NI X
3if
+ (^ + 5. ii+C^ + 5. ^)^)%i + etc.
Ces formules sont principalement applicables, lorsque les quantités
constituent des séries dont on peut obtenir facilement la somme, lorsque leurs dlfFérences premières , par exemple , sont constantes ; dans ce cas on peut aussi trouver immédiatement les coefficiens des puissances de ;;, danile développement du produit
(i— at)(i— l>^)(i— c{)etc.
par un moyen que nous allons exposer, parce qu'il peut être utile dans plusieurs occasions , ainsi que Ta montré Lagrange.
Soitii^â-^^, a-\'^k^ ^+3^» tf + C^w-^ï)^ 'v
une suite de quantités croissant par une différence constante et égale à it; on fera
= ^+ 4'**~'+i4"*"»-*+^'"*"-3 +^Cm) (1) .
les coefficiens A\ A\ A'\ ArA^"^^ flonneront les sommes demandées;
Si Ton subsdtue x-^-k à jt, dans les deux membres de cette équation , elle deviendra
=(* + *)"»+^'C« + A)'»-i+-AXx+ A:;'»-* +^Cm) .
286 Ch. I. Du Calcul
Si l'on fait jr=o , les sommes S^^ S^y S^.... s'évanouiront t et il ne restera que y^^{=^{^t) , en sorte que la détermination de la fonction ^ dépendra de la colonne verticale qui précéderoit la première de la table de la page 18 1 , et qui n'est pas donnée.
en compiranc son premier attnbre avec celui de la précédente, on voit sans pcÎM
que le second
développant cette nouvelle équation , on obtiendra successivement
{x+a)[{x+k)-^+A\x+k)-^-^+A''{x+k)'^-^ ^-AWy
z=z{x^a+mk)[xr+A'x''-'+Â''x'^-^ +iiC«)J ,
et
«*+' +- k «~+-i i *•*«- « H — i ^ L Jb«*«-*+ etc.-
+ A' a *"•-'+ r::— A'ak *"-•+ etc.
+ >4"a"-«+ Î!!=? .f 'ib-«-*+ etc.
+ jt'a *"•-*+ etc.
+ ><'''*"••+ etc.
-+ctc« •»+ ^'a^H- A"x^-^^ if '"jc"- »+ etc.
+ -»*'"+ ^'tf*«-«+ A"tf*«— +etc. ■
+ mkx^'{' A'mh^-*+ ^"/nfcc"-»+ etc.
Cette dernière équation devant être identique donne
f^'\ ^} k^^lak^'H—^Ak +A'a + A'=A''+A'a+A'mk *.i.3 i.u "^ i.a
DBS Différences. 287
Maintenant voyons comment nous passerons de Tune à Taxitre; fai« sons x=i I , réquation proposée nous donnera y^ » 1= >^o #^, + y» 1 1 > d*oiij)^.,i==y,,,--y,,i, ce qui nous montre que la valeur de j'^,, doit toujours être nulle tant que i est un nombre entier positif différent de l'unité ^ puisque la table de la page z8t donne dans tous ces cas y.,«=i. Pour obtenir les valeurs de ^,,1, lorsque^ est nul ou négatif 9 il faut continuer en arrière la série résultante de l'équation proposée y ce qui s'effectuera en formant , par le moyen de cette équation , le tableau suivant :
etc.
J^ifo — ^ff^i"rJ^»fo
yi%\ — j'iïo'Tj'»»!
«y lift-— •Xui+j^oî*
J'â» i ^^ Vml • "T J'i f •
j^)>«— iyî>..+j^.>—
J'î»i=3J^ÎI.+J'o-f
^îM=3J^îM+J^.w
etc.
etc.
etc.
A la troisième ligne de la troisième colonne^ on trouve l'équation rîM=3J'î>i + J'â,.f qwi> par le moyen des valeurs de y\9%% y^jiy tirées de la table de la page 181 , donne j^,, ^ = 0, cette valeur , substituée dans la seconde ligne de la deuxième colonne ^ qui est y^,, =!>'., o+y,,o, conduit àj^,,o=o; en prolongeant plus loin le tableau , on trouveroit dans la quatrième colonne , à la quatrième ligne, 74,,= 4>'4,a+y^,oi équation de laquelle il
d'ob Ton déduit
(m^îX/H--2)(/if— 3)^^,^ K^— 0(«— a)^j^^ 1.2.3 1.1.3
etc.
