COS

P {(i cos «)» fcl^(2 ces «)"-*+ ^-^^^^^^^-^ ( 2 cos« y-^

+ Q{ (2 cos «r*- -^^=^(1 cos «)*-^

1.2.3 expression qui ne doit point contenir de puissances négatives décos «i, puisque la précédente ne devoit point contenir de puissances posi« tives de u. On la simplifie beaucoup en la comparant avec la formule

sîn n î=sin { { 2"-'cos ^-"— ^^ 2"-^cos (;''' + (^—3) (^—4) ^a-s^oj^— 5^ ^ ^

— ^ — ^^^— -^ ^2"-'cos 7»-'+ etc. } ,

obtenue dans le n"". 985 ; car on voit alors que la série qui mul-

tiphe P nest autre chose que le développement de — ^-r- — - — , et

• • «•«••>' i\ sin /2 w

que celle qui multiplie Q repond a : on a donc pour le

sin <» .

terme général du développement de la fraction

I — 2Ji:C0S» + a;* '

cette expression très-simple

f « siiY/2-hi)« ^sîn«û)l

l sinâ> sinci) J

qu'Euler a donnée le premier dans son introduction à l'analyse de l'infini.

La formule générale s'applique également aux fractions

P^Qx P^Qx

(ï — 2^CGS« + Ar*)* ' (l — 2a:C0S«+*')^

on trouvera pour la première,

\ 2Co>« (2 ces»)* l(COSû))^ J

/4- y i •■ • — — y r."~--+ , ,, -^etc. f ,

l 2C0SM (xcos«; l(lCOSw)* }

+ etc.

TIRÉE DES Fonctions gènèratri ces. 315

et mettant pour u sa valeur , il viendra

^ V £n n y/ ^ ç^5 «)''-5 etc. }

+ Q{;2(icos»)'* • — {n — 1)(/2— i ) (icos«)""*

+ i^ î^^^^ i^ii ^( icos»)"-^— etc.} ,

en observant de ne faire entrer dans cette expression aucune des puissances négatives de cos m.

Nous ne pousserons pas plus loin les applications de la formule du n*". précéd. nous observerons qu'elle exige le développement des puissances de la fonction

4( r ) =5,+ B,x + B^x^+ B^x^Jr etc.

lequel donnera lui-même celui de la fraction rationnelle

B'''\^B,x^B^x^-i'B^x^ +^ii^" *

en la mettant sous la forme

nous avons trouvé dans le n"". 98 , les équations , d'après lesquelles on peut calculer successivement les coefHciens des diverses puissances de a: ^ dans le développement de la formule

{A+Bx+Cx^'\'Dx^'\'ttQ.Yi

mais pour en rendre l'application plus facile, il auroit fallu donner Texpression immédiate de ses coefHciens : tel a été l'objet récent des travaux de plusieurs analystes Allemands, MM. Hindenburg, Pfaff, Maurice de Prasse, dont nous avons cité les ouvrages dans la table. L'exposition de leurs recherches nous entraîneroit trop loin ; il nous suffira de dire qu'elles reposent sur le Calcul des combinaisons , appliqué aux indices qui marquent le rang de chaque coefficient , Calcul dont Léibnitz avoit prévu Tuiilité^ et dont il a donné un essai dans les Acta truditorum de Tannée 1700 , à la fin d'une réponse à quelques

^i6 Ch. il Th é 0 r te des suites;

imputations de Fatîo de DalUicr ( voyez aussi ses œuvres,* tome III, page 365 ).

x045« I^cprenons le Calcul des Fonctions génératrices. Laplace

^onne encore au développement de — une nouvelle forme qui le

conduit à une formule d'interpolation dépendante à la fois des diflFér rences et des fonctions désignées par la caractéristique v; mais forcés par l'abondance des matières d'omettre plusieurs détails intéressans , nous renvoyons pour ceux-ci au Mémoire même d*où ce qui précède est tiré , et nous allons passer à l'usage des fonction^ génératrices dans la transformation des suites.

Toute suite n'étant autre chose qu'un développement de la fonc« jîon sy, prise depuis x=o , jusqu'à x infini , il est évident que \t%^ diverses manières d'exprimer ce développement fourniront des suites équivalentes , ou des transformées de la même suite. Soit la suite

y.+yi +^«« • • • -^yx+yx+x + etc.

et faisons

^ = J.+J^i^+^a^*. • • • +y,^'+^r+.^***+ etc.

il suit du n*. 1036, que le coefficient de t'^ dans la fonction

, exprimera la somme des termes de la suite proposée depuis j^^

t inclusivement^ jusqu'à rinfini. En multipliant les deux termes de cette fraction par

bec

tf +^+c+e+ etc. • . .— (<H — I — H -^+ etc.) ,

on rend le numérateur divisible par i ^ et il se change en

f* + ^ + ^ + etc.

+ j(c + e+etc.) + y(e + etc.) + etc.f •

puis posant

a+b+ c + c +etc. =li:

4+-+-^+-^+etc.= î,

TinÉE DES Fonctions généra trices. 327

en aura

t+c+c+etc.+'-(c+ ^ + etc.)+ -(e+etçO+etc,

équation dont le second membre développé par rapport à { prend cette forme

*+c+^+ etc.

+7(^+^4- etc.)|

+-^(<+etc.)

+ etc.

a/ mais le coefficient de /* dans -pétant égal à ^'^'^^4^ ( ^*« 1^34 )> k

même coefficient dans le développement de la formule ci-dessus, sera

:+ (,+,+ «c.){^+^'+-%t:-+-%ii+«c.} + (,+ «c.){^+^+^+%^+-«c.}

+ €tC. ,

Cette nouvelle série équivalente à la proposée , depuis y^ jusqu*à llnfini , deviendra convergente si les quantités vy» 9 v*^', , etc. vont en décroissant; elle s'arrêtera même si Ton a v'j^^^o 9 et donnera alors la somme des suites récurrentes. En faisant x=o , on transformeroit la série proposée à partir de son origine.

En général y si { représente une fonction quelconque de -,

et que Ton désigne par vy,, v*jj^, , vV*i etc. les coefficiens de e' dans tt{, u:(^, u:^^ etc. on parviendra à ordonner, suivant les

puissances de î , le développement de 7-j en multipliant les

3i8 Ch. II. Théorie des s uitEs,

deux teripes de cette fraction par X — {, K étant une^uantité égale à ce que devient { lorsque /= i ^ afin que K — i soit divisible par

I — -. Représentons par

le quotient de la division ^ et nous aurons ^

+ etc.

et passant des fonctions génératrices aux coefficîens , suivant la con« vention établie ci- dessus , nous obtiendrons

+--^— +—|^i; 1 — ^3 h etc.

"+ etc.

Pour avoir toute la série , c*est-à-dire ^ Tintégrale ^y, , prise depuis ^==0 j jusqu'à x infini , il faut faire dans la formule cidessus x=o.

1046. Je ne puis quitter ce sujets sans faire connoître une transformation purement algébrique et fort simple , qu Euler a employée avec succès dans son Calcul différentiel ; elle consiste à faire d^ns

la série

S = ax+bx^+cx^'^dx^+ex^+ etc,

X ^= -=^ . En prenant le signe + . on a

^ =y — y+ y— y + y— y + etc.

:c'=y»— i^H- 3^— 4y^+ 5/— 6y'+etc.

Ar^=y — yy^+ 6y — iqy^+ 1 5^' — 11^+ etc.

X^;:=y— 4y*+ loy— 10^ + 35/— 56^+ e^C-

ctc,

d'oîi

TIRÉE DES Fonctions