m — J) dh

Ib

A LÀ Théorie des svîtes^ 38j *

puis supposant que y y au lieu de représenter une fonction de h

seule, en désigne une At^+h , le premier terme j^^ sera une fonction

dy d^y de K seul , les coefliciens différentiels -—- , -— ^ etc. calculés > eri «

dh dh

faisant A = o , après la dlfférehtjation , se changeront en

dy d^y

-— , -^ , etc. et enfin il faudra substituer ^4- A , ou x-^ (i — ç)* i

dx d X*

au lieu de x^ pour passer At y à T; on aura ainsi

en observant que -yrrs^^Tli^ Cette formule qui représente le dé-

dh dx

veloppement d'une fonction de it+A, poussé jusqu'au m^^ terme; est la même que celle que nous avons donnée en premier lieu.

Nous aurions pu y parvenir immédiatement en mettant dan; y 9 x+(i— {)A, ou ar+A— A^=x', au lieu de a?, ce qui auroit fait de Y une fonction de x+h — h[\ désignant alors par y^ ^ ce que devient y quand on y change x en x+A, et développant y^ , suivant les puissances de h[^ il seroit venu

^ h[ dY hX J^Y AV d^y

d'oîi Ion auroit déduit les quantités P, Q, R^ etc, comme cL» dessus : mais nous avons préféré de traduire littéralement , dans l'algorithme différentiel , l'un des xésultats les plus remarquables qu'offre la Théorie des Fonctions analytiques » pour montrer que la notation ordinaire ne lui fait rien perdre de sa simplicité et de soîk élégance.

^'^^df d!*Y

1070. L'intégrale AT" — -f^ — r -j-rj- donne fa valeur rîgou-

reuse du reste de la série y mais si l'on ne vouloit avoir que des Umhes

entre lesquelles fut comprise cette valeur , on trouveroît , par Tes

considérations du n*". 475 , que siX et / désignent la plus grande

dT'Y et la plus petite valeur que prend la fonction i—;^^, depuis :;=a^

384 ChI IIL application du Calcul intégral

]«squ'à{;=i , l'intégrale /^'"'"'i/t—^ scroit moindre que — , et

^plus grande que — w

11 est évident qu'il doit y avoir entre £ et / une valeur x qui rende

la fraction — exactement égale i^fC^'d^ —-^^ , et que cette valeur

répond ausâ à une valeur de { comprise entre o et i ; mais toutes les Vhkurs que reçoit une fonction de x+{i — i)h^ entre les limites {=0 , (=1 , sont visiblement les mêmes que celles que prendroit une semblable fonction de x+k, entre les limites jt et ar+ A; si donc on désigne par u la valeur de h , qui corrttpood à x , et par y^^ ce que devient y^ lorsque Ton y met x+ir, au lieu de ap,

on aura x = ^73^* ^ conclura de là, ces dévdoppemens partieb et

rigoureux de la fonction y , lorsqu'on change xta^c-^hi h dy, '

y^—y^i dx'^i.i dm''

h dy A* d^y h? dPy,

i dx !•% d^ I.1.3 dx^

^^^y^ i dx '** if2...(/?i— O^Jp""* i.a..*« dpT *

en observant que x doit être remplacé par x+<^ dans le dernier terme ^eulemeqt j et que l'indéterinfnée p est comprise entre 1^ limites 9

et A.

Pour mieux faire sentir l'usage de ces formules , nous suppo* ferons que y^x"" j et ct développant jusqu'au m**"* terme , il viendra

U est évident que I9 valeur de (x+ir)*^ est nécessairenenf comprise

entre

A LA Théorie des suites. 385

entre ar"""" et (x+ky""", et que par conséquent la somme des termes , qui dans le développement de (x'+hy suivent le m""% est comprise entre

Après cet exemple Lagrange ajoute:

