi+j1J\ . . . + A^^,fi^'-'] tdfi dJ+fidA, + fi'JA^ + etc. + (^A^ + iAj+lA^fi'+ etc.) J fi

i6i C H. I. Du Calcul

on éliminera de cette dernière dfi ^ à Taide de la différentielle !moié« diate de l'équation (i) ; on fera disparoître les dénominateurs du résultat que Ton ordonnera par rapport aux puiâances de jB et de « , et dont on chassera , au moyen de Téquation (i) » les puissances de /S ^ dont l'exposant est égal k n, on surpasse ce nombre : égalant ensuite à zéro les coefficiens de chaque puissance de jd^ on aura ;z— i , équations différentielles du premier ordre entre « et les polynômes A^ A,y A^y etc. Ces polynômes étant mis sous la forme

^.=r,+r.*+r\ct* +r v-»

etc.

on en prendra les différentielles par rapport à « , et substituant dans les équations différentielles dont on vient de parler, la compasraison des termes affectés des mêmes puissances de a ^ fera connoître les relations qu'ont entr'eux les coefficiens T, T\ T',. . • T, , T\ , etc.

Il ne sera pas difficile de trouver , d'après ces indications , des méthodes applicables à la détermination des coefficiens y, V\ V\. ..y,, ^, ,etc. du n\ 1016. Si Ton prend la différentielle du logarithme de chaque membre de l'équation ct*j8'==:f^+etc. de ce n%, que l'on chasse dfi du résultat, au moyen de Téquatîon (i) différentiée , enfin- qu'on élimine le produit a^'^flT et ses multiples , on obtiendra une dernière équation , dont chaque terme égalé séparément à zéro , fera connoître les relations des coefficiens

y y y\ y\^'^y., ^.,etc.

1018. Nous allons parcourir l'es diverses remarques queLagrangea faites sur les méthodes que nous venons d'exposer et dont il a enrichi l'analyse. 11 est d'abord évident que l'on peut obtenir pour j^, , , autant d'expressions différentes qu'il y a de termes , dans la dernière colonne de l'équation proposée aux différences , en éliminant successivement du développement de «'iô' , chacun des produits en ^e et ^, qui affectent la dernière colonne de l'équation (i).

Lorsque l'équation (i) peut se décomposer en facteurs rationnels

DES Différences. 263

on considère séparément ces divers facteurs , pour arriver à Texpres* sion de y,,i qu'ils donnent chacun en particulier , expressions qui sont autant de valeurs particulières de j^^^ 1 et dont la somme fournit la valeur complète cherchée.

Pour éclaircir ce fait analytique , supposons queTéquatîon (i) soit le produit de deux facteurs rationnels , Tun du degré p , l'autre du degré q ; nous allons montrer qu'en désignant par

+ C'.i8* j +CV J

ces facteurs , l'équation proposée aux différences sera satisfaite separement par les deux équations

+ ^'.r*»«+* etc. J

Tune de Tordre p et l'autre de l'ordre q ; et que par conséquent si Ton représente par y^yt^ la valeur complète tirée de la première ^ et par^', , , celle que donne la seconde , on aura y^ , t=y'x 9 1 + j^', , ^ Cette dernière expression sera complète , car elle renfermera p-^q fonctions arbitraires : savoir ^ p provenant de la valeur de y, , o ef ^ de la valeur de^^,!.

Pour parvenir à la proposition précédente, nous allons chercher quelle doit être l'équation de l'ordre p qui satisfait à l'équation pro* posée. En représentant la première par

a>„,+bj^^,,,+cj^^,, +ky,+^,,

164 C H. I. De/ Calcul

et faisant successivement varier jc et / , pour obtenir les consécu* tives j nous en déduirons

i'..,,a>',^,,,+l>y,+t,* +cy,^5M + etc. aj^,,^., + bj^,^,,^., +cy,^,^, + etc.

^•..••ajWai/ +b><

+ai/ -r^J'^+n' + etc. |==Q

ay,5f+t +b^r+tie+. +.etc. \~o +b>„^., J

etc.

maintenant si nous multiplions respectivement chacune de ces équations par les coefiîciens indéterminés P , (^ , Q', ^ * ^^ ^j etc. que nous ajoutions les résultats , nous aurons

a/^v.i + (bP+aQ)j^,^,,,+ • (c P + b Q +a/î )j^,+.„ +etc + (b'P+aQOrx,i^, + (c'P+ b'Q+b Q'+a/f')>',^.,^,

comparant ce résultat avec la proposée , nous aurons

zP=zA, bP+aQ=:5, c P +bQ +a^ =C, etc.

b'P+a (>'=£', c'?+b'Q +bQ' +a/î' =C'

équations qui sont précisément celles que l'on obtiendroit en multipliant l'un par l'autre les facteurs

a + bcc + c«* + etc.

