m-\- 1) dx
Cette expression est présentée d'une manière un peu différente
dans la ThéorU dts Fonalom analytiques. Lagrange y suppose que la
fonction ({x—xi)y se change en f(^), lorsque x — x^ devient
{x — xi) + x[ou x\ et suivant la notalion dont nous avons fait
usage dans le n°. ^ , il obtient cette équation
équivalente à celle-ci
„ xrdY x't'd'Y xy d^r
•'^ ^ 1 dx'^i.idx'*^ 1,1.^ dx'''
dans laquelle Y désigne ce que devient y ^ lorsqu'on y change * en jc — xî, et j;' représente x — x^. Si l'on fait en premier lieu
(y = Y^-xP, P étant une fonction inconnue de ç, et qu'on prenne de pan et Â'autre les difféientielles par rapport à ^, il viendra
dr dp d^ di
dx = --j(x-l-)d:c.
dx'-
dr
dr
puisque dx'^={i — [)dx — xd^: il suit de là que — — =^— ar — 7, et que par conséquent
■ siaîs comme Y se change en y lorsque {=0 , il faudra que l'intégrale ci-dessus soit nulle lorsque { = 0.
Supposant ensuite que
x^dr
jSi Ch. III. Application du Calcul intégrai.
Et ditférentiant par rapport à ^, il viendra
dr JY d-Y dO
d[ dx
équation qui se réduit à
a cause que -j— = — «
dY Ti'
dx'd^
d-Y dO
dx ■ ai
d'Y dx'di
d'Y -X — ;-; on aura donc ;
dx
di '■dx'"' ^ ■' s dx" Vit le même procédé on tire de l'équation »[ dY x\- d-Y . ,„ dR
' fl'Ç -^ i.i dx'
en faisant Us léductions qui peuvent résulter des équations précé-
dentés, cl en observant quen gênerai — — = — x — - .
^ dx 'di dx"
La formule générale , qui renferme toutes les précédentes , est \ visiblement
(^î)"'-' d^-^Y ^ ^^^ c-'di <rY
l'intégrale devant Être nulle lorsque ^=o.
dY d'Y
) dx" ■
Quand on suppose ^=i t '^^ fonctions Y,
dx' * dx'''
dy d'y autre chose que ce que deviennent j', — — , j— ^,etc.lorsque*=:o, |
puisque dans la première hypothèse , la quantité x — ar^ se réduit à o. La formule ci-dessus donne donc , dans ce cas , pour le développement de la fonction y , suivant les puissances de x , jusqu'à la m™' inclusivement
I dx
i,i...(m— i) dx""'' '"'' i.z...{m — ï)dx'' l'intégrale qui termine ce résultat étant prise depuis { = o , jusqu'à î= I.
Maintenant si l'on change « en A , ar' en A'=(i — ()k , il viendra h dy ^ dy h-~' d-'y f~'di d'Y
i dk i.z dk'
l,i.,,(m^-l) dh"'