La loi de ces expressions est dé^ assez évidente poar nous dispenser d'aller plus loîn. Nous observerons que, pour les ramener à celle de Lagrange, il faudroit faire a=:i , Ar=i, et écrire m— 2 ao lieu dem. ( Mém, de F Académie de BerUn , amée 1771 , page iiS. )
z88 Ch. I. Du Calcul
résulte y-^ , ^=0 , cette valeur mise dans la troisième ligne de la deuxième colonne ^ montre que^« ,.,=6, et par la seconde ligne de la première colonne on a alors ^^ ^ ^=o y puis par la première ligne de la même colonne ^^^^ o==o« On s'assurera par la même voie que les valeurs de j^,5« sont toutes nulles lorsque t est nul ou négatif; on conclura donc de là que j^,, ,=j^,,, — -j^, ,«= i • c'est la seule valeur de ^^om ^^ "^^ ^^^^ P^ nulle.
Cela posé , puisque yoM= ^ (^ ) > <>« ^i^^*
et y, , {=Ay, , ,+ Ay, , ^, + A' y, ,*..-.•.+ ^^"^">yo , u^iC^
Cette série » d'après ce qui précède , se réduira pour chaque cas par* ticulier de la question qui nous occupe , au seul terme dans lequel
t — m — 1 = 1 , ou^ ^ ^— /w— 1 = 1 ,
il vient alors m + 1 =^— — i ; mettant cette valeur dans
l'expression générale du coefficient u^'"'^'>^ donnée plus haut , on obtiendra
ix{x — l)— I t—^x{x — I
. (Il 4.S ^'\ ^^-T^^-0-?
Soit, pour appliquer cette formule 3*r=3 , /=8 ; les quatre termes écrits ci- dessus suffiront pour ce cas particulier , puisqu'on a 171+ 1=4 j let on trouvera
d'où l'on déduira
98 6.36 , . nx '4 yî,8=^+-7- + (7+i8)-f 44 4
6 1104 + (ii+x,x4+(7+i8)i)- = — — = 301
JD ^ s Djfferen cm s. 289
IÔ^8. Condorcet , à qui ron doit la théorie générale des équations ^^ équations de condition relatives à l'intégrabilité des fonctions différentielles , a de condition reladonné les équations de condition qui doivent ayoïr heu pour qu une bilîtédesfdbctfons fonction aux différences soit intégrable ; nous avons remis jusqu'à ^^ difiérences, présent à traiter .cet objet parce qu*il est plus curieux qu'utile.
Soit V une fonction quelconque des variables :r ^ j^ ^ ;[ et de leurs différences jusqu'à l'ordre n inclusivement ; si on la regarde comme la différence complète d'une fonction F^ , on aura
d'oh l'on déduira successivement,
dV^dLV^ dV dLV^ , iV dù.y^ dV dtiV^
dx dx * dLx dLx ' dà^x dt^x^ dè?x dù^^x *
dv dLV, dv db.v' dr dnF, dv dù.y
dy dy ' dù^y d^y ' dày dù.y * dù.^y dA^y ' dV dù.F^ dV dLV^ dV d^V^ dV dLV^
71 1^^ 'd^~ dù.[^ dA^"^!^^ 1^~7^'^^^'
mais en transposant la caractéristique A y dans — — ^ , on obtient
dx
A— -^, puis en observant que .
ax
dP^i=—y—dX + ~- </Ajï-+— -— </A»*+— r-</A'* + etC.
dx dAX dù.^X dùTX
dV + -J- ^y + etc.
dy^=^~-~^dxJr^-^àb,X'\- -j-Ldàfx-^ -ry.^A»;e+etc
' dx dLX dù.*X dùTX
dp^
prenant ensuite les différences de chaque terme de cette dernière expression y qui donnent
dj^ dy dj^ dV
A '--dx z=iA—-^.dx +-—-ldAX^A'-—^.dAX
dx dx . dx dx
dy dy dy dy
A -; — '-dAX^s A --—.dAX^ — ; — ' dA^X + A -—-^.dA^X dAX dAx dAx dAX
etc.
Jppmdicc. Oo
190 Ch. I. Du Calcul
pour former le développement de àdV^^ et comparant enfin ce développement terme à terme ^ avec celui de dV y on aura les équations suivantes,
df^ dr.
