CHAPITRE III
Application du Calcul intégral à la Théorie des suites.
1058. Li'i NT ÉG RATION des difFércntlelIes à une seule variable ayant conduit à des séries , on en a conclu qu'on pouvoit représenter une série par une intégrale, et comme on a des méthodes pour calculer , au moins par approximation , la valeur d'une intégrale entre des limites données ( n"*. 470 ) , on a cherché à remonter d'une série à l'intégrale dont elle est un des développemens« C'est par ces considérations qu'Euler a créé, pour la sommation des séries et la recherche de leur terme général , des méthodes trèS'» ingénieuses que nous allons faire connoître successivement^
De la somma-* ^^ première de ces méthodes consiste à effectuer sur la série protlon des sériesi posée des opérations telles que les résultats successifs conduisent en
dernier lieu à une série que l'on sache sommer , ou qui soit semblable à la proposée.
La progression par quotiens ( ou géométrique )
a û^b a-\'ib tf+3^ 4+(''*— ')^
est un des cas les plus simples. En passant le premier terme du second membre dans le premier membre , et ajoutant aux deux le
terme x , il vient
J — ^+JC = x -{-x .....+.V
=x \x +^ +jr I
a a'\'nb l
d'oïl on tire s — x +x = sx ; et par conséquent
a û'^'nb
À LA T M ÈO Aï É DES S V t T S S* 5^7
Les premières opérations de l'Algèbre suffisent non-seulement pouf ce cas , mais encore pour toutes ks séries dont le terme général est de la forme'
. (ce + iS/i + >«*+ ctc,)xf ;
ainsi qu^on peut le voir dans les Elémens d'Algèbre : passons donc au>c artifices tirés du Calcul différentiel et du Calcul int^ral. 1058. Considérons d'abord la série
j = ;c + iAr»+ 'ix^+ 4x^ + nx"" )
en multipliant tous les termes par — ^ on obtiendra
sdx .
==-^0:+ x:idx'\''ix''dx.. + /ï Ar""* V;r :
intégrant ensuite il viendra
'sdx , jt*— jt""*"
= :r + :c*+ x^ + Ar'= ^ '- ,
on aura
et en dlfFérentiant l'équation / = •
sdx dx^^(n + I )x''dx + nx'"*''dx d^oti Ton déduira
La série que nous venons de traiter est comprise dans cette autre plus générale
s=zax +{a + t)x +{a + il^)x +(a + ^b)x ^
+ (tf + (/2— i)*)x
Multiplions les deux membres de cette équation par px'dx^ nowi aurons
psxdx = ap X dx...^ + (a + (n^^i^i)px dx;
cette série se ramèneroit Comme la précédente , à une progression par quotiena , si pour toutes les valeurs de n on avoit
OU 41/^—1 + (n — I )*/ = *+ r+(/i—i)i8;
348 Ch. 11.^ Th é o ri e des suites^
esc ramenée à celle d'une équation aux difFérences à deux variables seulement et à une intégrale définie.
Pour donner une idée de l'application des formules précédentes , supposons qu'on ait l'équation du premier ordre
Dahs cet exemple
lz=zA -{ 1 — p, a=j4 + — y b=zB^ c=o,etc.
d'où ^ = tf#4--, flfl + ^ = 0, 9 = r=r«,
en écrivant 5 ^ au lieu de ^^. DifFérentiant la dernière expression de Z^,r, on trouve
ds ~ {—sy^' '
et éliminant la fonction — - — irr- — , il vient
ds
substituant enfin dans cette équation , à la place des fonctions génératrices , les coefficiens de --7- , on obtient
Or la quantité i Z^,^^,+ /Z^,^^^.+ etc. se réduisant à son premier terme ^ donne seulemerit Mi=Bh.^ et Ton en conclut
l'intégrale étant prise depuis r=o , jusqu'à r=n+\. Il faut faire attention en intégrant l'équation , d'oU dépend a^ , que la cons-
tante arbitraire introduite soit telle qu'on ait k^= z — ^ ^ ,
TIRÉE DES Fonctions cÊNin^TRicES. 349
1055. L't'quation v^,„,= o, ou
+'ff>,,x/+. + ^>.+. ♦ X/+I + etc.
correspond à Téquation î = o , ou à
B' C + — +— + etc.
r tt
^~^ +•— +ctc.
qu'on obtient en substituant dans la première , au lieu des coefficiens
J^* > ary+l > V xJ^\ » x/4-i > ^*^*
etc.
leurs fonctions génératrices
u, —, —, etc.
