ABC F
dont le nombre est égal à l'exposant/?, qui désigne Tordre de l'intégrale.
1037. L'interpolation des suites n'est au fond que la manière de passer du terme y^ et de ceux qui le précèdent ou qui le suivent , à un terme y^r+w > dans lequel n représente un nombre quelconque ;
u or yx^n est évidemment le coefficient de /* dans — : toutes les ma-
nières de développer -^ doivent donc fournir des formules propres
à Hnterpolation. La plus simple consiste à mettre - sous la forme
^i + ï\ ^ développer 1 1 + T i j| , suivant les puissances
de ^— * i^ et à remplacer ces puissances par les différences corres-
pondantes de y^. On aura de cette manière \
et le coefficient de tf dans le second membre de cette équation
donnera
ys^n'=^a.+:;^ys+-^—-^^y.^~ ^^!y,+ etc.
résultat conforme à celui du n**. 873,
^pptndUu Qq
306 C H. IL Th éo rie des s v ï te s j
Si Ton fait -= i + « — , et qu*on développe — suivant les
puissances de a, par le tuoyen du théorème du n*. 1 1 1 > on trouvera
u r n /2(/2+ir— i) , , n{n+y-^i)(n+y—x)
—.r^ul r+-«+. ——A H «
Mais de - = I + * -7i on tire a = ^\ •— ') > et puisque le ^
coefficient de f* est ày^^ dans «1 a, A^x-^r dans »*•, et ainsi de suite ( n*. 1034 ) , on aura
IX nfn + ir — i)
y.^n=yx+—^ys^r+ — — — - ^y^^^ + TXi ''^'-''
+ nr; ^V.-4r+etc.
1038. Si Ton prend /r^— ij=|;, et qu*on cherche la valeur de -7 en {y on aura des formules analogues à celles des n^. 879 et 88ow Pour développer — • suivant les puissances de { , il faut observer que — est le coefficient de «* dans le développement de la fracdon
, puis chercher à introduire {; au lieu de/^ sans ficiire entrer dans le
et t
résultat les radicaux que donneroit Téquation proposée , entre r et {• Or en multipliant par i — */ les deux termes de la fraction ,
on aura- ; et comme Téquation / f-— "ï)=*=C
TIRÉE DES FoKCTIOlfS C EN ERATRICES, 307
donne - + t=i + i^ il viendra
de voir que
; mais il eii facile
;y + etC.
il reste à développer chacune des fractions du second membre de cette équation et à rassembler les quantités qui multiplient et!' dans le résultat final. Le coefficient de «' dans le développement de
^ est *^ ^ , ^ , en £iisant a=:o • après les difFéreniia-
(l ùL)' 1*2. j... h/a"
tions y ce qui donne
s(s+i)(s'hi)....(s + r — i)
Par cette formule le coefficient de «* est
dans
dans
dans
il— y
i.2.3.4« j «te.
en nommant donc Z le coefficient de ct*^ dans le développement de r r; » nous aurons
{/2— 2; (/«— 1);2(/2+ l) (tI + 2)(/2 + 3) (/2 + 4)
i^+ etc.
i«2.3.4«{«6«7 expression qu'il est £icile de ch^pger en
n+i . (/2^- !)[(/»+ Q-^i]^ , (>a+i)[(/2+i)--i][(/a+ïr-4] .
#= 1 îH ^ T": C
(«+ !)[(;:+ i)'-i][(ii+i)'-4][(«+0'-9]. , ^t^
Qq »
3o8 Ch. II. Théorie des suites^
Si Ton y met n — i , au lieu de /2, elle donnera le coefficient de «"
fit dans le développement de p r; , savoir :
+ -^ ^-^ ^ ^î'+ etc.
mais il est évident que le coefficient de <t", dans le développement
de ; , ou de ; z , est Z^Z't^
et que par conséquent
la question proposée revient donc à chercher le coefficient de r* dans le second membre de cette équation » celui de la même puissance de / dans le premier étant y^^^* Or un terme quelconque de uZ pouvant
être représenté par Ku:(^^=.Kut'i—^\\ , donnera, diaprés
le n'. 1034, iCA"y^^, tandis qu'urt terme quelconque de utZ\ représenté par Kut^' donnera JCA*y,^, ; on aura donc
— . AVr-i— etc.