+ b'i8 + c' «i3 P+Q «+/?«• + etc.

et en comparant le produit avec l'équation (i),

DES DîPF^ÈRENCEt. *l6\

II est facile de poursuivre le calcul que nous venons d-indiquer et même de le débarrasser de toute induction , et de voir en même tems qu'on en peut faire un semblable sur les équations aux différences contenant deux variables et aussi sur les équations différentielles» Il en résulte bien évidemment que l'équation aux différences , correspondante à chacun des facteurs de l'équation (i), satisfait à la proposée.

Lors donc qu'on aura décomposé l'équation (i) en deux facteurs ^ l'un du degré p , l'autre du degré q , et qu'on sera parvenu aux ex« pressions complètes dey^, ^ et dey,, « , on en déterminera les fonc* tions arbitraires en supposant données les valeurs

yxj*; y**.> e^c. yco y.>o etc.

y^jo ys.if etc. y„„ y,,,, etc.

Pour passer ensuite de ces valeurs à celles de

yxy o ysf I > e^<^- • •jKoM f JKi w f etc. il ne s'agira plus que de combiner les équations aux différences «y„oy*/f> avecréquation^,,,=y„,+y,,,, afin d'en tirer par l'élimination , les expressions des fonctions y,,, ^^y'^^jty au moyen de la fonction ^, n et de ses différences ou de st% valeurs consécutives.

1019. Si l'équation (i)se décomposoit en facteurs qui fussent des puissances parfaites d'autres facteurs , l'expression y^yt^ obtenue d'après les remarques précédentes ^ ne seroit plus complète. Si Ton avoit y par exemple , n''=o , ce qui donneroit m facteurs égaux à n=o y on ne déduiroit de chacun d'eux que la même équation aux différences , et par conséquent que la même intégrale ; mais il faut observer que l'équation aux différences , correspondante à n"*=p , admet , outre la solution y^ , f'=*'/3', les suivantes ,

^xfi^**'"'/^', j^„,= :t(x— I )*'-*^',...etc. ou celles-ci

^„ ,= xf$r'^\ ^xw=^^*'"'/8''"S* • -etc. ou enfin celles-ci

y.yi=^t *'5^-, ^o 1= ^ ( ^ — O *'^'"% etc. Appîndiu. . L 1

i66. Ch. !• Du Calcul

qui se tirent de la première en prenant, jusqu^à Tordre /n — i incUi« sivementy ses différentielles , soit par rapport à a. , soit par rapport à fi , et en faisant même succéder ces dlfférentiations les unes aux autres dans tel ordre qu'on voudra. Ceci est fondé sur des raisonnemens analogues à ceux du n"". 648 , d'après lesquels on substitue ^ au lieu des valeurs de & ou de jd qui sont égales , d'autres valeurs très-peu différentes entr'elles.

Connoissant un nombre «^ de valeurs particulières dti^,,i, on en aura une plus générale en prenant la somme des produits de ce» valeurs par des constantes arbitraires différentes ; et il viendra

mais pour arriver à l'expression complète, il faudra substituer

aux produits

a A fi y att fi j a €L ^fi y etc. des fonctions

/xîo ^x-iw» /'x-«»f> etc.

on aura amsi

J'x,«=y,M+^/,-o !+*(*— ï )yx-.w+ etc.

en observant que les fonctions y, ,# , y,,*, y"'x9ij etc. doivent satisfaire à l'équation aux différences , correspondante à n=o. Les fonctions arbitraires qui entreront dans la composition de celles-ci seront les mêmes ; mais en passant dans les valeurs de ^,,15 elles prendront chacune un indice particulier. Pour les déterminer on se conduira comme dans le n"*. 1016 ; on les exprimera d'abord au moyen des premières valeurs

y^jo» y,,,>etc. y,,i, y,,o etc.

y\j o » y\,xy etc. y\, , , y\,ty etc.

etc.

et l'on introduira ensuite les valeurs

^x>o> j^„,> etc. y.yt3 J'oo etc.

en éliminant les premières , à l'aide de la relation qui existe entre les fonctions ^,,«, y^jS y\uy etc. et des équations en y»)*» y„ 1 2 etc. déduites de n=o.

