S''=— IL +112 4^9 ■ 5M'
2771097 i^T— +etc.
Réunissant dans cette dernière les quatre premiers termes , et dési» gnant le reste par S"'^ nous aurons
et si l'on s'arrête après les quatre premiers termes de S'", on aura r'= 11^ __ i2112L , d'oîi Ton conclura 5 = 0,40081038,
résultat qui nVst encore exact que dans les deux premiers chiffres décimaux , à cause de l'extrême divergence de la série proposée. Nous donnerons dans la suite un moyen plus expéditif pour parvenir rau nombre 0,4036514077, exact jusqu'au dernier chiffre. |/ âm it/i '' 1048. La transformation qui nous occupe étant appliquée aux
ï— T + T — ? + i — T7+etc.
dont la première exprime le logarithme népérien de i, et la seconde la longueur de la huitième partie de la circonférence du cercle ( Int. n°'. 16 et 38 ) , conduit à des résultats fort élégans. En prenant les différences des termes de la première, on trouve
Jlflp -ère i. ..^ « ^ 1 ^^^ i i ^,^
ain. 1, a, a3> 34> T^ y — 777» ^^^»
diff. 2% H- j, + 1-^3-7 , + T~-T , +T^T7, etc.
dlfF. 4% + f , etc.
etc.
et Ton en conclut
^'----Î + T^ + TT7 + tt'tt + rnr + etce On obtient pour la seconde série ,
difF.2% +-^^, +—'^V, +-r-f47, +7:V:*rT, etc.
ain. 3, i.3.S.7^3'î'79> ^^^»
TiRÂE DES Fonctions génératrices. 333
ce qui donne
^ a • ).a 1 3-5a»^ îî-7-a» 3M-7-9'a ^ ^*'^*
ou zJ=i + i + 1^ + i^ff^ + L^.ii^ +etc.
La même méthode donne facilement la limite de la série
11— -13 -h I4— I5 + I6 — I74-I8— 19 + etc.
parce que les différences des logarithmes consécutifs vont en décroissant; mais pour abréger l'opération, il faut former immédiatement la valeur du résultat des neuf premiers termes de cette série , valeur qu'on trouve égale à — 0,3911005. Nous supprimerons le détail du reste du calcul qui n'offre aucune diificuhé , et nous dirons seulement quEuler a trouvé pour résultat 0,4891606 ; la différence de ce nombre avec le précédent est 0,0980601 , et, comme logarithme , répond au nombre 1,1533 1 5 : telle est la limite de la série proposée.
1049. ^^^ théorèmes des n*". 864, 873, 913, 914 et 915 se déduisent ayec la plus grande facilité de la Théorie des fonctions génératrices.
Il est visible que
on tire de 1^
les coefficiens de t'y dans le développement des termes
fournis par le second membre, seront respectivement
^^x> ^!yx* ^!y*j etc. ^ et par conséquent on obtiendra le coefficient de ^ dans le développement de ce membre, en développant la quantité
{ ( 1 + ^Jt)" — ï }"*> pourvu qu'on applique à la caractéristique A les exposans des puissances de Ay^ ( n', 1035 )* ^^'^ ^^^^ autre
coté, le coefficient de r% dans le développement de ~^^u^ est égal
334 Ch. IL Théorie DES SUITES^
à y^^^ — y^ ; désignant cette nouvelle espèce de différence par la caractéristique àfj^^ les coefHciens de f^ dans le développement des fonctions
seront respectivement
A>, > a'>x » a'>, , etc.
çt nous conclurons de là que
cette formule rentre dans celle du n**. 873 , lorsqu'on y fait ib=i et qu*on change n en h\ et dans celle du n*. 864 , quand n= i , /o demeurant quelconque.
Si la caractéristique 2' représente l'intégrale relative aux différences marquées par a', dans lesquelles x varie de la quantité n ^ les considérations du n"". 1036, appliquées à ce cas, feront voir que S'"y, est le coefficient de ^ dans le développement de la fonction
u f — — I J , abstraction faite des constantes arbitraires introduites par l'intégration; et comme on a
on en conclura de même que ci-dessus ,
2'">,= {(i + Aj.,)--^i}- (1);
inais il faudra observer de changer les puissances négatives de ày^ ^ en termes de la fornje 7:y, , xy, , etc. parce que le coefficient de /*,
dans le développement de « T i j est l,y, ( n*. 1036 ) : avec
cette attention l'équation que nous venons d'obtenir comprend celles des n". 913 , 914 et 915.