Nous déduirons de la valeur précédente de — de nouvelles ex-
pressions de jy^» en y changeant n en n — i ; car en désignant par Z' ce que devient dans ce cas Z', qui représente ce que devient alors Z , nous transformerons Téquation
"i-rrrZ— Z'/, eu -^ = Z'— Z'^/ ;
TIRER DES Fonctions génératrices ^ 309
de cette dernière nous tirerons -^ = Z\ et prenant la
moitié de Id somme des deux valeurs de — , nous aurons
Mettons pour Z, Z' et Z\ leurs valeurs, nous obtiendrons
i Z- 1 Z"= l[^±I+^i^±ili^^l î + etc. I 1 1 il I i.i,3 )
j- + i i^ ^î + etc. [
il i 1.1.3 ^
= 1+ 1+ ^ ^— i'+ ^ ^-^ ^V+etC.
puis chassant { , il viendra
^ l i.i \t / 1.1.3.4 \t J '\-— -^ — r-tH i) +etc.[
1 ^ ^ li\r / 1.1.3 \t /
+-^^ --^(- — I ) + etc.}
et formant les coefficiens de r*, pour chaque membre, d'après les règles du n°. 1034, on en conclura
+ -^^ — — ■i^^!y»-3+ «te.
in, . I n ( «* — i) , ,
I nin'' — 1)(/2* — 4)^ ,
1 1. 1. 3 «4* 5 formule semblable à celle du n% 879.
310 Ch. il TjtÈ 0 r I e des suiteSj
Si Ton en prend la di£Férence en faisant varier n de Punité ^ on aura
1 (2/2-4- l)(/2+2)(/2+lK/l—l) ,
T A y,ï + etc.
I (/2 — iWn+i)(/2 + 2), . , ,
) K M j ^ aV,..+ aV,., ) + etc.
écrivons maintenant y'^ au lieu de ày^ ^ et nous changerons ce dernier résultat en
au lieu de n ^
2 2*4tP
n-(«-'-i)(B-'^9) 2.4.6^8.io
formule qui rentre dans celle du n*, 880*
i039« ^^^^ allons parvenir dans cet article ^ une formule dlntert» polation , plus générale que toutes celles que nous ^vons données jusqu'ici , et qui s'étend à toutes Içs séries qui tendent sans ççsse ^ 4evcnir récurrentes. Soit
}a question se réduit à trouver une expression ^t r-~^okbpnée suû
TIRÉE DES FoNCTIOns GÉNÉRATRICES. Jîl
yant les puissances de { ^ et qui ne contienne que des puissances de -^
inférieures à — . La méthode qui s'offre la première est Télimina* tipn des puissances -;r , -j; * -5;; i etc. àt — , suivant le procédé
indiqué dans le n\ 1015 ; °^^^^ ^^^^^ méthode devient impraticable lorsque le nombre n est un peu grand ; et pour arriver à un déve« loppement général, il faut avoir recours à d'autres artifices analytiques. Voici celui que Laplace employé : en multipliant le numérateur et le dénominateur de la fraction -^ — r- par
et substituant , dans le nouveau numérateur seulement , pour { sa valeur , il vient
(i — Vtfr+*d'^'+ce*-»+efl"-»....+/>9+j-çr)
les deux termes de cette fraction étant divisés par i , elle prend
la forme
q fl"—
««"' + *fl'-'+f«— »+««—».... +;,«4.y^fl-
312 Ch. il Théorie des suites, .
Maintenant, la quantité — pouvant être considérée comme le coefE-
cient de B" dans le développement de , sera aussi le coefE-
r cient de ô" dans le développement de la fonction précédente , développement qui ne dépend que de celui de
Faisons pour abréger nous aurons ^
;=-^ + T;rH-^^+^^:T-+ etc.
expression dans laquelle il reste à développer ^ suivant les puissances de 9 ^ les quantités
'JF 9 'J^ > "^ > "pj" j etc.
On y parviendra en décomposant la fraction — - en fractions sîm-»
pies suivant les procédés du n% 368, et convertissant chacune de ces dernières en séries ; alors si on désigne par Z,, , ^, le coefficient de 9', formé par la réunion des termes correspondans de ces séries ^ les coefficiens de 9" dans les quantités
; "^ ± i i pfr
seront respectivement
te coefficient total de 9% dans le développement de — sera
donc
Substituant
TIREE DES Fonctions génératrices. 313
Substituant cette série dans l'expression de — ^ on obtiendra
+ *î'Z^,;,-4^.+ etc.
+-T ? + « î'-^n «-4»+. + etc.