DES Différences. i6j

Nous n'entrerons pas dans de plus grands détails sur cette matière qui devient très-compliquée ; ce que nous avons dit ^ufHt pour mettre sur la voie les lecteurs intelligens qui auront présentes à Tesprit les diverses remarques semées dans cet ouvrage. Nous passerons aussi sous silence ^ par cette raison ^ la théorie des équations entre plusieurs fonctions , que l'on peut traiter à peu «près comme les équations différentielles du n% 6^6 ^ ou comme les équations aux différences du n*. 996.

1020. On parvient à des résultats analogues pour les équations aux différences , contenant quatre ou un plus grand nombre de variables, qui répondent aux séries récurrentes triples^ quadruples y etc. Pour se former l'idée d\me série récurrente triple , par exemple , il suffit de concevoir une fonction qui varie de trois manières différentes « ou qui renferme trois variables indépendantes ; une semblable série se disposeroit naturellement dans les cases d'un parallélépipède , formeroit alors une table à triple entrée , et si on en désignoit le terme général par y,^ ,^ ^ , l'une des arrêtes contigues à un même angle du parallélépipède ^ seroit la bande des x, l'autre celle des r, et la troisième celle des u.

Nous nous bornerons à traiter l'équation

contenant une fonction dépendante de trois variables ^ et que l'on doit regarder comme étant du troisième ordre , à cause du terme

i^/x+f 5 M-t » «+i- E» y ^^^^^^ ^*- *> » =w«'^V^ et divisant par aa'fi^f après la substitution > il viendra

+ B'fi + C<ty 1=0... (r),

d'où on- tirera > = " ^-^c'^+C^^^+Z?.^ '^ • et Ton aura par conséqitent dans l'expression

Ll 1

i6S C H. I. Du Calcul

pour la fontîon cherchée , une valeur contenant trois arbitraires ^ , et et ^ ; mais cette valeur n'est encore que particulière , et si on donne à celle de y la forme

a fi Afi

en divisant par Afi ^ son numérateur ainsi que son dénominateur; et qu'ensuite on en développe la puissance u^ fa série ordonnée par

rapport aux puissances des quantités - j • - » on obtiendra un rér

A fi

sultat de la forme

y=y +v —^y^ JL+ yL^ etc.

et et flt

+ ^î7?+ etc.

+ etc.

Il n'entrera dans les coefEciens f , ^. . . f , , etc.'que les constantes A , B , etc. et Texposant variable u. Par la substiturîon de cette série le produit ct'i8'>* ne contiendra plus que des termes de la

forme V^ -;-; ; et par un raisonnement semblable a celui du n*. 1016;

on se convaincra que ces termes peuvent être remplacés par d'autres

de la forme V f(r,j), f désignant une fonction arbitraire, ce qui donnera

,, .=f'f(x, r) +r' f(r— I, r) ^V f(x— i, 0 +^'f (at— 3,/) + etc.

+ ^.f(Ar,f— O + ^-'.fCv— r,/— i) + /'V(^— i,r— i)+etc. + ;;f(:f,/— i)-4.r;f (a-— I ,r— 1)+ etc.

+ etc.

DES Différences. i6^

Cette expression peut se traduire en une autre qui ne dépende que des valeurs de

etc.

contenues dans une table à double entrée , qui résulte des seules variations de X et de / , et qui formeroit une des faces de la table parallélépipède ou à triple entrée. En effet , lorsque u=o , on a y"= i , d'oii on conclut F=i . et tous les autres coefficiens sont nuls, il vient donc ^xitic=H^t')* pu>s suivant à cet égard la marche tracée dans les n". loiij 15 et 16, on obtient

j.,,^, „=r^„„, +^^,,,«,. +^"jKx-..«.o +^">^î,«,. + etc. + f^,y„ *,».+ ^',^x. , «-• î o + ^", J',-. ,«,,.+ etc. + ^.J'x» «-. i . + ^'^Tx- »«-.»•+ etc.

+ ^}>„ «}».+ etc.