— , — , etc.
t tt
, etc.
car il est facile de voir que toute équation du premier degré , qui a Heu entre les coefficiens , doit avoir également lieu entre les fonctions génératrices. L'équation ^^^p rentre évidemment dans Téqua*
tion (i) du n*. 1015 , Iqrsqu'on y change - en «, et -^ en jô; et
l'on doit saisir maintenant la liaison des méthodes qui nous ont
350 Ch. il Théorie des s u it e s i
conduits à Tune et à Tautre: la même correspondance existe à regard des fonctions d'unç seule variable.
Il suit de là que Tintégration de Téquation vy,,,/==o, par la
seconde méthode, revient à déterminer l'expression de -, déve-
loppée suivant les puissances de - , au moyen de Tcquation ;5;=:=o ;
or il y a aussi dans cette méthode, comme dans la première , des cas
où l'expression de -^ se présente d'abord sous la forme d'une suite
infinie* L'équation
lé i i '
qui correspond à
est un de ces cas , parce que la plus haute puissance de - y est
multipliée par -. Voici l'artifice qu'employé Laplace pour lever
cette difficulté.
IL'équation proposée donne immédiatement
d'pù on tire
^a dernière de ces expressions étant écrite ainsi
..■MiM^wa
A LA Théorie des suites., 361
qui se changera en / j
dx^
depuis x—Oy jusqu'à x=i, pour obtenir la somme de la série particulière que nous considérons maintenant. La limite se trouveroit en faisant * = i et i8 = i , dans Texpression
fi ^ (^x ^ àx y qui répond à la supposition de n
ax^
être prise depuis jc = o , jusqu'à :r = i . Voilà une nouvelle expression de la transcendante indiquée dans le n\ 915.
AT
Passons à la série dont le terme général z r-; r renferme
deux facteurs à son dénominateur et oh , pour abréger, nous avons mis :t* au lieu de :*:*"^^*""*>*, ce qui ne diminue pas la généralité de l'expression. On aura ^ relativement à cette série , Téquation
d*oîi l'on déduira
pd{x's) /^ ( I + r) x' ^^n + r)^+-'
On peut toujours déterminer les nombres /^ et r de manière à faire disparoître Tun des facteurs du dénominateur , en posant
h pn-^pr^^^an + b y d'oîi il suit p=^ay r=-, et
ad{x's) x^ x""
dx c+c cn + c
jipp^ndice. Z z
361 Ch. IIL Appiicjtion DU Calcul intégral
Maintenant si Ton faisoit = /, on aurait une série qui
dx
seroit dans le cas de celle que nous avons traitée plus haut ; mais on arrive immédiatement au résultat en la multipliant par /'V^ ce qui conduit à
dx c-i'C cn+c
dx"" c + c
posant ensuite
— +p'^+ p'i^ — P'=' en + Cy u
il vient
a c et l'on a pour dernière transformée
écd{x ^ ^d{x^s)) c ^
dx^
En intégrant deux fois de suite, puis tirant la valeur de ^j on trouve
^^F ' ''"7"'Kt=7-)»
acx'^
A LA Théorie DES suites. 363
et en réduisant la double intégrale à des intégrales simples ( n"". 486 ) , il vient
Il faut observer que cette dernière expression se réduit à ~ quand bc:=iae, parce que la précédente étant alors
dx . ~ . /I — JC*
acx^
doit se ramener immédiatement à
^^^^ Mtzt") "^"^^ ^^ ^ ^ ^ ^ (-^i?)
et que dans le cas où bc = ae, le produit {aa + b)(cn+e) devient i:(an+ty , en y mettant pour c sa valeur.