Les quantités
ày, + * ^^.4:, + f j'^+t . . . . + qy,^ ''^y, + *vy.+i + « v>',4« . . . + y vy,+„
etc.
ont été désignées respectivement par vy, , v*^', , v^y^ , etc. dans le n"*. 1034 9 et il suit aussi de ce n% que le coefEcient de r^^ dans
la fonction -7-, est v'j^,^^} si donc on multiplie par u l'expression
de '— , trouvée ci-dessus , on aura celle de —, fonction gêné-
ratrice de y^j^^ , et prenant les coefficiens du second membre , jippcndiu. • ' R r
314 Ch, IL Théorie des suites^ ^
suivant la remarque que nous veaons de faire , on en déduira cette formule
+ J'x+i \^^o> n-m+î +^Z^,^^^^., . , +yZ^,, ,^, I + VJ'*^! {^^i^ i^^m+i +^^0»-^»M.** • • +?^ii»-jit-i }
+ yx^{^2c9n^m^i +?^of»-« }
+ Vy^+a { ^^. ♦ rt-am+i ••••+ ?^» >»-»»-» }
+ î V%+w-. ^a » Tl-îm+t + etc."
Les diverses séries dont cette expression est composée, étant ordonnées suivant les quantités vy^^ v*^,...v^,^, , v*j',4., , etc. sont convergentes toutes les fois que ces quantités vont en décroissant à mesure que l'exposant de leur caractéristique augmente ; on en tirera par conséquent des valeurs de y,^^ , qui seront d'autant plus approchées que la convergence sera rapide : ces valeurs seroient entièrement exactes si Ton avoit v'y,=o , puîsqu'alors chacune des séries qui les forment ne renfermeroit qu'un nombre de termes limité.
L'équation A^y,=o développée, revenant à
appartient à une série récurrente dont le terme général seroit exprimé par y'"'y, ( n**. 983 ) , ce qui fait voir que la formule d'interpolation obtenue ci-dessus , donnera l'expression du terme général de toutes les séries qui , par des combinaisons d'un nombre m de termes, effectuées d'après les formules vy,» v'^^, etc. conduiront enfin à une série récurrente.
Si l'on avoit simplement vy,=o , ou
OQ en concluroit
TIREE DES Fonction s génératrices. 315
en changeant x en /i ; et faisant Jtf =0 dans la valeur de y,^^ , il en résulteroit
Cette dernière expression offre l'intégrale complète de l'équation aux différences posée précédemment; y^, i'o ^••••>'m-t en sont les constantes arbitraires.
Si Ton se proposoit Téquation v*j^=o, la formule générale donneroit pour ce cas un résultat dans lequel entreroient comme arbitraires, les quantités j^^ , vy^j jKu vj'i • • • «y^-. » AXm-t : l«ur nombre est égal à i/n ,. parce que l'équation v*y,=o monte à Tordre marqué par zm ; car son développement est
^{^y^ +^ys+i +9^*+ +«y*+w }
+*(^y*-i.. +Ay*+» +o^*+î +îyx+in^.i }
Il enseroit de même des équations plus élevées vV^=o, v*j^,=o, etc.
1040. On parviendroit encore par les formules précédentes à Tin tégrale de l'équation v'>,+-Sr,=o, dans laquelle JC, désigne une fonction quelconque de a; , en faisant ^,=y,+ j''',, La fonction génératrice u deviendra dans cette 'hypothèse u=::u' + u" , «' et u' représentant les fonctions génératrices de^', et de^*, ; supposons que ttY=^> et que J^,^n soit le coefficient de /*^* dans le développement de 7^, nous aurons ( n*. 1034 ) X,+,^=v'j^*,^.,» ; mais
et le coefficient de /*^, dans le développement de cette fonction , sera évidemment le même que celui de fl"*"»-"' dans celui de
Rr i
3'^ Ch. il Théorie des suites^
coefficient qui , d'après le n*. précéd. sera désigné par Z,, , ,^^^ „^; Il suit de là que y\ , coefficient de /*^* dans u\ ou dans — , sera
et reviendra par conséquent à 2 -Y^Z,^^«,r , en prenant Tintégrale depuis r=o, jusqu'à r = a7+;2 — msi maintenant si Ton écrit dans Texpression générale de j-,^^ du n^. précédent , y^^n 9 P*^s qu'oa fasse x=o, et qu'on mette pour y^ sa valeur S-Sr^,,,^„^, on aura y;.+2Jir^,..,„-«.^,
J^o X^^a^i > ?i^m4.i + ^Z,, 9 »4m4.a« • • +f Z,, , ii-«JiH-'" S
• • • • -*-fv'"*j^„«jZ,,,„,„^,.
