GÉNÉRATRICES
cl*oii Ton déduit
S=ay—a y*-^ a
y— etc.
+ jè
—îc
Les coefEciens des puissances de y dans cette série , sont les différences du premier terme ^ de la série
tf+^+c+^+e+ etc.
qu'on obtient en faisant jc=i dans la proposée; et Von conclut
de là que
^ = tfj<+Atf.j^*+AV.y4-A'tf.j^^+ etc.
Cette dernière série sera convergente lorsque les différences de termes de la première iront en décroissant.
Lorsqu'on fait x:=z--^ — , on a v= , et la série ci-dessus
devient
série équivalente à la proposée.
Quand la série a-ht+c-^d+c+ etc. a des différences constantes i on obtient exactement la somme S. Si Ton avoir , par exemple ^
4^+1 f^x*+4ox^+8'^x^+ 1 56^:^+259^5:^+ etc.
on trottveroit^ en prenant les différences des coefficiens numériques ,
a=4 , Atf = 1 1 , A'tf = 14, A^tf =6 , A^tf =0 , etc.
ce qui dbnneroit
AX IIX* JAX^ 6x^
Non- seulement on arrive de cette manière à la limite de la série proposée , ou à sa fonction génératrice , mais on obtient encore la somme d'un nombre quelconque de ses termes. En efiët , la. série proposée étant
S=ax+bx^ + cx^+dx^. . . . +/>jt"+' + yAr"+*+rA:"-*-H^^"*"H etc. Appendice. T t
330 C H, H. Théorie des suit es ^
on aura
/» x"+' + j «'"^ + r *"+' + 5 «'•*■♦ + etc.
et en retranchant cette partie de l'expression totale de 5 , il viendra pour la somme des termes, depuis le premier, jusqu'à celui qui est multiplié par x^, inclusivement ,
Avec un peu d attention on reconnoît facilement que la série transformée n'est convergente par elle-même que dans un très-petit nombre de cas , lorsque les différences àa , aV ^ L^a y etc« ne dé« croissent pas très-rapidement ; mais si l'on donne à jc le signe -^ , la série proposée et la transformée deviendront respectivement
S z^ax — bx^'\- cx^ — dx^+e jc*— etc.
S=a Atf- ~ + à^a ; r;— ^'^ 7 Tx + etc.
i+x (i+xy (i+^y (1+^)^
en changeant le signe de chaque terme ; et la seconde sera convergente lorsqu'on y supposera x=:i et :r<i : le premier de ces cas mérite une attention particulière.
1047. O^ ^9 quand x=iy
Sz= a — b + c — d+ e— etc.
5" = ^tf— i A tf + ^ A*tf— -j^ A^tf + etc.
et par ces formules on trouve les limites d'un grand nombre de séries divergentes.
Si Ion propose , par exemple ,
I — i + i — 1+ I — i+etc.
I — 1+3 — 4+ 5 — 6+ etc.
1 — 4+9—16 + 25 — 36+ etc.
etc.
On trouve pour la première série, tf=i , A/ï=o, A*tfS=:o, etc. et par conséquent S = ^ ^ comme on l'a vu dans le n*. 6 de l'Introduction ; pour là deuxième série «=1 , va=i , S=^i pour la troisième ^=1 , Aa='i , ^*azszi , 5zi:o, etc.
TIRÉE DES Fonctions génératrices. 331,
On arriverolt encore à la limite cherchée, si la série transformée étoit de celles que Ton sait sommer ; mais , sans nous arrêter à ces exemples 9 passons à la série excessivement divergente ^
I — 1.1+ i.i, 3— 1.1^3.4+1.1.3.4. 5 — etc.
Pour obtenir les différences du premier terme , on formera la table
suivante.
termes.
etc.
d'iffér. 1
•rt
différ.
xSjiSo
difiJr. 3*.
On aura , d'après ce tableau ,
+ etc.
série un peu moins divergente que la proposée. Réunissons les deux premiers termes et représentons le teste par S'^ nous aurons
S — ~ + S' et 5'=i 4 8
en transformant la série S'^ comme nous avons fait la proposée ^ nous en diminuerons la divergence , car nous trouverons
+ etc.
LtB deux premiers termes de cette série , réduits à un seul , donnent
^= — + S'', en désignant par S'* l'assemblage de tous les autres ;
Tt 1
33^ Ch. II. Théorie des suites,
et transformant encore la série 5", il viendra