Si l'on change a: en — , la quantité x'. variera de k , lorsque x
variera de l'unité , et nk sera la variation de x\ relativement à la caractéristique a', ç'est-à-dire , que x' deviendra x'+k dans Ay,^,
TIRÉE DES Fonctions génératrices. 335
et x'-^nk dans ^'y^ti il est visible que les équations (i) et (1) subsisteront encore dans cette hypothèse : nous pouvons donc les regarder comme ayant lieu lorsque x devient a: + A, par rapport à la caractéristique a , pourvu que nous supposions qu'il se change en ar+/xA: par rapport à la caractéristique ù!. Si nous concevons maintenant que k représente une quantité infiniment petite ^ ou l'accroissement dx , et que n soit infiniment grand , nous pourrons écrire ndx=:zA^ <t désignant une quantité finie ^' et changer a^, en dy^\ mais les équations (i) et (1) devenant alors
doivent être ramenées à l'hompgénéité conformément aux loix tm Calcul différentieU Pour y parvenir , il suffit de remarquer que
l(i+^^J-=/zl(i+iyJ==n(^~^^* + etc.);
en ne prenant que le premier terme de la série , on obtient n dy^ ^
dy dy
quantité équivalente à ndx~-y ou àiflt-~j et l'équation
l(i+^Jx)''=*-j^ conduit à (i + ij.)»=e*^*, en supprimant
pour plus de simplicité l'indice àt y^ que l'on peut sous*entendrc facilement dans ce cas. Par le moyen de cette valeur , on a
dy A'> = Ce*^*-ir (3),
en observant de transporter à la caractéristique d^ les exposans de dy , et de changer les puissances négatives en intégrales. Ces équations sont les mêmes que celles du n"". 915.
Considérons l'accroissement n comme infiniment petit , ou comme ix , A •>, se changera en iTy , x'>, en -j^ry^^^i €t (i + Ay,)"
33^ Ch. il Th é o r iIe des suites^
dx dxXix-^r^y)
en (i +Aj<) =e , en écrivant dx pour n. Le développe»
ment de cette expression est i + ^xl(i+Àj^)+etc. substituant dans les équations (i) et (i)^ elles donnent
équations semblables à celles des n*". 867 et 915.
La route qui vient de nous conduire ài ces formules a l'avantage de nous découvrir la cause de l'analogie des puissances avec les différences et les intégrales ^ puisqu'elle nous montre que les fonctions génératrices des différences de y^ j sont les produits de la fonction u
par le$ puissances positives de la quantité - --^ 1 9 tandis que celles
des intégrales sont les produits de u par les puissances négatives de la même quantité.
1050. Laplace a obtenu , ainsi qu'il suit , pour les séries de la forme ^
yo+yi^ ^+^.^v +^xûV+ etc.
des formules analogues à celles du n"". précédent. En nommant u la somme de cette suite , ou la fonction génératrice de y^a', on s( l'équation identique
et d'après le n"". précédent , le coefficient de t^, dans la fonction
uÇ — "^^j ^^^^ ^S^^ ^ ^""•^'j'*> ^^ supposant que x varie de la quantité /z. Mais le coefficient de la puissance de f dans le développement de u f ij est a'^y^ , ainsi qu'il tst facile de
s'en convaincre^ en observant que le coefficient de r* dans uf — -p^ 1 j
ai a
et continuant ainsi de proche en proche. Si donc on développe suivant les puissances de — — - x ^ le second membre de l'équation
Ht
identique
TIRÉE DES FoNCTiaNS GSNEJIA TRICES. 3^7
identique posée plus haut , on pouna , dans le passage des fonctions
génératrices aux coefHciens » remplacer les puissances de — .^ i par
ne
celles de Ajr, , multipliées par le facteur commun a% et transporter
après le développement , les exposans des puissances dé aj^, à la
caractéristique a. Avec cette attention y on aura Téquation
A'«.a'j.,= a'{ tf-( J + ày,y^ i r (7) î
puis en écrivant — m^ au lieu de m ^ on aura encore , comme dans le n"". précédent 9
Si Ton substitue ro/ à ^r , et qu'on désigne par y ce que devient
alors yplA différence de x' sera - : en supposant r infini , cette
différence se changera en dx'i oh aura àyx=^dyi on fera ensuite a^^=p9 pour obtenir a'=p'' et a*y^^=f'y. Maintenant si
Ton prend n infiniment grand , et qu'on pose - = « ^ la quantité a
pourra être finie ^ et exprimer le changement qu'éprouve Xy lorsque x devient jr+/i, d'où il résulte que t^"^^p^y\ s'^./^'V'i désignent pour l'ordre /nia différence et l'intégrale de la fonction p'*^y\ lorsque V $e change en jicr'+«. Remplaçant , dans les équations (7) et (8) , A>, par ày^ il viendra
t'''.py= p-' {/^(l +dyj—i } *
et ramenant U quantité (i+^y)" à lliomogénéité » çopun;: dans le p% précédent , on aur* ( i+dyy^ c ^, d'où il suit
A'-.py=p'Xp-f^»-ir (9)
^'vy=— -|^ — (10).