Cette série s'arrêtera toutes les fois qu'on aura v|y^=o, ou v'y^ + 7'^"^= o , ou enfin v'y„ +X^=o: elle donnera alors l'intégrale de cette dernière équation; et les quantités y^^ v^«)««0'if ày^^...etc. tiendront lieu des constantes arbitraires,
1041, Tout ce qui précède repose sur le développement en série
de la fonction — ( n*. 109 ), recherche qui renferme implicitement
celle du terme général d'une suite récurrente , c'est pourquoi nous allons nous en occuper en détail. Nous prendrons , au lieu de la
fraction — , la fraction -yj^^tf^ étant des fonctions rationnelles
et entières de :ir, l'une du degré s — 1, l'autre du degré s. Sup-
TIREE DES Fo NOTIONS GÉNÉRATRICES. 317
posant que ^= Q(x — fl)% nous aurons, par le n*. 369,
y ~ {x—aY "^ (x— il)"-* "*" (r— a)»-* ••••"*" x^a "^ Q '
et les constantes ^ , ^o* • • •^«^i 9 seront données par les équations A ="-
"-'~ i.x.3...(«— ly*"-' 'Q*
» et f étant ce que deviennent 27 et Q , lorsqu'on y change x en « j et il fa\it observer aussi de faire la même substitution dans
Le coefficient de x\ dans le développement de -; , ordonné
suivant les puissances positives de at^ sera
dans celui de ;: 'rr— sera
i.2.3....r tf"-*-'-* '
dans celui de ; ^-— sera
{x — ay •
etc.
en réunissant ces diverses parties y et faisant usage de la notation
31 8 Ch. IL Théorie des suites j
du n*. 902, il viendra — rr r ^ ^ A ^ ji
■■ -mM
Mettant pour les numérateurs A ^ A^^.... • «-^a-i > ^^^^^ valeurs^ on aura
j^Oj ï rçi. — r: -zi: -7-^ — : •« — r-l?^ ^ , , a «-rr
que Ton peut écrire ainsi :
-li^-
en observant , pour le premier terme , que .
[o][«+r-,]= '-7 „J =LJt J=[„+r~,] [o] , pour le second , que
et de même des termes suivans. Cela posé , puisque
';^, — ~^2?--* ^"' • """^^ * ^' ^^ visible que le développement
ci- dessus revient à
TIRÉE DES Fonctions génératrices. 319
pourvu qu'après les dîfférentlations on change x en a. Voilà donc une expression fort simple du coefEcient de x' dans la partie du
développement — , qui résulte du facteur {x — ay de son dénominateur. Si Ton suppose que ce dénominateur se décompose dans les facteurs {x — af^ {x — bj, {x — c)% etc. on obtiendra de semblables expressions pour les parties résultantes des facteurs {x — ^)% {x — c)% etc.- et le terme général du développement de la fraction
rationnelle ^^ -^n 9 ordonné suivant les puissances positives de a: ^
sera par conséquent
-jr¥x -[O]
dx^'
x'^'i^x-^by^x—cj
x'^\x—aY{x—'Qy
x^^^x-^ay^x^by
etc.
pourvu qu'après les difFérentiations on substitue , au lieu àz x ^ a dans la première ligne , b dans la seconde, c dans la troi* sième, etc.
Quand même les quantités a ^ b ^ c ^ etc. seroient imaginaires j on n'en parviendroit pas moins au terme général demandé : il contiendroit à la vérité des expressions imaginaires ; mais on s'en débarrasser oit en combinant convenablement les termes fournis par un môme couple de facteurs imaginaires.
1041. En appliquant ce qui précède à la fonction
du n^ 1039, il faut supposer que
tffl'" + ^9'"-' + cr"-. . • . +pa + q=a{9—etyé—'fiXê—y) , etc. et prenant
y^ aX^^^yiê—l^yi^'^yy etc. '
320 Cn, II. Th iORIE DES su Z TES ,
le coefficient de *', ou Z,,,, aura pour expression
■^ r-^X^—^yC^— i8)', etc.
+ etc.
en observant de faire , après la différentiation , ê=A dans la première ligne ^ A=i3 dans la seconde, tf=> dans la troisième , et ainsi de
suite.
