n ~ {m+ i)/;c"*""V;c(i — xy

Voilà l'expression du coefficient numérique du terme général de la puissance n du binôme*

En se servant de l'expression fx'^dx^i-^x^y^ intégrée par parties

Ccc z

388 Ch. III. Application DU Calcul INTÉGRAL

relativement au premier facteur x'^dx , on obtient ce résultat

I pn

pn{pn—n){pn^!in) ^^«-f^nH-,

• (/n+iX/^ + /î+0 {rn+pn+i) *

qui se réduit à

pn{pn — n){pn — 1/2).. • n

lorsque ar=i.

Si Ton met m — i au lieu de w, et qu'on écrive les facteurs du numérateur dans un ordre inverse y on aura ce résultat aussi simple que remarquable

fx'^-''dx{i—xy=''' 1^3 P .

Il est visibk que les conditions de l'intégration » supposent que les nombres /tz— *i et n soient positifs ; car sans cela les parties du développement qui doivent disparoître lorsque :r:=:o et lorsque ;t=i ^ deviendroient infinies. \

On tire de Téquation ci-dessus

et faisant ;2=o , il vient