Il est aisé de voir que si l'on youloit obtenir la limite de la série
proposée , il faudroit mettre sous les signes d'intégration , au
lieu de
La méthode est générale, et s'étend à toutes les séries dont le dénominateur peut se décomposer en facteurs rationnels et du premier degré par rapport à n. En suivant la marche tracée dans les deux exemples précédens ^ on trouvera que la série , dont le terme général çst .
p pour somme . -
Zz 1
3^4 Ch. IIL Application du Calcul intégral
et réduisant à des intégrales simples , on obtiendra
forme qui présente une loi très-simple , d'après laquelle on peut coiir tinuer ces expressions aussi loin qu*on voudra. Lorsque le terme général sera
on aura
i l i l f, £-i. * {izJL\
s = ^-/** *^ ''*/*'' /" dx/xl, A 'dx/j^dx\ 1—* /
tfc/Ax*
ax ~^f^dxQ^) cx'"cfx'^dx(lr^)
J "*■ {ae—bc)iag—bf)iak-'bhy{bc^at){cg—ef){ck-~(h)
«il . -* i
fx ffxfdxQ—^-^ hx àf^hj^(l:ZfJ^
+ ib/-ag)ic/^g)U'k-gk) '^ {bh~-ak)ith-.ek)Çsh^fKi
'io6o. Ces expressions donnent - quand les facteurs du dénoflû-
nateur du terme général sont égaunç ; il est plus simple de chercher immédiatement , en supposant dans les calculs indiqués ci-dessus ,
fl=c=/=etc. ^::=g=:A = etc.
les expres^ons qui conviennent à ce cas, que d'entreprendre de
les déduire des précédentes. Lorsque le terme général est - — ,^3 >
A LA ThÂOJBLÎB des SUITES. 365
en trouve
\ rdx rix "*, /i — V\
Qxy/x^ d:c( '-^ yiXxfx- dx(\x)(l-^) +fx " dx(}xy(l^-^)
lorsque ce même terme est 7 — — -r 9 i^ vient
(an + bp
«t pour rezpression -. — —rrs , on a en général
i S + i — il — i. (uy-'/x' dxCixy ( )
Ces valeurs se simplifient beaucoup lorsqu'on y fait jc=i , ce qui donne 1 x=o ^ en dehors des intégrales seulement ; on obtient alors
fx^dx(\xy-'(^^^)
l.l*3.*..(/w— i)a"* pour la isomme de la série dont le terme général est ^ ^
Tintégrale étant prise depuis :t=o , jusqu'à a:=ï j^ le signe + ayant
^66 Ch. m. Application DU Calcul intégral
lieu si m est impaire , et le signe — si m est paire. On comprend le double signe ± dans la formule ^ et écrivant 1 - au lieu de Ijt,
puisque 1 - = — 1 a: , et on a
Enfin on obtient les limites des séries proposées en mettant seu«
lement , au lieu de
io6i. La combinaison des méthodes indiquées dans le$ trois n^'. prccédens , conduit à la sommation des séries dont le terme gé-
néral est r-—^ les lettres A tt B désignant des fonctions ration* B
nelles et entières de n , décomposées en facteurs du premier degré.
On fait disparoitre successivement les facteurs du numérateur par
des intégrations répétées , et ceux du dénominateur .par des difFé-
rentiations. L'exemple suivant suffira pour mettre sur la voie des
applications.
Soit T- x"" le terme général de la série proposée ; on muU
li pliera parpx"^ les deux membres de l'équation
a + p xa-^-b an+b
et passant ensuite aux différentielles , celle du terme général ser^
an-\-b
on fera donc pn=an ; pr=b , ce qui doinncra cette équation
.l.^=(ct + i8)A:* +(lrt + ^)A;^ + (/2tf + i8 )x^ ,
dont le second membre ne renferme plus de dénominateur. De nouvelles opérations , semblables à la précédente ^ feroîent disparoitre
A LJ T H È O Rt E DES SUITES. 3(^7
les facteurs qui resteroient ^ si k dénominateur en contenoit plus
d*un.