^ffcndhcf Vv
340 Ch. II. T H É 0 RI E DES SUITES^
bien entendu qu'un terme tout constant K, équivalent à ^(>,)**Cy,,)% doit être remplacé par Ky^^ ,^.
Pour introduire dans le calcul les différences de y^\^^9 îl faut développer 5"* suivant les puissances des quantités - — i , -7 i ;
un terme quelconque du résultat , étant désigné par
k( i^ \p — ij et multiplié par tf, ou A^ttf i^ \-T^^ i^ 9
donnera lieu à un développement dans lequel le coefficient f^*^ sera exprimé par K A ^j',,,,. Il suit de là que la quantité v'^y^.,.
se formera dans ce cas en substituant A^,,,, au lieu de — «^ i ^^ et A,,^',,,, au lieu de-; — i, dans ^, et développant alors i*
suivant les puissances de 4,y,,,#, ^x/^*»*^! puis en transportant à la caractéristique a les exposans de ces puissances ^ et mettant ainsi
a'^' v,,^,^ à la place de {^^ys^^.)X^x^yx9s»y'^
Si Ton désigne par 2 ^x > ** Tîntégrale du coefficient y, ; ,; ^ prise
un nombre r de fois par rapport à x seul , et un nombre / de fois par rapport à x seul , et que Ton représente par [ la fonction gêné* ratrice de cette intégrale , celle de la différence 5 J^# 9 ^/ » sera d'après ce
qu'on vient de voir, {( 1 1 J \-y — i ) > et Ton aura par conséquent
connoissant ainsi la fonction génératrice de s ,y^,'r% on aura cettt
intégrale en passant des fonctions génératrices aux coefficiens, NOus observerons qu'à cause des quantités arbitraires qu'elle doit coiki<* porter , il faut écrire
TIREE DES Fonctions GÈNéRATRiCES^ 341
^9 ^7 ^ f*1 9 étant des fonctions arbitraires de / et a\ b\ c y. .\f^f des fonctions arbitraires de / ; d*oii Ton conclut
1051. Appliquons maintenant ces principes à Tinterpolation des séries à double entrée, recherche qui consiste à déterminer Tex*
pressionr'dej^,^^,,/^;^', ou, ce qui revient au même , le coefficient
u rV", dans le développement de la fonction -rmr* ^ ^^^ visible
qu'on a l'équation identique
• + ^vO+'-^FC^O
(--) + etc.
+ etc.
et dans ce développement le coefficient numérique de
a(«— i)(n i). . . .(«__r + 1) a'(rt'— 1)(«'— 2). . ..(«'—./+ ,)
* ' ' *» -Il *■ ^ ' • /
OU [o][/ï][o]f/2']. Cela posé, le coefficient de rV", dans le déveloptement de » (^^ — 1^ {^y — 1^ , étant a y„ ,^ , le terme
543^ Ch. h. Théorie jDÈSSirzTSSf
général de l'expression de y^+n>x)+n, ^^^
jr, 9f
formule dpnt on tire cette série
y^^n^ s,^n'=ysjsn+—^xj^rfs,+ — T": — A'.y,,^^ + etc.
