I . a p=m'^'fx''-'dx(\ - y
ce qui s'accorde avec ce que nous avons déduit immédiatement de l'intégrale /^c*"^ a: (la?)* dans le n\ 418, On simplifie un peu cette expression en changeant ;»;'" en « , et par
conséquent mx'^'^^dxtTi dx ^ - en , 1- en -^I - : il résulte de
x^ là que i.i pi=ifdx(\'-\ .
Il suit évidemment de ce qu'on vient de voir que
Çrn + n)Çm + in) (m -{-pn^^i —
mfx"'-'dx(^i^x'y'
1071. En rapportant à la notation de Vandermonde ( n\ 902 ) , les divers résultats obtenus ci-dessus ^ nous aurons
^ JL , fdx(\l\'
1". \m-\-pn.n\ —rA hp = — -r r—, .
•■ ^ * ■• L» J m fx"'-'dx(i—x''y*
Ces théorèmes donnent les expressions des puissances du second ordre en intégrales définies , et fournissent par conséquent les moyens de trouver les puissances fractionnaires de cet ordre. Il est bon d'observer que le dernier théorème rentre dans les formules du n"*. 964.
1073. Par la combinaison de ces formules on obtiendroit un grand nombre de résultats particuliers ^ fort intéressans^ mais qui n'offrant aucune difficulté ^ se présenteront d'eux-mêmes au lecteur intelligent lorsqu'il en aura besoin. En prenant des expressions intégrales plus composées , on étendra ces recherches à des séries nouvelles ; on pourra même , pour plus de généralité y considérer des intégrales doubles, triples, etc.
fqdxfpdx y frdxfqdxfpdx y etc.
Euler donne pour exemple de la première forme , l'expression fx'^dx ( I — xYy dont le développement en série est
. .^ L ^ -|- etc.
390 Ch. III. Application du Calcul tntègràl
ce développement pris entre les limites o et i ^ et en faisant suc-» cessivement /2=o, =i , =2 , =3 , etc. donne lieu à la suite
+ etc.
dont la loi est très-évidente. Si l'on fait mz^io , on aura la suite
•" \ ' "T" ———————— -j- — — — — ^^— - — -^ etCf
dont les différences forment la suite
fdx{i — xy se change en
etc.
dx / I — (i — a)
j , lorsqu'on effectue la première intégration;
1074. Euler parvient , au moyen des résultats ci-dessus , à une interpolation très-digne de remarque , c'est celle des fonctions différentielles. De même qu'entre les puissances entières^ on insère par Textraction des racines des puissances fractionnaires , de même aussi Ton peut concevoir des termes intermédiaires dans la série
V, dv , d^y, d^v, d^v\
des différentielles d'une même fonction ^ et désigner ces termes par un indice fractionnaire qui marque le rang qu'ils occupent dans la série proposée. Il ne sera pas plus possible d'interpréter ces quantités par des différentiations successives , que d'expliquer les puissances fractionnaires par des multiplications répétées ; mais les for-
mules /A^ et V seront des expressions formées^par analogie , Tune dans la série des différentielles ^ l'autre dans celle des puissances. L'Analyse offie une foule d'expressions de ce genre, qui tiennent presque toutes aux théories les plus importantes et les plus délicates; et les réflexions que j'ai exposées dans le n**. 965 , me portent à 'croire que leur considération peut contribuer beaucoup aux progrès de la science du calcul»
À LA Théorie des suites. 391
Soh pour exemple A^^nv'"; lorsque n est un nombre entier , on a ^ quelle que soit m^
<r(v»)=/B(/B— i). . . » . .(/B— n+ i>"-<;v"=— t^— v"-Vv*;
{m— ri]
mettant pour [/w] et [m—n] les expressions données par les forr; mules du n^. 1071 , on trouvera
Ce résultat est susceptible d^une vérification immédiate ^ en s'assu* rant qu'il rentre dans ceux que l'on connoît pour les cas oii n est un nombre entier positif.
Si Ton fait m=i ^ n = j^ il viendra
en observant qu^entre les limites 0 et i ,
^ étant la demi^circonférence du cercle dont le rayon est i ( n\ 964 ); C'est ainsi que l'on parviendroit à l'équation primitive de la courbe correspondante à l'équation différentielle
dans laquelle dv est supposée constante. Au moyen de la valeur précédente de ^V» ^^ ^^ transformeroît d'abord en
y y vdv
obtiendroît -\ — ^=zvdy ^ d*oh Ton coixduroit
= V V dy ; et quarrant ensuite chacun de ses membres, on
— Iv = C , ou j^1v=-;Ct>^— >.
392 Ch. IIL Application du Calcul intégral
1Û75. L'interpolation dont nous Tenons de donner un exemple ^ s'opère facilement sur toutes les fonctions qui sont données par des intégrales définies ; et elle fournit en même tems des expressions fort simples des différentielles de cenaines fonctions du genre de celles que nous avons examinées dans les n''\ 95.3 et suivans : de Téquation
[/?]='/^:rf 1- j, par exemple, on conclut sans difficulté les
suivantes ( note du n**; 551 ),
d''\Jli=¥fdx{\^^(\\^^.
