CHAPITRE IL

Théorie des suites y tirée de la considération de leurs Fonctions

génératrices.

1033. ^^ Chapitre précédent a dû montrer que ce que le Calcul . aux différences offroit de plus satisfaisant^ consistoit principalement dans les formules d'interpolation, dans quelques séries générales pour l'intégration des fonctions d'une seule variable et dans l'inté-* gration des équations du premier degré à coefficiens constans. Laplace,' en 1779 , parvint à tirer ces diverses théories d'une même source ; savoir y de la considération de ce qu'il appela les Fonctions giniratricts ; SOUS ce nouveau point de vue elles présentent un ensemble aussi simple que lumineux , et constituent une nouvelle espèce de calcul qu'il est très-important de cultiver avec soin. Nous allons donc le faire connoître dans ce Chapitre , qui , pour être entendu, n'exigera, sur les différences et sur les intégrales , que les notions les plus simples , et pourra ainsi former un traité complet sur ces matières.

Une série quelconque étant représentée comme il suit : Des fonctions

«=^.+^.'+^.''+j'/. . . . +^.r'+J',^./^', etc. ,ii",:. «"'«= -

le second membre est le développement du premier, suivant les puissances de la variable t^'u est la fonction génératrice de ce second membre; mais par ce qu'il est contenu implicitement dans son terme général yj'^ nous, dirons que u est la fonction génératrice de y^ , qui sera le coefficient de f dans le développement de la fonction u.

Lorsque la série proposée procède comme ci>dessus , suivant les puissances entières de /, le théorème de Taylor donne sur le champ

l.X.'^....X dt'

mais on peut varier d'une infinité de manières la forme du développement de la fonction!/ , et de là naît un calcul direct quand on veut

3GtZ C H. II. T H È 0 R lE V ES SUITES^

déterminer les coefficiens par le moyen des fonctions génératrices ;; et un calcul inverse , quand on veut remonter des coefficiens aux fonctions génératrices.

1034. La première question qui va nous occuper aura pour .but de déduire du coefficient y, relatif à la fonction génératrice u celui de quelques autres fonctions liées à celle-là d'une manière fort simple.

1**. Il est visible que le coefficient de t* doit être égal à y^^ dans ue^ hy,^^ dans «/', et en général ^y,^„, dans «/*".

i*. Le même coefficient de t' doit être égal à y^^^ dans le dévelop-

pcment de - , ïy,^^ dans celui de —, et en général ïy^^^ dans celui de — .

D'après cela le coefficient de t' dans » l - — i j , ou - — « , est

évidemment égal à y,^^^ — y^ , ou à Ly, ; puis à cause que

u( i\=u( i\( iV on aura pour le coefficient

de t* dans le dévelopt>ement de cette dernière fonction , Ay»4-i"^Ay»f ou A*y,, etc.

En continuant ainsi y on reconnoîtra sans peine que le coefficient

de /*, dans « T - — i ^ est égal à A"^,.

Il suit de là aussi que u( 1 j est la fonction génératrice de

ty, , et que ut'^C 1 J est celle de A"y

3*. Passons à la fonction plus générale

dans laquelle a^ a\ a^^.^.a^"^, représentent des constantes; le coefficient de t' dans le développement de cette fonction , que Ton peut mettre sous la forme

au a'u aS'^'^u

.>rA

TIRÉE DES Ponctions génératrices, $03

sera , d'après ce qui précède ,

comme cette dernière expression reviendra souvent ^ nous la désignerons par 7 y, y et nous dirons que la fonction génératrice de vy,

est «(^^+7-+7r****+— J-

composant avec vy, l'expression

semblable à la précédente, et que nous désignerons par v^gy elle aura pour fonction génératrice

n est aisé maintenant de poursuivre cette notation et d'en conclure que les fonctions génératrices des expressions vV»****^'!/*» sont respectivement

4*. En combinant les résultats que nous venons d'obtenir , nous en conclurons que la fonction génératrice de l'èxpres;ûon a*v^c j. est

./ a' a" <j<'>vVi V

1035. '^ S'^^^ ^^ ^^ m^^ ^*^^^ ^'^^^ P^^^ facile que d'obtenir le coefficient de t' dans le développement de us^^ si 5 désigne une fonc-«

tion quelconque de - ; il suffit pour cela de développer 5^ suivant

les puissances de - ^ et représentant un terme quelconque de ce

dernier développement par —-, le terme aSecté de e' dans le produit

aura pour coefficient celui de r^!".dans«f^ multiplié par K^

}ô4 Ch. II. Tné onr e dessuites^

ou Ky,,^ , ce qui revient à changer la puissance /» de - en y^^Z

On voit par là qu'en' écrivant dans i% y^ au lieu de - , et développant ensuite suivant les puissances de y^ ^ il n'y aura qu'à changer {y, y tny, , {y^y e^y,^, ..... {y^T en y,^ , pour avoir le développement de us^i c'est ainsi qu'on formera celui de v'jk» 9 en prenant

On introduira les différences de y, au lieu des valeurs successives de cette fonction , si on développe ^^ suivant les puissances de 1,

en sorte qu'un terme quelconque j!C f-— i ) de ce développement

donne Ku f ij ; JCa"^, sera le coefficient de r' ^lans ce

dernier , et puisqu'il faut substituer A^y^ k f ')^ *^ ^^

visible qu'il suffit de changer d'abord 1 en Ay,, ou —

en i+i\y,, puis de développer le résultat suivant les puissances de Ay, j et d'écrire ensuite ^y^ , ou j, , au lieu de (Ay,)* , Ay^ au lieu de (Ay,)*', eten général A"y, au lieu de (Ay^y»

1036. Le développement de Xf'y^ s'obtient avec la même facilité ^ en observant que s'il a { pour fonaion génératrice y le coefficient j^^^

qui revient à A^.jfy^ , aura pour fonction génératrice { ^— — t j ( n**. précéd. ) , et que par conséquent il viendra

en faisant abstraction de9 constantes arbitralt-ts introduites par nnté« gration ; et il ne s'agira plus que de passer de la fonction génératrice au coefficient ^ d'après le$ préceptes donnés dans le n"". précédent. '

Ce

TIRÉE DES Fonctions GENERATRICES. 305

Ce résultat rend évidente l'analogie des intégrales avec les puissances négatives, déjà remarquée dans, le n^ 914; car il montre qu'on peut , en changeant seulement le signe de l'exposant p , passer

de la fonction génératrice de àFy^ ^ égale à u( ij, à celle

\\ , et réciproquement.

Lorsqu'on veut tenir compte des constantes arbitraires, il faut ajouter à u les termes