En multipliant la môme équation par px* ; et prenant ensuite Tintégrale de chaque terme ^ celle du terme général sera
ap(aLn+fi )x^
le facteur etn + (i du numérateur dîsparoîtra si Ton fait
aApnz=!:an , ap ^z=zb -{- ar ^
l fi b
d'oîi il suit pi^-j r=-— -,
a AU
-/AT* ^d{x^s)=X* +X^ + X^
et par conséquent -fx*- ^d{x'^s) = x^ V ZZ"")*
b 0 ' fi+A
on tire de là 5 =
ax*
10.62. Dans les séries que nous avons considérées ci-dessus ^ le nombre des facteurs , soit du numérateur ^ soit du dénominateur , étoit le même pour chaque terme ; mais il est une classe de séries qu'Euler désigne sous le nom S hyper géométriques , dans laquelle ce nombre augmente d'un terme à l'autre: la série
g+g^ 0^+^X2^ + ^)^, , (^ + ^ {<^n+li)\
a+b '^ {a + b){ia + b) (^ + *) {an^b)^ '
est de cette classe. On va voir que leur sommation se ramène
à rintégration d'une équation différentielle. {1
Le cas le plus simple est celui dans lequel le terme général est de
la forme
(« + i8)(2rt + i8) {cLn + fi)x''i
par la méthode du n"". 1058 on fait disparoître le dernier facteur
3<58 Ch. III. Application du Calcul intéguàl
fit /2 + i3 , et on ramène la série proposée à ce qu'elle seroit , si Ton en retranchoit le dernier terme. On obtient de cette manière
p \ SX ax — ■ • •••••+ - •
r-hi « + /-+I *
posant ;?(*/2+^)=n+r+ i , il vient /?=-, r= i , et
d'oii l'on conclut
21^ I=(* + ^)a: +(* + i8) «>»— O + iB)*-'.
. et faisant pour abréger (*+^) («^+i8)=-^, on a
Lorsqu'on délivre cette équation du signe /^ en la difFérentiaQt ^ elle conduit à
équation du premier degré et da premier ordre , dont l'intégrale donnera l'expression de s.
Il peut arriver que chaque terme de la série proposée contienne deux ou un plus grand nombre de facteurs de plus que celui qui le précède j il faut alors un nombre d'opérations successives égal à celui qui marque l'accroissement du nombre des facteurs d'un terme à Vautre. Si Ton avoit, par exemple
une première opération semblable à celle qu'on viçnt d'efièctuer ci-dessus , changeroit l'expression
(ct + ^)(2« + i8).,.-..(«(l/î— 0 + ^)^,
terme général de cette série , en
n + iS— Tflt
et
A LA Théorie des évites. 36^9
et une seconde opération effectuée de manière à faire dlsparoître le facteur (tf(i« — 2)+i8)f réduira le résultat ci- dessus à *
(tf+i8)(i(t+/3). («(1/2— 3) + i3)ar''"*,
tenne qui précède celui qu'on a pris pour le dernier dans la série primitive.
Cest encore par le même procédé qu*on traiteroit les séries dont le terme général est de la forme
(*+^)(i**+i3) (**+>).(>+/)( i>+<r) iyn+^)x''i
par une première opération on feroit dlsparoître le facteur Àn+fi^ et par une seconde le facteur ^^n+fT: en suivant la même marche ^ on s'éleveroit facilement aux séries dont les termes généraux ren<» fermeroient troi; ou un plus grand nombre de progressions de facteurs.
1063. Lorsque les facteurs sont au dénominateur ^ que Ton a, par exemple ^
on employé la différentiation ; il vient pd(sx') p{r+i)x' ^ ^ p(n + r)x'+'-'
dx «+i3 (« + i8) («*» + i8)*
X'^dx
En développant Téquation différentielle on trouvera
^dx — xdx (w^ — 4P")^JC
ai 4" "** " ' * ' ^^^^^ " ' ' f
AX' Aùt,
jlpptndlu. A a a
370 Ch. IIL Application bu Calcul intégral
équation qui s'intègre en la multipliant par «"^ x^, et donne
Deux opérations semblables à la précédente ^ eflOectuées successivement sur la série dont le terme général est
AT
ou dans laquelle le dénominateur d'un terme quelconque ^ renferme deux facteurs de plus que le dénominateur de celui qui le précède j la ramèneront à ce qu'elle seroit si l'on en retranchoit son do'nier terme. 11 en sera de même d'une série dont le terme général aura un dénominateur composé de deux classes de facteurs ^ et en général rien n'est plus aisé que de pousser l'application de la méthode aussi loin qu'elle peut aller.