+ , \. ^ 'aVj^^»^+ etc.
que nous avons déjà obtenue» n*. 894, par d'autres considérations. On peut lui donner cette forme
«n -observant de transporter, comme il a été ditdans le n*. précéda à la caractéristique a , les exposans des puissances de t^y^^g^9 ^r/y^^xit et d'écrire y^s ,^9 au lieu du premier terme i , que Ton doit r^ardcr çommç équivalent à (a,j^^ , JX^*^^> »J^
i053« Proposons-nous maintenant d'ordoqneisfc développement de j^^»,x,, suivant les quantités vj',,,,, v>,,,/ , etc, et prenoM CO conséquence
C" D' +-;r + etc.
+ -îiT*
TtRÉE J>Es Fonctions génémataî ces, 343
Soit fait -^ +y-^-^+-pr** + 7:nr=«
c jy
c:+— +ctc.=^
etc.
il viendra î=« tf H J--* . . • é • . • + -^,
équation semblable à celle que noas avons traitée dans le n*. IO39,
et pour laquelle nous avons 4onné Pexpression de — à la page 313;
mais dans le cas actuel , il laut développer de plus les coefficienstf^ h^ Cy^^^q^ suivant les puissances de -7- ^ ce qui changera la quantité *^.f»-m+.+^î^.5 »-«m+,+ ctc.
+ etc.
en une autre de la forme
iH + A^î + etc. + -7-C^. + -^^.{ + etc.)
la quantité c Z, , ^„^, + c { Z, , »,«^, + etc.
+ « -Z. , »-,»^à + < î i^. , »,"4« + etc. =
+ etc en une autre de la forme
M -ir N'i + etc. + -1 ( Ai'. + l^\i + etc.)
+ j^ ( ^^+ A^VC + W. ). . . +^, il^H-o
la quantité « ^. , ji««+, + eic.
+ etc.
en une autre de la forme
M"+N\ + etc. + i. ( iW", -4* A^^î+ etc. ) +4- (^V+J^^\î+ etc.). . . +-irrAiV. ,
344 Ch. II. Théorie des suites^
et ainsi de suite. Il est facile de voir que la somme des puissances
de - et de -7- , dans ces expressions , ne doit point surpasser l'ex*
posant n ^ lorsque cet exposant est entier. Cela posé , on aura ' =Af+ A"{ + etc. + 4- {-*^t+^.{ + etc.)
+— ,-(M'.+A?'.î + etc.)
.(i»f',+JV.î + etc.)
H* +N' i + etc.
+ 7-(+-7r(^'.+^".î + etc.)
M"—) + M"-)î+etc.
+ -l-(JW,("-)+iV,("-0^+ etc. )
+p^(+7r(^.<"-''+JV.<— >î+etc. )
et
TIRÉE DES Fonctions génératrices. 345 et comme le symbole vy^^,, désigne la quantité
^yxix.-'r -ff jKx+ . » ., + ^ y»+. > *". + etc. + B'yi , „+, + C>,+, , „+, + etc.
+C>„„^. +etc.
+ etc. N
et que le coefficient de ft'*', dans le développement de la fonc-
tion -7^, est exprimé par vy^+r^^î+rr ( n*. 1051 ) , on conclura
de ce qui précède , en passant des coefficiens aux fonctions génératrices y que
+ ^.y. ,».+.+ ^x vy* » X-+I + etc.
y>^n » x.= < + A/.JK, , ,,+. + ■'V. vjKx ) x,+a + etc.
^' ^x+. , ., . + -'V' vyx+. , X. + etc. ^ y ^'.J'x+i , X/+. + A^'.vy,+, , .,+. + etc.
^^■"-'^^x+«.,x. H-^^'"-'>vj',+„.,,; +etc. + iW.<"-'>y,+m-. » x,+. + JV.^""' Vj^,+^. , „+. + etc.
Cette suite s'arrêtera lorsque quelqu'une des quantités vy,,^,, Vy„x,, etc. sera nulle.
Si Ton prend vy,,,y=o, et que Ton fasse ensuite a:=o dans l'expression précédente de j^,^;j ,,, , on aura
+Mnyo,Ts^n
• • •••• -jrM ,|,j^, f jp/^-B^i
\4ppcndicc. ■" Xx .
