AX 1 AX
il restera à intégrer par parties la fonction { A J'y. On en déduira
résultat qu'on transformera en { S'y — 2 A^.J'y^ si Ton désigne par ^ la valeur que prend i lorsqu'on y met x — ajp, au lieu de x; et la première équation du problême deviendra
lJ'y + x(Ax^Ai^)J^y — 0.
Dans le cas oîi le polygone coupe Taxe en deux points , c'est*à» dire^ oii la ligne JB passe par deux angles opposés, la premièit et
la
2> E s DiFFÈRMNàES. I97
/a dernière ordonnées sont nulles ^ ainsi que leurs différences ^ et Ton a /y =0; il ne reste que Téquadon
qui donne A*^— A{ =0, ou x — {,=C, ce qui revientà x+ A^— {=C et fournit par conséquent Téquation
En la multipliant par 1 a Jir , il viendra V
dont rintégrale est
équation appartenante à un cercle dont le centre est placé sur Taxe des jc , et qui se réduit à ^•+^;:^2Cr^, lorsqu'on veut que ^ et j^ soient nuls en même temps. Il résulte de là que le polygone demandé doit être inscrit dans une demi- circonférence de oerde.
Si la partie de Taxe des abscisses y comprise encre les deux points extrêmes du polygone, c'est-à-dire, la base de ce polygone étoit donnée , le dernier J^jt seroît nécessairement nul ; et comme Téquation
AvA/v , AvAJV
A<rjt= -, donne «r:r = — S-:^ — ^, il faudroît que la
AJf A;c ^
A y A JV
valeur totale de l'intégrale S -^-. fût nulle aussi bien que celle de
or on ptnt appliquer évidemment ici ce qui a été.cUt, n** 851 ,; sur la combinaison des conditions simultanées auxquelles les maxima et les minimades intégrales aux différentielles pouvoient être assujettis | et Ton aura en conséquence
ï{A^>y + (iA^+*^-i^^— -:^^
'^ \% Ajc Aa; 2 Aa:/
k désignant le coefficient indéterminé par lequel on a multiplié la formule x— — ^. avant de Taiouter à celle que donne la condi* Appendice. „, ' Pp '
198 Ch. I. Du Calcul
Ôon primitive du maximum. Si Ton fait comme ci*dessus
LX TL tkX X LX ^
on obtiendra encore l'équation jt + ùjc— {==C,dc laquelle oa tirera ensuite
2AAjr+ (ijr+ Ax)Ajf +(ljf + A^)Ay = lCA*,
cette dernière équation est celle d'un cercle dont le centre est âtué d'une manière quelconque par rapport aux coordonnées^ WiH parmi tous Us poly^onts qm ton peut construire sur des côtés donnés ^ cetui qui sera inscriptibU dans un cercU renfermera le plus Jtaire.
1032. Si les côtés du polygone ne sont pas donnés chacua ea particulier ^ mais qu'on en ait seulement la somme , alors Téquadon
/K A;t*+Ay*=:o doit être remplacée par J^x V^AJ?+Ay*= 0 ,' ou par 3J — ^ -^ = o ,
K Ax^ + Ajr»
équation qui doit être combinée avec celle du maximum ;
2{A:«:Aj^+lA*A<rjr + (y+lAj^)A<r:t} =0,
comme nous l'avons indiqué plus haut , et d'après laquelle 0(i a
s{A^<ry+( -A:r4-— — ^ jAiTy
^2. KAx* + Ay^
+ (y + - Aj^ + )AJ^;>f} =6.
Pour abréger , faisons
I AAv I kLx
* KAje + Aj'* * VAJr* + A^*
nous aurons
s ( Ax <ry + ;f A /y + » A <r;c ) = 0 J
en intégrant cette équation par parties , de même que celle du n\ précédent . elle donnera
DES Différences. 199
d'où on déduira ou
Si on multiplie la première de ces équations par 1 a x ^ la seconde par siAy y puisqu'on les ajoute ^ on formera la suivante
(^xx + Ax)ax + (1^ + a^)a^=iCa:c + iC'Ay ; dont l'intégrale tst
et appartient à un cercle quelconque. Faisant aussi disparoitre les radicaux dans les équations d'oà celle-ci est tirée , on obtiendra A*A r* *' A x^
en ajoutant ces résultats il viendra
= OJf C'*—x Cx-^xCy+ x'+y* —(Ç— af)A*— (C'-^)Ay +iAAf* +iA^' ;
mais par l'intégrale déjà obtenue ^ on a
'—i(C'—x)ax — 2(C— ^)a^ + A;c*+ Ay=o:
il restera donc seulement
k'=:0+C'+C''^i(^Ax'+Ay),
résultat d'après lequel il est visible que la quantité Ax^+A^'doit être constante , et que par conséquent les côtés du polygone cherché doivent être tous égaux»
Les termes iJ'y etuS'x s'évanouissent d'eux-mêmes lorsque les points extrêmes du polygone sont donnés ; maïs dans le cas où la base seule seroit donnée, c'est-à*dire , oh l'on auroit la dernière valeur de x = ay la première étant zéro, il faudroit, pour faire disparoitre ces termes, prendre us=zo et {=o> lorsque x=a^ ce qui , en vertu des équations
Pp 1
300 Ch. I. Du Càicul des Dïffârei^cesI
donncroît C=tf , C'=o , et conduiroit à Téquation jc*+^*=:C'« i appartenante au cercle dont le diamètre est la base même du polygone, n est facile de conclure de là que parmi tous Us polygones dun mimt nombre de côtés et dun même pirimitre ^ cest le polygone ripUier inscrU au cercle qui renferme le plus daire.
yL*
Ch. II. Théorie DES suites des fonct» etc. joi