Lorsque les facteurs du dénominateur sont élevés chacun à une même puissance ^ le calcul mène à des expressions plus simples. Quand le terme général est
(ct + isy C*/ï + ^)*'
on trouve
pour le terme général
on obtient
m^d{xâ{xd{x^s))) *
x*dx^
et ainsi de suite.
 tA Tn à ù ît I E DES^ SUITES. 371
1064. PaslOM mamtenant à k série dont le terme général e&t
{a^h)...... (,an^b) ^^
on obtient d'abord, par Hntroductiôfl du facteur /^at'' et Tinté* gratîon ,
^^ . (r+i)(«+i8) •**^(r + /i+i)(«t+^)...(«»+i8)* ' posant tf/>/r+/i *=r+/r+ 1 , il vient p^^-, f^^ , et
multipliant ce résultat par p x\ puis prenant sa difiërentielle , en
faisant Bp+apn'\'apr=:adLn+a$\ on trouve /^=* , r= ,
flt II
■ ■ ■< «ii*» X rs ^ — « ■ — __-- x^^
a x^dx
^ Cet exemple montre assez comment il faut opérer sur les autres cas - compris dans la classe de séries dont il fait partie.
1065. Depuis le n% io6a nous n'avons donné que les somme» des séries proposées ; mais il est visible qu'en: suj^rimant dan$ leurs expressions le dernier terme de la série , on aura sa limite : on tirou-^ vera ainsi, pour la seconde série du n\ 1062 ,
fx^ sdx
€tX^
et faisant disparoitre le signe d^ntégratîon , oïl obtiendra une équation différentielle du premier Ordre et du premier degré , dont Hnté* grale donnera l'expression de 5- Si l'on y change x en — r , et qu'on prenne le résultat total avec un signe contraire à celui dont il est affecté , on aura la limite de la série
(* + i8)^~(* + i8)(i* + j3)^*+etc.
9 Aaa 1
37^ Ch* IIÎ. Applica tiok dv Calcul intégral
Quand )8 = o et « := i , la série précédente devient
5= i.:r— i*2,af*4- i.x.j.AT^— etc.
et Ton a l'équation
fsx^^dx
qui donne par la difFérentiation
sdx » , . '^C-«^+l) , ^•*'
^^dx^z^^xds-^sdx y oua^ + -^ -dx^s^ ;
cette dernière équation a pour intégrale
S^Lxf, XJ^ Ç^^o ç^^ J^.
Nous pouvons aussi déduire des formules ci-dessus l'expression de la limite de la série
s'z=x — I ;c*+i*l.Jc'— l.l,3*jr*+ etc.
car , en la comparant à la précédente , on trouve que s'zssx'^sx, d'où il suit ds'=zdx — sdx — xds , et l'équation
—^dx^=^'^xds — sdx y
changée par ce moyen en
. , s'dx dx ds'Jr—r — — f
a pour intégrale
s=ie I .
Nous ferons remarquer qu'on arrive immédiatement à ces derniers
résultats, en combinant ensemble les équations
s'^=x — i.A,* +i.2*^^ — i.i.j.;^^ + etc.
-*— = 1 — i.2a;+i.2.3 x^ — 1.2.3.4:^^+ etc,
dx
dont la seconde revient à --=— = .
dx x\
A LA Théorie des suites. 373
le dx
Si Ton fait a:=s i , après l'intégration , l'expression s'^=zej
qui répond à cette hypothèse , est propre à faire connoître la limite de la série divergente
I — i + i.i— i.i.3 + i,i,3.4 — etc.
dans laquelle est comprise celle dont nous nous sommes occupés déjà^ n% 1047: on aura
ï — 1 + 1—6+14— 110+ etc
1 1 dx . — ej
yt dx peut se calculer par les divers moyens indiqués dans les n*"'. 470 et suivans.
En ne prenant d'abord de la formule du n"*, 480 , que les termes multipliés par la première puissance de <t ^ on aura
i'.r=«{ir+r.+r'. +r„.+fr,}.