34<5 Ch. II. Théorie des suites^
cette expression s'écrit sous la forme
• •••••• T-^ irir Jm—t > x/4-r *
rintégrale du premier terme étant prise depuis r=o , jusqu à r=n^ i , afin d'y comprendre la somme des termes depuis r=o , jusqu'à r=/ï ( n^. 897 ) ; rintégrale du second terme étant prise depuis r=o , jusqu'à r=ny et ainsi de suite; enfin l'intégrale du dernier , depuis r=o, jusqu'à r=/2 — /n+i.
L'expression que nous venons d'obtenir pour yJ^ , - est évidemment l'intégrale complète de l'équation
+ -o y^ , ^,^, + c yn-^t 9 X/+I •••••••••••••••••••••••••
1054. La recherche de cette intégrale se trouve ramenée à celle des coefficîens M, itf, ,....Af', M\, etc. qui sont précisément
ceux des puissances de -7- dans le développement des fonctions
* Z. , ^^nt+i + CZ^, ^^m^ + etc.
etc.
ces développemens seront faciles à former dès qu'on connoîtra ceux des quantités Z^,^^,, -^a, «-«+.» €tc. ou en général celui de ^.9r> mais on trouvera sans peine, par les formules du n% 1041 ^ que
iMMhi
etc.
,,-iîl
TIRÉE DES Fo NCriONS GÉ S £ kAT RI CE S. }4J
et comme a, fi ^y , etc. sont les racines de rcquation
tf 9"+ * «"•-' + < fl"-* + î = o,
ces quantités seront dans le cas actuel des fonctions de -y. Si Ton fait -y = j , et que Ton difFérentie m fois de suite , par rapport à j , l'expression de Z^, r, pour en éliminer les quantités— 7, -7, -7, etc.
a fi y
on parviendra nécessairement à une équation finale du premier degré par rapport à la fonction Z^,^ et à ses coefficiens diâérentiels ; ces quantités y seront multipliées par des fonctions symétriques des racines <t, fiy yy etc. et de leurs différences, fonctions que Ton pourra par conséquent exprimer d'une manière rationnelle au moyen des coefficiens de l'équation ^ 8*+ etc. = o ( n% 1 59 ). Faisant ensuite disparoître les dénominateurs des termes du résultat, les
quantités Z^, ^, — -^ — , etc. n'auront pour coefficiens que des
ds
fonctions rationnelles de ^ ou de -7- » c'est-à-dire , que les termes
d^Z de l'équation finale seront de la forme JCi" ~r?~^" ^^^ P^^^ * ^^ ^»
désigne le coefficient de i*> dans le développement de Z^,^, le
terme ></ deviendra /(/ — i) (i — i^ + i )^/~'^ 9 en passant
d^Z , dans /"^^ , en sorte que i ( i — i ) ( i — ^ + 1 ) A^ ^^ sera
le coefficient de j""^*"^, dans Péquation finale, et que par conséquent il faudra , pour avoir celui de i' dans la même équation ^ changer i en i — /w + f^ , et A; en A/+w/« : on aura donc
I * pour ce coefficient , le même que celui de -j^. Il est visible que si
dans cette équation différentielle , on remplace les fonctions génératrices par leurs coefficiens ^ on la transformera en une équation aux différences entre les valeurs successives de a^ , et dont l'intégration donnera ces valeurs. Par là l'intégration de l'équation vj^^,,^=:o
Xx 1
348 Ch. H.^Th é o ri e des suites^
est ramenée à celle d'une équation aux difFérences à deux variables seulement et à une intégrale définie.
Pour donner une idée de l'application des formules précédentes , supposons qu'on ait l'équation du premier ordre
Dahs cet exemple
b = B y c =0 , etc.
d'où r = tf#p|--, tffl + *==0, 9 = — «,
ÛA
en écrivant ; , au Heu de —~. Différentiant la dernière expression de Z,,Tf on trouve
ds
rB'{À-\-B's) {-B)
et éliminant la fonction —^ — jrr; — , il vient
^Zo>r
(^+j5',)rJ?'Z„,= o;
substituant enfin dans cette équation , à la place des fonctions génératrices . les coefEciens de -7- • on obtient
J{i+l) hi^^ + B'i A,— r B\.