+ etc.

résultat parfaitement analogue à celui du n*. ion, et ayant aussi inconvénient d'être indéfini , à moins que trois des quatre quan- ' tités B', C'y C\ D , ne s'évanouissent, ou que les valeurs de^,, „ ^, relatives aux indices négatifs ne soient toutes nulles. On pare à cet inconvénient par le moyen d'une méthode absolument^ semblable à celle du n**. I o 1 5 , et sur laquelle nous ne Saurions nous arrêter.

loii. La méthode que nous venons d'exposer suppose que les coefficiens A^ B y C^ etc. de l'équation aux différences soient constans ; Laplace , qui le premier s'est occupé de ce genre d'équa-^ fions , a donné un procédé un peu moins simple , mais aussi à l'aide duquel on peut intégrer une classe assez étendue d'équations à coefficiens variables. U a fait remarquer en premier lieu que l'équation

dans laquelle les deux variables indépendantes décroissent de la même manière , peut se changer en une autre , oîi l'on n'a plus à considérer que la seule variable :r. En eiTet, si l'on prend r=A: — iC, iiC étant une

270 C H. I. Du Calcul

constante , et que Ton mette cette valeur dans les coefficîens V^^iy ^'x> * > '^"x » M etc. ^,,0 que Ton représentera ensuite par ^rj ^'xy ^"x j et »^,, et que Ton change jKxm en «. , on aura

rintégrale de cette nouvelle équation donnera l'expression de ^, , , ,' lorsqu'on y substituera x — t au lieu de IC , et il faudra regarder les arbitraires comme des fonctions de x— -r.

1011. Lorsque les deux variables ne décroissent pas de la mêine manière , les fonctions arbitraires paroissent devoir être affectées du signe d'intégration s. Si l'on a , par exemple ,

yx9 i=yx^i f i+j^x-i > #-i 9

et que l'on fasse d'abord ^,,,=f(.r), il en résulte ^,,,,=f(je—i); prenant ensuite r=i > l'équation proposée devient

yx > .= JKx-i , a -f-^x-. , . y donne y^ , .— j^,., , .— JKx-i , , , d'oh l'on conclut A,j,^.,.= f(x— i), par conséquent A,^,,.= f(jr) et j'^,^=2f(.v) : passant à /=3 , on aura

augmentant l'indice x de l'unité, il viendra

AxJxM=^fW etJ^xM=^*fW- Si Ton continue ainsi , on obtiendra y^ , ,=2'f (at) , formule peu commode y quoiqu'il soit possible d'exprimer le second membre par une suite de termes affectés d*un seul signe d'intégration ( n*. 918 )• xoz 3 .'Considérons à présent l'équation

yx^ t=^xyx^x j .+^'x^x-â, # +^'x^x-3 , <+ etc.

+ 5,yx, *.. + ^>x-, , *-., + ^\yx^.,i^. + etc.qui n'est que du premier ordre par rapport à la variable r , et com* mençons par nous occuper du cas particulier

Vx y i—^xyx^i 9 1 + ^xyx j I-, + C*- Cette équation suppose que a; et r surpassent l'unité. Si nous disons successivement ji;=z , a;=:=3 , nous en tirerons

et de ces dernières nous déduirons une résultante dans lacpielle

DES Différences. 27 i

relatif ïxnt sera que i ou 3 , en éliminant les termes y^ , ,, et y\ , «. Pour nous procurer un nombre suffisant d'équations , nous changerons t en r — i dans {b) , qui deviendra

chassons maintenant des trois équations {a) , {b) , {b') , les quantités ^. » # > y%y t^xj comme des inconnues distinctes ; pour cela , multiplions respectivement par a et i8 les équations {a) et {b') , que nous ajouternos avec (b) et nous aurons ,

égalant à zéro les coefficiens de ^., 1 et dey^, |, , nous obtiendrons

A^-^A-^o ou a=5^, , ajB^ + i3u^5=0 OU fiz=—B^,

d^oh il résultera

Si on désigne par ^(r) la fonction y, i^, évidemment arbitraire, cette équation pourra être traitée comme ne renfermant plus que la seule variable t , puisque les indices relatifs à x sont les mêmes dans tous les termes , ou que tous ces termes seroient placés sur une même ligne horizontale , dans la table à double entrée ^ qui représenteroit la série proposée.

Prenant x=4 , Téquation proposée donne

y^j* =^Ay\9i +^Ay4»«-i + ^î . . • . (O t.

en diminuant Tindice r de i et 1 successivement , on aura

jr^yt-^—Ay^'t-^+^Ayi^t-^+^A {c")i

les équations c , c\ c^, combinées avec l'équation (3 ) , fourniront le moyen d'éliminer y, r « » ^i » «-i > J'j > «. > et d'arriver à une équation <jui ne contienne plus que ^^4 . « , ^4, #. , Xa vî--. » y a » «-? » « la fonction arbitraire^,,!. Cette équation sera

— -^^D^-C^Cx— ^.-5,+^.flj)=o, (4),

27^ C H. \. D u Calcul

en faisant pour abréger

Passons encore à '^'=5 » nous trouverons successivement

équations qui serviront à éliminer ^4 > i , ^4 , #-i > ^^4 j <-• j ^"4 1 »-î ^^ l'équation (4) , et conduiront à

HB.B, + B,B,^B,B^ + B,B, + B,B^^B,B^)y^,,^ ^{B,B,B,^BJ,B^+BJ^B^ + B,B,B^)y^,,^, V=»o(5),

^J^Dr^—qii-^B.^B^^B^+B.B^+B.B^+B^Bj^^B.B^B;)

en faisant

Z?5= — ^^Z?,— QCi-53— 5, +5,5^.

