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son premier fkcteur « *, produit la série

fi X

—.«*«« *(i + +jii — -—i+^-i ç ^ + etc. }.

Cette série s'arrêtera quand fi sera un multiple de a ; dans ce cas le dernier terme stra — « { fi (fi— à). ,»•••«} , quantité qui , prise avec le signe + , donnera la constante qu'il faudra joindre à l'intégrale pour qu'elle s'évanouisse par la supposition de x=o : nous conclurons de là que la limite de la série proposée sera alors

X fi

s^fi{fi^a) ac^x^ ^— { I + 1+^^^7^^ + etc> }>

Si l'on fait i3=ro, il viendra seulement s s= c^^^ i ^ résultat qui t%t en effet la somme de la série

dans laquelle l'hypothèse établie change la série proposée ; lorsque 0^=zsL et fi^^xtt , on trouve successivement

IC X^ X* X x^ *

\\ est facile de pratiquer sur les autres classes de séries ce que nous venons de ^ire sur les précédentes,

ie67. Nous allons parvenir dans cet article à une formule fort élégante que Parseval a donnée dans un Mémoire sur l'intégration des équations dî^érentîelles partielles , et au moyen de laquelle il obtient la limite de la série

^^+iî5'+CCr+Z>Z)'+ etc.

toutes les fois que celles des séries

4 + B x -H (7** ^ Dx^ ^ ctc,

^'+i?'J- + r4-+J5'-i- + etc.

sont connues. Soient ^ et ;r ces limites i il est visible que le

37* Ch, III. Application du Calcul intâoral •

produit des deux séries ci-dessus renfermera trois espèces de termes : I^ des termes délivrés de x^ qui s^obtiennent en multipliant entr'euz les termes correspondans de chaque série , n"", des termes contenant des puissances positives de x , 'Ç. des termes contenant des puissances négatives ; ce produit sera donc de la forme "^

jijf+BB'+cc+Diy + {**"•} + {/3 a} =-x:^'>

en désignant par { «jt" } tous les termes aflfêctés des puissances positives de X , et par { i^ — [ tous ceux qui n en contiennent que dé négatives. Cela posé , si dans cette équation l'on fait successivement

x^^cosu-^ ^ — \%\tiu^ x = cos« — y — I sîntf ," on obtiendra deux résultats de la forme

^^+iî5'+ClC"-4-Z?2?'...+ {4cos/»tt + /^siniw«) )^^

+ 1 iS(cos — mK + y — I sin — mu^ } )

^-^'+5J5' + CC'-f-Z)Zy-.+ {«( cos m u V/H7sin /»«)}?

+ {ie(cos — mu — V — isin — /w)} )

V et V désignant ce que deviennent X t\ X par ces substitutions; mais comme

cos — muz=L cos mu j sin — mu-=i — sin /n ix ;

on déduira de ce qui précède , cette nouvelle équation :

x{AA' + BÏÏ + ce + DD'.. .) + 1 { *cos;wtt } + 1 { jôcos/w» } = C^+ V\

oîi il s'agit de faire disparoître les termes affectés de cos mu. Or c*cst ce qui s'effectue en multipliant chaque terme de Téquation par du et prenant son intégrale , depuis u=zo , jusqu'à u=t , ou la demi-

circonférence, puisque l'expression fducosmu= — si n/w// est nulle

entre ces deux limites ; on aura ainsi

i'7r(yéA'^BB'+CC+Diy )=f{U+U')du,

d'où l'on conclura

JJ'+BB'+CC+DD' = —f(l7+l^')du.