dx dx
dj^ dF' dV^ dV
-— 5==A--— ^ + — A+ A— ^ d^x dù.x dx dx
dt^ dj^^ , dV, . dj^^
^A'jt dàJ'x dAx dLx
dV^ dV^ dV^^ dP^,
dù?x~ dà^x'^d^^x^ dù,^x
pareillement , par rapport aux variables >^ et ç ,
\dV dT^, L-- — =A '•
dy dy
dy dF^^ . dp^, dv,
dj^y dùky dy dy
dP' dV^ dK^ dT^^
dL^y d^^y dAy dLy
'dV dV dV dV
du^y dt^^y dày dày
' dj^ dV,
dV dV^ dfr ifr
^A{ yA^ ^{ d[
dV dV^ dT^^ dJ^^
dù.\ d£i*i dà[ dùk[
dV dV^ dV^ dT^^
db?l dL\ ^ dA\ ^ dA\
Il reste maintenant à éliminer les coefEciens différentiels de V^ on y parvient de proche en proche par un procédé semblable à celui qu'on a mis en usage dans le n% 86. En prenant d'abord la diffé*
rence de la seconde des équations relatives à la variable x^ on a ce
résultat :
dy djy djy dy",
dtkX d^x dx dx
qui devient
dV dy dy djr
dùx dàx dx dx
en vertu de la première équation --t— = a -— ^,
dx dx
Prenant ensuite la diBFérence seconde de la troisième équation ;
on aura
dy ^dy ^ dy^ , 3 dy^
dà^x dà^x dàx dàx '
dy dy
équation de laquelle on éliminera les termes a* ' ^ a'-— -^,par
le moyen de celle que nous venons d'obtenir et de sa différence , ce qui donnera
dy dy^ dy dy dy
d^^X dùk^X dx^ dx dx
Si l'on prend encore la diftéreace troisième de la quatrième équation ,
dJ^ dy qu'on en chasse les termes a'-; — - , t^ — . '• » à l'aide de la précé»
dente et de sa différence, on obtiendra
, dy , dy dy dy jy ^ dy
rfA«» dt^^X^ dx^^ dx^^ dx ^ dx
dy dy jy
m— A- lA —a' •
d^X dtlX <ZA.T
dy ^dy
^ dà^x dt^x"
En suivant la marche que nous venons de tracer ^ et en observant que puisque Test de Tordre », V^ doit être de Tordre n—\ , d'où
Oo 1
19^ Cn. h D tr Ca L c u L
a suit que ---j^=o, on arrivera enfin à
dùTx \dx X dx .\,x dx dx I
d^x I dLx d^x J
etc.
U est visible que les équations relatives aux autres variables y^^l doivent être absolument de la même forme 5 mais que s^il y avoit une variable dont la différence première fût constante, elle ne fourniroit -point d'équation de condition.
On déduiroit aisément de ce qui précède les équations qui doivent avoir lieu pour que la fonction V soit la différence seconde d'une fonction V^ , en formant d'abord celles qui doivent avoir lieu pour que V^ soit la différence première de V^ et qui sont semblables aux précédentes y mais seulement de Tordre n — i ; puis chassant ensuite les coefficiens différentiels de V^ , par le moyen des expressions de leurs différences y que Ton obtiendroit à peu près comme ci-dessus» Nous laissons au lecteur , que cette matière pourroit intéresser , le soin de développer ces calculs qui nVxigent que de la patience et de Tattention ; nous ne nous arrêterons pas non plus à montrer comment on t)eut trouver les équations de condition relatives à rintégrabilité des équations aux différences ; car il est évident que si ^=ro désigne Téquation proposée , il faut chercher les équations de conditions relatives à la fonction MF'j qui doivent ètit em* ployées à la détermination du facteur M , après avoir été réduites autant qu'il est possible par la suppression des termes dont l'équation ^=0 et ses différences , indiquent la nullité.
i029.'Nous avons déjà fait remarquer ^ dans le dernier Chapitre du second volume de cet ouvrage ^ l'analogie que les équations de cftidition relatives aux différentielles^ ont avec les équations qui donnent les maxima et les minima des formules intégrales indéterminées ; il existe
DES DlFriRBNCES. I9)
une semblable liaison entre les équations de condition relatives aux différences et celles qui donnent les maxima et les minima des fonctions indéterminées , expriqiée par des intégrales aux différences.
En prenant la variation de ces fonctions , on z l^F^s^x^F, et lorsqu'on cherche leurs maxima ou Içurs minima ^îX faut que 2<r/^=:o ; mais il convient de séparer l'expression de J^IV en deux parties , en intégrant autant qu'il est possible les divers termes de i'V^ ce qui fournit deux espèces de ^résultats les unS' dégagés du signe 2 j et les autres qui ne peuvent admettre d'intégration tant qu'on n'assi« gne aucune relation particulière entre les variables qui entrent dans la fonction V. On doit égaler séparément à zéro chacune de ces parties y pour obtenir les équations qui doivent déterminer la forme de la fonction cherchée et celles qui sont relatives aux limites de l'intégrale.
S'il s'agissoit de chercher les conditions d'après lesquelles la fonction F doit être une différence complète , on verroit facir lement que dans cette hypothèse IV doit être pareillement une différence complète , sans qu'il soit besoin ^ pour la rendre intégrable 9 4e supposer aucune relation entre les variables de la fonction F. Il suit de là qu'après avoir intégré autant qu'il est pds« sible chaque terme de S^F , la partie qui reste sous le signe S doit s'évanouir d'elle-même ^ ce qui fournit évidemment des équations de condition absolument semblables à celles qui résultent de la même partie de la formule pour les maxima et les minima; quant à la partie dégagée du signe 2 , ce n'est autre chose que la fonction primitive de £<rr, et si on l'intègre par rapport à la caractéristique l le résultat sera l'expression de ^F.