La composition de ces équations est facile à sabir ; et si Ton rc« présente le dernier résultat par

les coefEciens -M,, N^, ^^•••^^f y seront formés d'après la loi déjà bien évidente de ceux que nous avons calculés précédemment. On peut aussi les déduire successivement les uns des autres , ea éliminant

entre l'équation

et les suivantes , dont le nombre doit être égal à x—^i ,

y,it ==^xr.-.»« +5x^x.«-,+C, • '

et

DES DlFFÈRENCSS» I7J

et en comparant la résultante avec Tëquatlon (x) ; car on trouvera

D,^ ^A,D,,^ C,( I — JW,. + JV,.— P,.-+ etc. ) ,

équations qui ne sont que du premier ordre , et qui ne renferment que la seule variable x,

La valeur de^. , ,, tirée de l'équation {x)^ contiendra un nombre x de constantes arbitrûres, qui seront surabondantes , puisque la proposée n'étant que du premier ordre, ne doit avoir dans son intégrale que la fonction arbitraire i{t) , introduite pour^, > i » il faudra donc déterminer ces arbitraires par la substitution de l'expression de ^,, , , dans la proposée et par la comparaison des termes semblables en x, 1014. L'équation générale du n*. précéd. donne d'abord

3'=^îJ'-«+^'î>'-»+^Vj»t-i • • • • ; . . .

+^î>'.»« +^')J'.»«-.+-5', y^it- +iV, ,

+A^««-+^'îy«»«-+^'î^»>*-î • • • • +^\

y^tt.^—^^^y^^t-^+'^'^y^»t^+^'^y^^^-^

+ B^y^yt^^•^B\y„t^^\^B'^y,,ti^^ .... +A^,

etc.

Si on multiplie respectivement la troisième , la quatrième , etc. de ces équations , par A,^^A\^ etc. et qu'on les retranche de la seconde , en écrivant le résultat ainsi :

y\it — ■^\ yvt-x — -^i j'}»*-» — -^ jj'îK-î ; ; I ; : ; —^»[^j» «-.—-'» ^ji«,— ^}rj>t-î . i . . . ]

— ■^»[^}i<-»"~-<^îj'}>*-î . ♦ » « . 3

'+ etc.

. + B\iy^.t,,—A,y„t^ ]

+A^,Ci— ^,— ^. ].

.Appendice, M m

274 C ft. I. D V Calcul'

on reconnoîtra sur le champ la possibilité d'éliminer les quantités

au moyen de Tcquation (1), qui les donnera successivement en yxyty ^i»#-i > yx\ i-ay ^^C- ^^ do parvenir à un résultat de la foune

dans lequel on n'a plus à considérer que la seule variable i, tt qui s'intègre par les méthodes des n** 973 , 979.

La même marche conduira à des équations semblables par rapport ^ y^.t 9 y^ui*»'yxif Les cœfficiens tf, , û',, etc. seront aisés à former par induction ; il n'en sera pas ainsi de la fonction u,^ t> mais on y parvient en déduisant de l'équation

les suivantes

^x yx~\ i t =5***-i yx-i ) «-I + ^x«'»-i yx-x ♦#>••• + ^x^î-x * •

etc.

dont la somme faite membre à membre est -

Kyx-x of^-^'xyx-x , «, + etc.

=*,. [ Kyx-, y »-. + -S'x^x-. >*-» + etc. ] «'«.[ ^xyx.»«-»+ etc.]

+ -ff,».-, , .+ B'a,, , ,, + etc.

Si Ton y substitue pour les quantités

Sxyx-x > t + 5'x>'*^. . *-x + etc.