Les différences s'obtiennent d'une manière analogue , en observant que ùrfXdx=ifùr{Xdx)y il vient alors
At5=/''<lî)'(';-0' A-.[/]=/^<lî)'(lî— )''
-■• • -••[^WK';)'('.;--)"'
en supposant que a/; = i.
Nous ne nous arrêterons pas à donner les formules qui répondent aux intégrales et aux sommes de la fonction proposée ; mais nous terminerons cet article en remarquant que le procédé qu'il contient • s'étend à toutes les fonctions que l'on peut obtenir par le moyen des intégrales définies , et par conséquent à toutes celles dont nous nous sommes ocrupés depuis le commencement de ce Chapitre. C'est en ramenant à des expressions de ce genre la fonction x^^ que Laplace en a donné les différentielles et les différences par des formules trèsélégantes et que nous ferons connoître , lorsque nous montrerons^la manière d'appliquer les intégrales définies à l'intégration des équations différentielles et aux différences.
Recherches des 1076. Lorsque/? est un nombre fractionnaire, l'intégrale
'valeurs 'des inté'- /• 1\^
grale» définies. fdxyX-j^ siir laquelle nous sommes tombés en cherchant l'ex-
^ pression générale de [/>] , est du nombre des transcendantes dont on
ne
A LA Théorie jde^ suites. 393
ne connoît pas la nature , et qu'il est très-difficile d'obtenir par approximation ; cependant il suit du n"". 964 1 que dans le cas
oh p=^ii on a, entre les limites o et ijfdxlf-jzrz^y/^^
valeur très-simple y mais qui ne convient qu'à l'intégrale définie : l'Analyse n'offre jusqu'à présent aucun moyen pour arriver à la valeur exacte de la même intégrale prise indéfiniment. La formule
/dxCl'-j n'est pas la seule qui présente cette singularité; Euler
en a trouvé un grand nombre d'autres , mais par des méthodes trèsparticulières et très-diverses. On feroit un volume entier , si l'on entreprenoit d'extraire les nombreux Mémoires qu'il a publiés sur xette, matière j nous ne pouvons exposer dans cet ouvrage que les principaux résultats qu'il a obtenus , et donner une idée des méthodes les plus générales dont il a fait usage pour y parvenir :. rindication exacte de ses Mémoires, que l'on trouvera dans la Table , suppléera à ce que nous omettrons»
Les moyens qu'a employés Euler , pour trouver la valeur des intégrales définies , peuvent être rangés en trois classes ; dans la première sont ceux oii il développe en tout ou en partie Tintégrale proposée. Il arrive souvent que la substitution des limites de x , simplifie le résultat et le ramène à une série dont la fonction génératrice est connue > ou à une autre intégrale dont on a la valeur. Il est visible que ce moyen peut être utilement modifié par le secours des transformations, La seconde classe comprend les relations nouvelles qui se déduisent des produits et des quotiens dçs intégrales définies ; à la troisième appartiennent tous les résultats qui s'obtiennent en différentiant l'intégrale proposée , par rapport à des quantités qui n'y étoient pas d'abord supposées variables. Nous avons déjà montré dans le n*. 506 ^ que ce moyen peut mener à dçs résultats difficiles à pbtenir â priori,
1077. On voit à la simple inspection des cas particuliers de l'intégrale C -, rapportés dans le n*". 3 91 , que ces expressions
se réduisent à un seul terme lorsqu'on les prend entre les limites :i;=:o Appendice. Ddd
394 Ch. III. Application vv Calcul intégrai.
et x=i \ l'arc A devenant égal à la demi-circonférence , on a ces deux suites
y* ix nr Ç
xdx
y' x^dx i.'^ r
y"* x^dx i.3«- r
y^x^dx i>3>5T P
i/TIT? 2.4.6.2 * J t;
\/i^x^ 3*5*7 px^dx i«3«5»7^ p x^dx . 2>4«6>8
etc.
et d'après le tableau de la page 40 du premier volume^, on a ea
général
' x^^dx i.3.5,.,*,,.(2r— i)^ .
Vx^x" »-4.6
xr 2
</j; 1.4.6. ir
d*oîi il suit
Ce dernier résultat en fournit une infinité d'autres de même espèce , lorsqu'on y fait x={;" ; par cette transformation on obtient
et posant pour abréger i»r+n— t=;», il yiendra
«»^*^.M.^i— i— WiPiW^ «^^^i^»^^^»^— ^»^-^»^— — ^— Mfc— ^■^■■^—M .^i— «^i^
(*) Désonnais l'ezpressioti fÀ.fB.fC sera celle que nous employerons au lieu de (/i4) WB){fC)y et qu'U faudra bien distinguer dcfJ/B/C, équivalente k /iAi/BifC))).
A LA Théorie des suites. 395
les limites de i étant encore les mêmes que celles de x ; parce qu'on suppose que l'exposant n est positif. Cette dernière formule renferme des valeurs de produits dont on ne peut intégrer séparé-
ment aucun des facteurs; pour en donner un exemple» nous prendrons /> = Oy n = i, et nous aurons
— ^a formule / ■ * en y faisant x = ç*, se change en
formule / -^
JVx-x-
% I ; et Ton en trouve les valeurs entre {=0 et {= i par
ce qui précède.