« La perfection des méthodes d'approximation, dans lesquelles » on employé les séries , dépend non-seulement de la convergence H des séries , mais encore de ce qu'on puisse estimer Terreur qui H résulte de!s termes qu'on néglige , et à cet égard on peut dire que ^ presque toutes les méthodes d'approximation dont on fait usage » dans la solution des problêmes géométriques et méchaniques , sont » encore très-imparfaites. Le théorème précédent pourra servir dans » beaucoup d'occasions à donner à ces méthodes la perfection qui M leur manque, et sans laquelle il est souvent dangereux de les w employer», ( Théorie des Fonctions analytiques , page 50. )

107t. Avant que le Calcul intégral' fût porté au degré de per- tion des Séries*. ^^ fection qu'il a acquis de nos jours, Wallis et Stirling avoient employé rinterpolation des séries à évaluer des intégrales qui ne pouvoient s'obtenir que pour des exposans entiers. Wallis, par exemple, sachant quarrer les courbes dont les ordonnées étoient exprimées par

(t— :,*)% (i— ar*)S (l— ^•r, (! — *•)% etc.

inventa la Méthode d'interpolation pour en déduire l'aire des courbes dont les ordonnées étoient

(i-:ff, {i-x^y, (i~^*)\ etc.

fonctions que l'on peut regarder comme les termes intermédiaires de la première suite ; et il parvint de cette manière à la singulière expression de la circonférence du cercle que nous avons' rapportée n**. 945- Stirling continua et perfectionna les travaux de Wallis; . mais Euler imagina de renverser la question et d'appliquer la connoissance de l'intégrale à l'interpolation de la série , et c'est ce que nous allons faire d'après lui. Nous avons déjà donné dans le n^ 964 Appendice. Ccc

386 Ch. III. Application du Calcul intégral

un exemple de cette recherche , mais nous allons la reprendre de nouveau.

Soit en premier lieu l'intégrale /*"</ a: ( i — «)% de laquelle on déduit par le développement de ( i — jf )" la série

qui s'évanouît lorsque x=iO^ et qui, lorsque ^=i, devient I n ^ n{n—x) n{n^i){n^^) ^ ^^^^

Si Ton fait successivement /2=o^ n=i , /2=i , etc. on aura

II I

etc.

en suivant cette loi , on volt que le terme général de la série ^ lorsque n est un nombre entier , a pour expression

(/»*+ iX^+ 1) ~ . . .(/n+/ï+ î) •

et telle est aussi la valeur de Tintégrale fx'^dx ( i — x)% prise entre les limites o et i , ainsi qu'on peut s'en assurer immédiatement en intégrant par parties relativement au facteur x'^dx , ce qui donne

n(«— l)jr'"-*-^(i--j:)''-* ij(«— i ) i *"*«+•

terme

(«+.x)(m + z) (/7J+ 3)* • • (ot+ iXm+ a). . . (/»+«+ i) * toute cette série s'évanouit lorsque x=to , et se réduit à son dernier

La loi de continuité qui lie tous les résultats que l'on tire d'une même formule , fait voir que si l'on donne aux exposans m^ et n des valeurs fractionnaires , l'intégrale /«""«/«(i— .*)% qui devient

À LA Théorie des suites. 387

alors transcendante, doit exprimer les termes intermédiaires de la série ci- dessus. De même l'intégrale 7/?^ a: , dans laquelle p désigne une fonction de a? et de n , étant prise de manière à s'évanouir lorsque :r=o, peut représenter le terme général d'une série dont n seroit rindice. Ce seroit une découverte bien importante pour l'Analyse, de savoir revenir de la série à l'intégrale qui en exprime le terme général , sur-tout si Ton avoit des procédés sûrs et faciles pour obtenir dans tous les cas la valeur approchée d'une intégrale. Malheureusement l'Analyse n'offre encore aucun de ces moyens , et l'on a presque toujours déduit les séries des intégrales par le moyen des valeurs algébriques qu'elles fournissent. Voici les principaux rér sultats qu'Euler tire de la formule /x"'^ a: ( i — xy. En faisant d'abord /72 = ^ , il obtient la série

V €t fx^dx^i — xy pour l'expression intégrale de son terme général; d'où il conclut que le terme général , qui répond à l'indice ^ , est

égal kfdxVx — a?*, c'est-à-dire, à l'aire du cercle dont le dia^ mètre est i .

On a également , par ce qui précède ,