S,y,-xi*-^+ etc.

leurs valeurs tirées de l'équation proposée ^ on la changera en

y* > * — ^x Xx f t^i—^'xyx »«-»•••• — A^x

=^x-. [jx W-i— ^xj'x» «-9. . . • A^* ]

+ tf 'x-i Ox » ^-*— ^x^'x , *-î • • • • — A^x 1

+^,'^,-0 i+i»>x-i 9 t^i + etc»

DES Différences. 175

et ^n ordonnant les différens termes de cette dernière , par rapport aux valeurs successives de y,>«> On aura

-H (^*x-i ^'x-«-^x ^x-i-^x + -^'x)j'xM-l

4;5,tt,, , ,+ 5',«,, , ,, + etc.

comparant avec Téquation (x) , on en conclura

«,»i=^x«,-.> «+^>*.f «.+ etc.

+ 1(1— <«..— «'x.--«%.— etc. )/^..

Les coefHciens â^ , a^ , a", , ne dépendent que de la seule variable X : il n'en est pas de même de la fonction «, , < ; mais cependant réquation qui la renferme , se traite avec assez de facilité, en observant que quand on prend pour^,,^ une fonction arbitraire àe t, on a aussi «, , ,= f (/) , d'où l'on conclut «.,« =(i-tf-a',— etç.)A^.+5. f(0 +B\ f(r i)+etc.

«„, = C +K Ht) +*'. f(*— i)+etc.

«,.,« = C,, + *..f(0 +*'.f (/,)+ etc.

«,,«-.= . C*-.+*,-.%— 0 +*'*-. f('—i)+ etc.

etc.

Lorsqu'on met les valeurs de u,, , , , u^, , f, , etc. dans l'équation en ««,(, obtenue précédemment, elle devient «, 1 »=( I — tf,-.— fl',^,— etc. ) N,

+ B,b^,m + (5,f .. + .-B'A-.)f (f-i)+ etc.

cToîi , par la compat^on avec la valeur hypothétique de ««, i,.on tire

^'.= 'ffx*'x-. + ^'x*,-.

<^,=(5x+5'.+ etc.)C^.+(i--^,— '..— etc.)iV..

Mm X

xyS' C^ol. Du CâlcuIs

L*intégratîon de ces équations > et Taddition des constantes doii^ neront les valeurs complètes de b^ , b', , etc. C,. Les constantes se détermineront en obser vant que lorsque ;i:=i, on doit avoir «,,,^=f(r), d'oîi il suit (7,r=o , ^,=1 , b\=LO , b\r=zo , etc.

L'intégration de l'équation {x) introduira un nombre x de cons^ tantes arbitraires qui pourront être des fonctions de x ; mais ces fonctions doivent , pour satisfaire à la proposée ^ cesser d'être arbitraires ^ puisque l'intégrale de cette dernière ne doit renfermer d'autre arbitraire que f(r). On les déterminera par la substitution de Vtx^, pression générale de^,, ^ dans l'équation proposée.

1015. Pour appliquer cette méthode à un exemple particulier , cupons-nous de l'équation

qui, lorsqu'on y fait

J^.»<=o, ^.,,=î, ^a,i=o, ^^^,,=0, etc. fournit cette série à double entrée

0 etc»

nous aurons dans cet exemple

^.=1, ^',=0, etc. ^,=0, 5',=i, iî%=a, rtc et les équations du n"*. précédent nous donneront

OU

d'oii nous conclurons

tf,=c+2ïi=c+2;if=c+2£icj^

DES Différences. 277

et seulement tf,«,= 2(Ar — i), en ne faisant commencer Téquation proposée que lorsque Ar=:i. Nous aurons ensuite

et il faudra encore supprimer la constante c\ pour que JV,j=o |

lorsque x^=ii i passant à

et supprimant c'^ nous aurons cette suite de valeurs

.= 2 ^ tf -=— 2 , a ,==2 , etc#

dont la loi est évidente. Il ne nous reste plus que l'équatlôn «, , 1= 2tt,, , I , dans laquelle on doit regarder t com;ne constant. Nous en tirerons «,,^=3^2% et comme /^,,, doit s'évanouir quand jr=i , il faut que >r=o.

Ces divers résultats nous conduisent à Téquation

—Il —ai — î f ")

>„i— 2[o] Hj^„,.,-^2*[o] \x\y,^t^^—z\6\ \x\y,^^^ [

—4 4 + 2^[o]M>^,,,^^— etc.