Or la quantité * Z^,^^^,+/Z^,^^.+ etc. se réduisant â son premier terme , donne seulement Mi = B\. , et l'on en conclut
n9 Si
— BXh
r yc 5 x'-fr y
l'intégrale étant prise depuis r=o , jusqu'à r=/j+i. Il faut faire attention en intégrant l'équation , d'oU dépend a,. , que la cons**
tante arbitraire introduite soit telle qu'on ait a^= r — ^r;??*
TIRÉE DES Fonctions génés^trices. J49
1055. L't'quation v^, , ,,= o , ou
■^yxtx<+Sy^+, '>x.+ ^j.+.» ......... •+?J',+m-, r.
+ ^>„ X/+, + Cyr+, ♦ x,+, + etc.
°=< +C'>,,„+. +etc.
I J'» JX/+111' >
correspond à l'équation ^ = o , ou à
+ — +— +ctc.
^^ +7;+ etc.
qu'on obtient en substituant dans la première , au lieu des coefficiens
yxjx'i 3 y*Jty i*t9 J^*+a > */ * etc.
>'*»x/4.a> etc.
etc.
leurs fonctions génératrices
u, —, —, ttc.
t tt
/ etc.
car il est facile de voir que toute équation du premier degré , qui a lieu entre les coefficiens , doit avoir également lieu entre les fonctions génératrices. L'équation {^^p rentre évidemment dans Téqua-
tîon (1) du n*. 1015, Iqrsqu^on y change - en «, et -^ en jô; et
Ton doit saisir maintenant la liaison des méthodes qui nous ont
3JO Ch, II, Théorie DES s u it e s ^
conduits à Tune et à l'autre: la même correspondance existe à regard des fonctions d'unç seule variable.
Il suit de là que Tintégration de Téquation vjr>*/==o, par la
seconde méthode, revient à déterminer l'expression de - , déve-
loppée suivant les puissances de - , au moyen de l'équation i=^o ;
or il y a aussi dans cette méthode, comme dans la première , des cas
oïl l'expression de -^ se présente d'abord sous la forme d'une suite
in6nie« L'équation
té i t '
qui correspond à
est un de ces cas , parce que la plus haute puissance de - y est
multipliée par -. Voici l'artifice qu'employé Laplace pour lever
cette difficulté.
L'équation proposée donne immédiatement
d'pù on tire
La dernière de ces expressions étant écrite ainsi
A LA T M ko Aî É DEÈ S V t T S S. 3^7
Les premières opérations de l'Algèbre suffisent non-seulement pouf ce cas , mais encore pour toutes ks séries dont le terme général est de la forme
. (rt + iS/i + >«»+ etc. )xf ;
ainsi qu'on peut le voir dans les Elémens d'Algèbre : passons donc aux artifices tirés du Calcul différentiel et du Calcul int^ral. 1058. Considérons d'abord la série
s = x + ix*+'ix^+4x^ + nx^ i
en multipliant tous les termes par — ^ on obtiendra
sdx .