Y\ Y\ , etc. désignant les valeurs successives de la fonction — ^ ,
comprises entre les deux limites ;c = ^ et x'=^b de l'intégrale ,
et n leur nombre.
En faisant /z=$ io« il vient «= — , à cause que les valeurs ex-
trêmes de x sont o et i ; et Ton a pour la suite des valeurs de a: ;
10' lo* 10^ 10^ 10' 10* 10* 10* 10* 10^ '
pour celles de y
10 10 10 <Q 10 lO 10 10 10 10
t xc
i' ^ ' i' JL' S' 4.' -' :
3^ 4^ 5e o« 7< oe 9^
374 Ch. III. Application du Calcui intégrai,
d'oii l'on conclut
c ic 3e 4e ^C
P dx
pour ia première valeur approcnee ce 1 iniegnut
Euler , en mettant pour le nombre t sa valeur 2.^7x8281818 a trouvé
— = 0,07357587 — =o>o500oooo.
la somme de ces nombres est 0,59637164. Il est visible qull suffit de retrancher ce résultat de Tunité pour obtenir là limite de la série
i-^i.2+i.i,3 — 1.1.3.4+ etc.
Ton aura par ce moyen 0,40361836^ nombre qui s'accorde dans les quatre premières décimales, avec celui du n"". 1047» ^^ porteroit l'exactitude beaucoup plus loin encore en calculant un plus grand nombre de termes de la formule du n*" 480^ et sur* tout en augmentant le nombre des valeurs intermécQaires de Y^ ou en di^^ minuant a.
L'expression cj ^ se transforme en A- — r— > lorsqu'on
^ Ji — Iv
A LA Théorie des suites. 375
fait ^ *= V , j)u ^ = ; — : les limites de x étant o et i , celles
I — Iv
de V doivent être aussi o et i . Si Ton intègre par parties la formule
; — dv , en opérant sur le facteur dv^W viendra
I — Iv
dv dv i.v 1.2.V T.2.3.V
rilû'^i— lv""Ci— lv)*'^(i— Iv)^""^!— Iv/"^ *^'
d'oîi il résulte la série
I — I + 1 . 1— I.1.3+I.1.3. 4— etc.
quand on prend v= i» On obtiendra donc encore la valeur ap* prochée de la limite de cette série en calculant celle de l'intégrale
7— par la méthode du n*. 480 (*).
^fÊmm^'mmmmmmmmmmm^tmmmmtmmm^tmi^Ê^i^^mi^mmmÊaÊmmmtm
(^} On ramènerolt à une fraction continue Texpression de j, en appliquant
sdx dx a réqaatlon différentielle dsAr = — la méthode du n^ ^08, maïs il est
bon d'observer que Ton peut aussi déduire immédiatement de la série
1 — 1 *+ i.a.jc*— i-fl.3-Af^+i.a.3.4.jc*— etc. une fraction de cette espèce. En représentant la série proposée par ^, Euler fait
X — flx'^+6jc^*-24^^+iiojc^ — 7aQac'4'5Q40*^— -g^C' *
1 — af+2**— 6jc»+a4«*— iao«*+7io«*— j040*7+etc.' ' i+C
y— 4Jt*+ xix^ — 96x4+ foojc^— 43^0 Jc'+etc. X
i..2x + ^^^""^4^'+i3^^'~*7^o **+ etc. ' i+Z>
g y — iax*+7flx*— 48ojic4-|*3foojc5 — etc. ùx
I— 4*+i8 *•— . 96*'+ 600 «4— etc. ""!+£
^ 2 > — i8 Ac*+ T44 Jg^*^ laoo jg^+ etc. %x
1 — 6jc+ 36jif*— .340** + etc. ' * " '*"~i+F
^ 3jg— ^6>c*+ 360X*— etc. 3Ar
'•*?i — çof-j-ja**— 6oox'+etc."* ' ' i+G
3jg— ^48^*+etc. ^ 3Jg
I— iax+120**— etc. "" " 1+^
^, 4^— etc, 4* ,
I— «i6« + etc. 1+/
37^ Ch, III. Application DU Calcul intègrjcl
1066, Passons à la première des séries considérées dans le n*. 1063 dont la somme est
X fi X fi