1043. La méthode que nous venons d'exposer, pour parvenir au terme général d'une suite récurrente , exige la décomposition du * dénominateur de la fraction génératrice , en facteurs , décomposition qui dépend de la résolution des équations. Lagrange en a donné une qui ne présente point cette difficulté et qui conduit immédiatement au terme général de la série engendrée par le développement d'une fraction rationnelle quelconque , la voici ;
Si Ton fait pour abréger
les seconds membres de ces équations étant terminés, la fraction
^ \, ^ pourra représenter une fraction rationnelle quelconque.
En la développant d'abord suivant les puissances de 4(^)> on
trouve
« ^•— ^ ■ ■ -4- « . ■ a—M etc«
et pour arriver au dernier développement il faut obtenir en particulier celui de chacune des fractions
* 77 — Tr^> T. — Z\3> ^^^*
u—x ' {u—xy ' («— x)^
On peut les tirer de la fprmule du binôme ; mais on les dérive
successivement
TIRÉE DE3 Fonctions oènèratricesI 311
successivement les unes des autres, en observant que
u — X u u ur u^ u^*^
1 T II IX ' îa:' (n+i)x^ d — = + • — +-? — . , . + -^ — ~- — + etc.
^^3 ^ ^ ^ I — i—L-. , , -L i 1 il — \ — il ' ^^ ' j- etc.
etc.
Cela posé, la fraction -^— ^ fournira dansle terme général la partie
^iJX ^i jX ^i^X ^lyX ^9j,X
qui s'arrête au terme divisé par la première puissance de u ; cette partie étant réduite au même dénominateur , devient
et revient par conséquent à — ^i^p^- x*, pourvu que Ton borne le développement aux termes dans lesquels u est affecté d'un exposant négatif. Cette conséquence subsisteroit encore quand on écrirolt f (2^)4 (2^) f au lieu de ^(z^), puisque ce produit est de la même forme que f(^); ainsi le terme général du développement de
■ ^ ^ ^ ^ serolt encore exprimé par ,. . *^\ dans les mêmes
conditions que ci-dessus.
Si maintenant on différentle par rapport à tf , l'expression \y - ,
on aura le coefficient de x"" dans la différentielle de la fonction
y prise de même par rapport à 2^ ; or cette dernière est '
V \/ ^^- ^1 €S^ <ï<^nc évident que -T—^-^i^ est le (tf — xy * ax^ 1^"^*
jipptndicc. S s -^
322 C H. IL Théorie des suites,
coefficient de :c* dans le développement de la fonction : ^ i
en observant toujours de ne prendre que les termes dans lesquels ar a un exposant négatif.
Par les mêmes raisons , le coefficient de x^^ dans le développement
de ^ , seroit \^^ ; et difterentiant deux fois par rap-
port à u , chacune de ces fonctions , le résultat fourni par la secondedonnera le coefficient de x"" dans le développement de celui qu'on tire de la première : en effectuant le calcul , on trouvera
et divisant par i , on en conclura que Tassemblage des termes de*
I ^(u)'^(uy
l'expression — — -^^ n-^) 9 ^^^^ lesquels u a un exposant nés» gatif , forme le coefficient de a:" dans le développement de
{u—xy •
On prouveroit de la même manière que le coefficient de ^^ dans^
le développement de la fonction — ; \!' est '^'^ (tt — xy
p{u)4(uy
et ainsi de suite y eh sorte que le terme générât du dévelbppemeat
de ^ ,, . sera
I 3 P{u)^{uy
T 7^^ i^ïi r etc»
en se bornant aux termes oii Texposant de u est négatif.
Il est visible que les différentielles successives de cette expressîor^^
relatives à », correspondent à celles de la fonction , ,. .»
TIRÉE DES Fonctions génératrices. 31J
prises dans la même hypothèse ; et Ton en déduit par conséquent par de simples difFérentiations , le coefficient de jc" dans les dévelop* pemens des fonctions
{u^x+^x)y^ («-^+4W)'' iu-x+^x)y' '"^
J044. Nous allons appliquer cette formule à la fraction
P+Qx
donnons-lui la forme
I— i:f cos«-H;t*
^cos«
P+Qx
IQOSu ICOS»
nous aurons
Pix)=P+Qx, 4(^)=— ^, u =
acos« ' 2Cos« '
d'oïl nous déduirons
fiu) = P+Qu;
2C0SÛ» ' 4C0S«* ' ^ ^ 8cos«V
«"■*■* ICOSA» XCOSA» *