:r^dX'\'X:idX'\' xx'^dx + /ï :c""'V;r :
intégrant ensuite il viendra
dx ^ jt — jt"+*
= :r + :c*+it^ •••+ a;'=' *;
on aura
• , • , * Hsdx « — Ar"+'
et en difFérentiant l'équation / = •
sdx dx'^^(n + i)x''dx + nx'"*''dx
d^oti Ton déduira
La série que nous venons de traiter est comprise dans cette autre plus générale
s=zax +{a + t)x +{a + il^)x +(a + ib)x ^^
+ (tf + (/2— i)*)x
Multiplions les deux membres de cette équation ^slv px'dx^ tïowi aurons
psxdx -= apx tfjr#.#. + (tf + («— i)^)/>:v dxi
cette série se ramèneroit Comme la précédente, à une progression par quotiena , si pour toutes les valeurs de n on avoit
OU tf/^— I + (/ï — !)*/ = * +r+(/i—i) i8;
3 5 1 C H. 1 1. Th é 0 ri e des suites^
Uéquatîon —r — t c = o,
^ ttf t e
donnant aussi
I c -^ ab
on peut chasser la quantité - — * , du résultat ci-dessus , et si on le fait dans les termes affectés de V ^^ , f",^. , etc. on obtiendra
Passons maintenant des fonctions génératrices aux coefHciens. Il
u est visible que celui de f'r ', dans -^7^ , est y,\^,\ la quantité
u(- — b\, mise sous la forme «^'(7-7 — ij, étant développée, devient
d'où l'on conclura que le coefficient de 1"^°^ dans cette fonction est
développement qui est celui de ^'a',/*^^—), pourvu que l'on fasse
^'=0 après la difFérentiation. On se convaincroit de la même manière que le coefficient de /""/% dans le développement de
ui a\ ^ doit être a'ùjjA '""J "" ■} > en faisant jr = o après la
. différèntiation ^
TiRÂE DES Fonctions génératrices. 353
(diiTérentiation ; et Ton aura enfin
'^{c + al>y '\ a' J
pour riotéçrale de Téquation
En développant cette intégrale , on reconnoîtra sans peine qu'elle exige la connoîssance de la première ligne horizontale et de la première colonne verticale de la table à double entrée qui correspond à réquation proposée,
1056. Des considérations absolument semblables à celles du n*. 1 049 , vont nous conduire aux formules que nous avons dé)4 obtenues dans les n°'. $65 , 867, $69, 895,
Soit maintenant
^— >'.,.+ J',».'+J'.,.«' +^i»o'' +etc.
+7«> /^ + etc.
+ etc.
Si Ay,;,;; désigne la différence de j^,,,;, prise en faisant varier en même tems x et x\ la fonction génératrice de a"^,,,/ sera
u{ — ;-'— p I J , n\ 105 1 ; mais il est visible que
^ que par conséquent
«(;^- !)'"=« {(i+7-t)(i + 7- 0-0-; 4ppmdicc^ Y y
3 54 Ch. IL Théorie des suites,
le développement du second membre de cette équation pouvant être ordonne suivant les puissances de - — t et de - — i , contiendra
les termes uf i j , uf^-^ij , qui sont les fonctions généra-
m fi n'
trîces de a r^^xf^ ^ Jx^x»* passant donc de ces fonctions à leurs
coefficiens^ on aura
ày,,x»={ ( ' + ^syx.x.) ( I + A„y„ ,0— ï)"* en observant de transporter, dans le développement du second membre, à la caractéristique a les exposans de a,j^,,„, ^x,yx%xf Il suit aussi de ce qu'on a dit ( n*. 105 1 ) , sur les fonctions génér ratrices des intégrales , que l'équation
doit avoir lieu dans les mêmes conditions que la précédente 5 et en remplaçant les puissances négatives des différences par des intégrales*
Dans les formules ci-dessus , les différences des variables x et x*
sont égales à Tunité; mais il est visible que «f-vT^^-iJ est
la fonction génératrice de la différence A''"y,,/,, prise en faisant varier x àtntt x' de n'i et en vertu de Téquation identique
U viendra encore
dans les mCmes conditions que ci-dessus , relativement aux exposans des différences.
Ces équationssubsisteront encore, sîTon suppose que les différences de X et de x', au lieu d'être i , relativement à A^y,, ,^ et à A,,y„ ,, ^ soient k et k!\ mais alors , dans âJy^y ,^ , les différences de x et de x' seront respectivement knti h!n'. En considérant k et k! comme infî-
TIRÉE DES FoN CTIOKS GENERATRICES. 35Ç
niment petits , ou comme Jx et dx'j tandis que n et n' seront infinis , on pourra faire kn=:A, â:V=a^ a et a' désignant des quantités finies; dans cette hypothèse, à,y,^^^ «^ A^^y,,, deviendront les différentielles partielles de y, et se changeront par conséquent en
dy dy
-rdx y -^-rdx : on aura dx dx
d'oïl on déduira
** Jx » xi ^
Supposons maintenant que les accroissemens n et n' soient infiniment petits , tandis que k et k! soient finis , ce qui changera nk en dxf n'k' en </a:', et A'"|y,, „ en «Ty ; nous aurons
formule qui revient à
On trouveroit facilement pour fonctions de trois et d'un plus grand nombre de variables, les formules correspondantes à celles qui procèdent.
Yy X
3î6 Ch. m. Application DV Calcul iNTàcRAL
mt^-mm
mmm0