En prenant , comme ci-dessus ^
dj^ df^ dj^ dV
dV—'-r-àx'^— ^Ax + -7— WA*x + etC.H — —dy-^^ etc.
dt^x dy
dx
dàx
on en conclura
i^y ly cf/^ s^r'
«r/^=-r-<r:r+-;^7— AJ^x4--7-;-AV;c+etC. + -;^<ry+ CtC.
<rAAr
Si l'on intègre I par rapport au signe s^ d'après les formules du
ip4 Ch. L Du Calcul
n**. 910 y chaque terme de cette dernière expression ^ on aura successivement
X— ^J'x = -' J^a: — SA J'x,
J'Ax J'^x S'Ax
2 A*<r.V = A.J'x — 2 A— ^— àJ'x.
= — -— Aj^:r~A — — ;^Ar,+ SA*— --/rj i'ù^x i^ù^x lA^'x •
. etc.
II en seroît de même à l'égard des. autres variables y , [^ etc. et en ne considérant que les termes qui demeurent soumis au signe S ^ oa formera Téquaiion
s^y ^y <r/^ ly
i'x Ma: ' cTa'a: ' ^ S'A^'x
-,/ i^y iy ^ ly ^ ^y >=o.
dans laquelle il faudra réduire les variations ^x , i'x^ 5^ . • • • • i^x^ ^ ^y > ^yi » etc. au plus petit nombre possible. Cette réduction s*opère sur le champ en substituant aux quantités
ly Ay i^y
Ix ' iù^x ^ • iTa'jc'
les suivantes
qui en désignent les valeurs ultérieures y lorsque x se change en
Xf^ f x^^^ , AT^, , etc. parce qu'il est évident que s — - S'x^ ne dif-
o AP
fère de 2 — ^ ^ : <f.y> que d'une constante , que s -— J'x ne diffère
de s -- — /^" '^ J'at- que d'une constante , et ainsi des autres termes
relatifs à a: et de ceux que donnent les autres variables. D'après ces considérations ^ il ne restera que les sçulçs v^riatioqs ip4^A«
DES DlFFÂRENCES. 295
darvtes (Tr^ » /^^, etc. dont il faudra par conséquent égaler séparé* ment à zéro les coefEciens ; on aura donc ^ par rapport à la variable X , réquation
maintenant on sait que
J'Ax^n — 1) J'Ax i S'Ax «TAjc
J^A*Ar(/ï— 1) J'A-AT ^ M'a;
etc.
la substitution de ces valeurs / dans Péquation précédente y fait précisément retomber sur l'équation de condition relative à i , obtenue dans le n*, précédent.
1030. La question la plus générale qu'on puisse se proposer )ur les variations , par rapport aux différences y consiste à trouver la variation d'une fonction qui n'est donnée .que par une équation aux différences. Pour la résoudre ^ on multiplie la variation de l'équation proposée par un facteur ; on intègre ensuite le résultat par parties comme ci-dessus ^ et en égalant séparément à zéro les termes qui contiennent encore sous le signe 2 la variation de la fonction cherchée y on se procure une équation aux différences et du premier degré » qui sert à déterminer le facteur. Ce calcul est trop facile à effectuer d'après celui du n"". 841 , pour qu'il soit besoin de nous y arrêter*
103 1. Pour donner un exemple de l'application du Calcul des différences à la recherche des maxima et des minima , nous résoudrons , d'après Lagrange , cette question : trouver entre tous les polygones qui ont un même nombre décotes donnés , celui dont taire est la plus grande,
Soit A MM! M!* , etc. fig. ç , ce polygone , rapporté à une lîgne ABy FIG. 5. j
1^6 Cn. l. Du Calcul
menée par Tun de ses angles ; la différence de son aire est le trapèze P M M!P' , dont Taire , mesurée par ( \ PP\ aura
pQur expression (^+ rAy)^^ î celle de Taire du polygone entier sera pn conséquence Tintégrale S (y + î ^J^ ) ^ ^ 9 prise entre les limites marquées par les points* extrêmes du polygone: on aura de plus
JM3f = V p P'.ÇWr r^ v/Z^HÂy*. Maintenant les. conditions de la question proposée donneront les équations
dont la première exprime que Taire du polygone cherché doit être un maximum ou un minimum , et la seconde que ses côtés sont invariables. En développant ces équations , on obtient
2 { AA;(<rj^ + ^ A <!>) + (jr + ;- A^) A<r;c } =: O
K Aa:* + A^»
on conclut de la seconde de celles-ci • àj'x:=: — ^ — Z. ; substi-
ùx
tuant dans la première ^ on la change en et faisant pour abréger