à laquelle on satisfait en prenant y^^f=zï! ^ la fonction a étant

donnée par l'équation

—1 \^ -2 1 2*' -5 5 2' ^-[o] M 7+[o] M 77— M W Tr+ etc. = 0,

qui n'est autre chose que \\ \ =o,et ne donnant par conséquent

pour A que la seule valeur a=2 , ne mène qu'à une expression particulière de y^'n\ c'est pourquoi nous ferons ^,,,=n,,, 2'. La substitution de cette valeur changera l'équation ci-dessus en

qui revient à A n^^isg ( n% 860 ); mais on satisfait à cette

278 Ch. I. Du C A L C^U L

équation en prenant pour n,, , une fonction qui y par rapport à ^^^ soit rationnelle et entière et du degré x-^i. On, pourra donc (n% 86x ), donnera la fonction n^,, la forme

n.,,=ao] ['-t] + C[o] ^-i] + C".[o] [/-3] + etc.

substituant ensuite daos l'expression de^„ «, puis cette dermère dans réquation proposée , en observant que

etc.

et faisant varier , par rapport à x ,. tes arbitraires C, , C, , etc; il viendra

^ cFfb-^i]+(C+cgToH^

==cJo7[/-^î 4- (C',+C, jrJÎ[r-T] +(cr^,+ C J}[o][ A] + etc.

La comparaison des termes semblables donnera

C^=C^ , C,4- C',=.C',+ C,^, , C+ r,=C%+ C',^, , etc. ce qui se réduit à C, =C-. > C'x=C'x-i > etc.

d*oîi Ton doit conclure C,=tf, C^=c', etc.

^ et c' désignant ici des constantes ; pour déterminer ces dernières » on prendra dans la première ligne de la table de la page 176 , les valeurs de >',„ , j^.,,, etc.

Quand ^=1, on a

[o] [/— i]=i, [o] [/— i]=o, [o] [/— i]=o, etc. d'cii il résulte j,,|= Cl', y,„=ic, et par conséquent c = i;

quand a:=i, il vient y,,, =i'([o] [/—i] +<;'), expression d'oïl l'on tire j^a,,=i«' et c'=o, puisque dans la table j^,,,=:o. En poursuivant de cette manière , on trouvera successivement i:', =o,c"=o, et on obtiendra

pour le terme général d;: la série comprise dans la table de la page xyS.

DÉS D I F f i R S N Û £ S. Vf^

La complication de la méihode que nous venons d'exposer , ne paroit être due q«*à celle thi sujet ; cette méthode a d*ailleurs, sur celle du n'. 973, qui paroît beaucoup plus simple, l'avantage d'offrir un véritable procédé d'intégration j fondé sur la nature même des .équations aux ' différences partielles, tandis que le succès de l'autre ne tient qu'à Tei&t d'une^ substitutiâO) Mparticuliène aux équations du premier degré à coefficiens constans ; je regrette , pour cette raason, de ne pouvoir m'étendre davantage sur les diverses ap« plications que Laplace a faites de sa méthl)de ^ et d'être obligé de renvoyer à son Mémoire ; mais pour terminer cette matière y )e vais rapporter une ;méthode proposée par Nf. Paoli , .dans laquelle se trouve comprise celle de Lagrange et qui s'applique à un genre d'équations dont l'ordre est indéterminé.

1016: Soit , proposé d'intégrer l'équation

yxyi=^xyx^i^x +^x>'x>#-. "+-sr,v,,i^, . ........

dont l'ordre , relativement à la variable / ^ change à chaque valfHr de X. Supposons que l'intégrale cherchée ait cette forme

^,,,= ma'[«J+/2*'[^J+;;c'[>,]+ etc.

dans laquelle [a J ==«,•<*,, •flt,.^ a,, et ainsi des autres ,

et les quantités a^ by c. \ . . m^n^ p. . . . désignent des cons**^ tantes. Tirant de cette expression les valeurs de y^^ ^, y^^ t^^ etc. pour les substituer Azm la proposée , nous aurons

280 C H. h Du Calcul

ayant introduit un nombre suffisant de fonctions indéterminées *x 9 ^r 9 >x t ^tc. dans Téquatlon proposée y nous y pourrons sa-r tisfaire en posant

+ mJ',a' [*,!!]+ »i^,a'- [«,!.]' .... +mX'^'-"i»!!Z]

etc.

Les quantités /r ^ ^y p $ etc. disparpissent de ces équations , par la

seule division et demeurent par conséquent arbitraires; on peut aussi

jr— I »— I jp— I

chasser les fonctions [*;^.,] , [i^,.,] > [^^-i] ^ c^c* puisque

Les équations simplifiées par ces réductions donneront respectivement

ui^+B^~*, . . . +X,<i~'

^'~" I— >^,c-'— 5,c- .... — 2r,c— etc.

jr X «

d'oh on déduira les valeurs de [«J , [j8,] , [>,] , etc. nuûs pour faire usage de celles-ci > il faudra les réduire en séries descendantes , suivant les puissances de <t , b^ e , etc. et si Ton a

[«J=^+x^'«-'+^''fl-+>^'"a-'+ etc.