A l'aide de ces résultats on parvient à des séries fort simples pour l'intégrale
{ I *•+— = ** 2-4- **+ etc. } ,
en substituant au lieu des intégrales
leurs valeurs prises entre les limites o et i. Si l'on fait, par exemple ^ mz=zo ^ on trouvera
Nous renvoyons au n**. 503 , pour la valeur de l'intégrale dxVi—c^x'
y prise entre les limites o et i«
1078. Les formules de réduction , rapportées dans le tableau de la page 40 du premier volume ^ donnent un grand nombre de
Ddd >
59^ Ch. III. Application DU Calcul rsTÈGRAt
résultats analogues aux précédens. On a par celles qui sont marquées II et III,
et entre les limites ar=o et ar=i , cela se réduit à
fx*-'dx(i—x')i='-^ i i ;
mq + np
La seconde de ces formules ramènera de /«"■"'</*( i^-«*)
à fx^-*dx{i — *•) *, et la première conduira deyÀ;"~*i«(i— «')
à /jciia;(i— :c*) '=i , ou à fdx{i — x^) *=- , selon que m sera
paire ou impaire ; il n'entrera donc dans l'expression de l'intégrale
fx'^^^dxii — X*) * que la seule transcendante ^r. On trouvera sans peine que
r**^»jAr(l— :ï:») =- ^ ■ \;^ i^^ t-^ ^- ^ ' jAr^-'i^Cl-^') ,
(f«+2r — i)(/w-f-ir — 3)...('w+3)(OT+ijr
et comme on a vu dans le n"". précédent , que si m est impaire
JX dX[\ X ) =r . -
[rn — iX^— 3)t#%.o.4.2 2
et que si m est paire
il s'ensuit que dans le premier cas
(w+ar — i)(OT+ar — 3). . .(m+3)(«+0*(''* — l)(/n— 3). • .6.4-a a '
et que dans le second
/A«r: Vxfi— *•/ " ^= (a^OCflr— 3) ^■3>l ^ (ir— flX/H^-4). ■ .6.4.a^
(w+ar— T)(OT+an— 3), . .(w+3)(m+i; * (w— iX/»— 3).*.5-3-'^'
A LA Théorie des suites. 397
On f eut multiplier ces formules autant qu'on le voudra. Si l'on
a, par exemple , « = 3, ^=r— -, -=r , on ramènera
les deux intégrales
aux six formules
AT
^-Jr^tn^ ^-/3-=z' c'=/;j::£f-=,.
parmi lesquelles il n'y a qu'une seule transcendante distincte.
Par des comparaisons semblables à celles que nous avons faites dans le n°. précéd. Euler parvient aux relations suivantes
px^dx Ç x^^'^dx AC __ I /• dx
a:'"+'^x /• x'V* A'B l P dx r xdx
y^x^'-^'dx /» x^'dx A'B __ i /* </y /•
Les quantités A^ByC^A\B', C\ ne contenant point /2^ les équations ci-dessus subsisteront encore si Ton y met à la place de 31} un nombre quelconque; en écrivant a— i^ à la place de 3/2 dans la première , et dans la seconde ^ et x — 2 dans la troisième ^ la comparaison des deux derniers résultats donnera
/^ xdx p dx r xdx
De ces trois résultats , Euler en tire encore d'autres ; en y faisant *={", n étant un nombre quelconque , et posant nK=>m^ •
J98 Ch» IIL Application du Calcul intégral
1079. Piiî^^c la formule /a:'"-'</x( î — x'^y peut toujours se ramener à une autre dans laquelle l'exposant de x , hors de la pa« renthèse , soit moindre que n ^ et celui de la parenthèse une fraction négative y il suffit de considérer les transcendantes contenues dans
Pcxpression /r"*'""^x( i — jc")" , en y supposant ;w— i <« et /f</i, les nombres m, neîp étant d'ailleurs entiers et positifs. Si l'oa fait d'abord i — x''=iy\ on aura
d'oii il résultera
' fx'^-'dxii^x^) '^ = — /y*- V^ ( I —j.» ) ^ } mai en observant que les limites ar=o et x= i , répondent à y= i , ^=0 ^ on changera le signe de la seconde int^rale en changeant Tordre de ses limites , et Ton en conclura que
lorsqu'on prend l'une et l'autre intégrale entre les limites o et ;; Rien n'empêchant qu'on n'écrive dans le seconJ membre x à la place
de j^, on voit par là que l'intégrale /r*~*^:r( i-^;c") » , prise entre les limhes o et i , conserve la même valeur lorsque l'on y permute les exposans mttp\ si donc on fait pour abr^er ^^
on aura cette équation remarquable
Maintenant en faisant usage de la formule II du tableau de la page 40 du deuxième volume , on aura
fx-^M^^^y » =,^,.-rv,(,-x") « 5
^ ^A Théorie des suites.
substituant m à m^^n , il viendra
d'oîi Ton tirera