[^j=yrf+^'r'+.^'r*+^'"r»+ etc.

[>x] =^+ 4'cr} + ^ V + ^'^'c-' + etc, etc,

en

on en conclura

Différences.

J^ar, i—^ {jna! +nb' +pc* + etc- ) + j4'lma"'' + nb''"+pc"'+ etc.) +jé'Xma"^+nb"*+pc"'^^ etc. ) :

en raisonnant ici comme dans le n^ loii^ on transforpiera cette expression dans la suivante

j^*w=^<p(0+^V(^— 0+-^M^— i)+ etc.

qui sera Tintcgrale complète de l'équation proposée aux différences.

La méthode ci-dessus se réduit visiblement à faire j^«9<=^'[^J ' à tirer de la substitution dans l'équation «proposée la valeur de «,;

et à convertir ensuite {aj] en une série de la forme

jé+A'a''+j4'a'^+A"'a'^+ etc.

d'oîi Ton déduit sur le champ

j^„*=^KO+^>(^— 0+^'K^— i)+^M^— 3) + etc.

1027. Prenons pour premier exemple Téquation

qui engendre la série

.y»»* — ^y*y «-I +^jr— I f t-»+i 9

lorsqu'on fait jr, , ,= i , y„ ,=0 , yj;z,=0t etc. Chaque terme de cette série est égal à celui qui lé précède dans la colonne verticale cil il est placé , multiplié par x et augmenté de celui qui, dans la colonne précédente, s'en trouye éloigné de at—i rangs horizontaux: JppenJice, n n

iï« C H. î. Du Calcul

pour le troisième terme de la septième ligné , par exemple , on a a;=3 , /=7, et t — a:+i=5, et par là on trouve J'î.7=3X 25 + 15=90.

Faisant, comme le prescrit la règle ci- dessus ^ ^'x^i^^^T^ilt réquation proposée se change en flt,= jca'"*«t,+tf""^* et doane

«,= ; , d'oh Ton conclut

I — xa *

(i— tf-)(i— Zd-')(i— 3«-')....(i— xa-)* Soit

' = ^ + ^'tf- + ^tf- + A^a-^ + etc;

(l—O (l— itf-) (i -jtf-*) ( I— dra-')

on aura premièrement A^i , puis il s'agira de mettre le dénonûnateur du premier membre sous la forme

i+Pa- + Qfl-»+/îtf-'+ etc.

pour parvenir au dévdoppement de ce membre ; or il est visible que

Q=i.2+i.3 +2.3+etc

et que ces quantités peuvent s'exprimer par la somme des puissances de la progression 1 , x , 3 , 4 , etc. au moyen des formules du n*. 158» qui donnent

etc.

b ^ s Différences» 28)

et on aura ensuite, pour déterminer A, A ^ A'^ A'^t etc. les

équations

PA+A!:=o

QAAr PA'+A'c=o

RA+QA'+PA'+A"=iO etc.

reste à tirer les valeurs des coefficiens A , A*, A', A'\ etc. mais on y parviendra plus facilement , en comparant .les équations qui se correspondent dans les deux suites ; car on aura ainsi :

etc.

d'où Ton conclura

A 3 "3 Va 1/3

(^) Ces formules ne sont qu'un cas particulier de celles que donne M. Paoli , pour féduire en série , par le moyen des sommes des puissances , une fraction rationnelle , formules trop élégantes pour ne pas tronrer place ici*

Si Ton a la fraction

Nn 2

r-îV^v

1^4 Ch. I. Du Calcul

et par conséquent [«,]=« +j',a +^+5.U +etc.

et qu'on prenne les logarithmes , il viendra* puis en difFérentîant, on obtiendra

abc ^

•••" ^— ^.— ^ a^B «^.—l ■■■•■■■» «il M «MMa^HB^^ ...... •..^.^

les termes du premier membre étant déyd^pp^s en série ^ Il en résulte

a'+a'*^+a''^*4- etc.

+b'+b'»î+bV+«*c.

+c'+c'*t+c'3i*+ etc.

— a— a*|:+iV— e^c. [ i<M'{+A*+^V+«c-

— b— b»^+L3^* — etc.

— c*{+cV —etc.

et si l'on fait

etc.

on aura

^■+5,,+5.,»+ etc. ^ ^^^,^^|^^,^ j,.^,

d*oii Ton tiresa ^ =A S,

etc.

DES Différences. 285

par le moyen de cette dernière expression , on aura