TZ
En répétant la réduction que présente cette dernière équation , on obtiendra
m (fn+tt) (m+m) (jn+in) ' *
en posant (i— *') " =2r; de m$me
^■^■jr=<-+'') C+p+'-X'+^+^n).. -(y +'")^,^^,^.^.^
Or , plus le nombre i augmente , plus le rapport des différentielles
approche de Tunité qu'il a pour limite 5 il en est de même des intégrales , puisqu'elles sont prises dans la même étendue , ou sont composées du même nombre d'élémens ( n% 471 ); passant donc à cette limite ^ en supposant i infini y on aura
fx'^-'dx.X ^(m,p)(m+p)(m+p+n). . . r (r+n) ^
fx'"dx.X~9{r^p)~ m {m+n).... (r+p)iri'p^h).... '
remplaçons à présent ri^zt m+q^ il Tiendra
f{m^p) (rn+p)(m+p+n).... (fn+q)(m+q+n)
K^+î>/')~^(^+^) * (f^+q+pX^n+q+p+n). • • *
équation dont le second membre demeure le même^ lorsqu'on échange entr'elles les lettres ^ et ^. H suit de là que
f^m + q^p) ^im+p^q)
Les équations (i) et (i) renferment implicitement toutes les propriétés que nous avons à faire connoître relativement à la fonction ^ ; mais avant d'entrer dans ce détail 3 examinons les cas dans lesquels cette
400 Ch. III. Application du Calcvl intégral
fonction a une valeur algébrique , ou ne dépend que de la circonfé'*' rence du cercle.
1080. Lorsque /? œ: /ï , on a seulement /;c*""V:r, d'oîi Ton tire
ftm^n) = — , et en vertu de Téquation ^{myp)z=z^(jp^m) , on en
conclut que ^(n,/?) = -- \ •••••(3)»
Quand //^ + /x = /> , on rend l'intégrale I -^ ■ — ration*
^ V{i—xyK
nelle ^ en faisant - — ■ = ç ; d*oîi il résulte
avec ces expressions on obtient
Les valeurs de { qui correspondent à Ar=Oy et à jtr=:i , étant o et
rinfinî , ces dernières seront les limites de Kntégrale /— i L- r
qui, d'après le n*. 373 ^ ne dépend que des arcs de cercles et des logarithmes. L'expression que nous en aVons dormée se simplifie beaucoup lorsqu'on Tétend entre ces limites ; elle se réduit alors
à ■ , ainsi que nous le verrons plus bas. On conclut de là
/2sm — n
que *(/n,/2— 772) =:^( « — /»;«)=: (4).
a sin
3^. Si dans l'équation (i) on fait j— /2 — /tz— /7, on en déduira
changeant
A LA Théorie des suites. 401
changeant ensuite dans la même équation (2) , p en n^^m—p , et q en n — /n, elle deviendra
^(/w, n — m — p)(p{n—p^ n — m)=^(m, n — m)p{n^n—m-^p) : multipliant cette équation et la précédente ^ membre à membre ^ et supprimant le facteur commun p{m^n' — m — p ) ^ on aura
Or , d'après les équations (3) et (4)
9(^+Pfn'^m^^p)=:
72 sm- -
^i^—PyP) =
nsin
nsm — n
substituant ces valeurs dans Téquation- ci-dessus , elle donnera
9rsm^ '—
f(m,p)9in^p^n-^m)= « — —...(,);
n(n — /w — pjsm sm —
cette équation nous fait voir que la valeur ^(;x — p^n — m) ne dépend que de celle de 9(,^9P) et des fonctions circulaires. Legendre y à qui Ton doit cette remarque 1 et le; siiivantes^ regarde la fofmule p(n — /^j« — '«)> comme le complément de fi^yP)^ V^^ct que les expQsaiis de l'une réunis à leturs corresr pondans de l'autre , font la même somme n.
L'équation (5) nous conduit à deux résultats particuliers qu'il e$t bon de connoître : lorsque p^=m ^ on a
2 T COt
^ ' ^ ^ ' ' n(/2 — xm)
Appendice. E e e
401 Ch. III. Appucàtiosdu Calcul intégral
et quand w = /2 — xpy il vient
np sin
Uéquaiîon ( i ) peut aussi se transformer en
en y changeant q en n-*-/» ; et mettant alors les valeurs des formules du second membre , on obtient
np sin — n
la supposition de pr=:m change cette dernière en
^(^w,iw)ç(i;w,/2 — /w) = ' > (9):
, ni TT
nmsin
ce résultat étant comparé à Téquation (7) , conduit à
^{PiP) — P{^ — 2/?,/^).lCOS — (lO).
Maintenant que nous avons fait dépendre les valeurs de
ç{n—p,n--'p), PÇn-^xp.p)^ ^{^—p.xp)^ de celle Ae ^{p^p)^ o\xà^ ^{m^m) ^ il faut chercher à simplifier ^ autant qu'il est possible^ la forme de cette fonction.
1081. Pour cela faisons i— :c"=-^; il viendra
d*oîi on tirera
A LA Théorie des suites. 403
Les limites de Tintégrale en { l'obtiennent en considérant Téquation 4 ar'( I — :r") = :j^; si Ton y suppose je = o et a: = i , il vient , dans l'un et l'autre cas , z =r o ^ ce qui ne donne que la même limite ; mais on en trouve deux en prenant l'int^rale relative k x tn deux fois ; . savoir 9 depuis x=^o , jusqu'à la valeur de x^ qui répond à 1=1 , et depuis cette dernière jusqu'à :r= i , d'où résulte ^=0 : or la valeur
de Ji;, qui répond à {;=i, est Jt"=r> oU Ar=: . Prendre
ainsi l'intégrale 1-^ — , depuis Ar=o jusquà ^ = -^j^,et
ensuite depuis x:=i jusqu'à x^=ii^ ce sera la même chose que
, depuis o jusqu'à 1 , et depuis 1
jusqu'à O9 ou prendre le double de sa valeur entre les limites j{;=o et î=i. Il suit de là que
. f{m,m)^x ^ h^=r=Ai^l ^ I (il);
puisqu'il est indifférent d'écrire x pour {;« Ce résultat ramène à un grand degré de simplicité les valeurs de
Si on compare les équations (6) et (n)^ il en naîtra cette relation remarquable
Si l'on fait i— ap*=Ar"{;% on aura une transformée qui , dans le cas oîi n sera paire , et où m-^tp^^^n^ donnera
•'Ki + f
La transformation que nous avons opérée plus haut^ par la
Eee 1
404 Ch. III. Application dv Calcul intégral
supposition de i — ;t"=-^, noiis donne pour le cas de n paire , et lorsque m'—p = in^
,{kn^P.P)=- 7 >— P — i£ Cx*^^dx
le dernier résultat s'obtient en écrivant dans le précédent at* au lieu de AT : 7Z étant toujours paire , on auroit immédiatement
f .X rx''-'dx
J Vi — x'
On obtient encore une transformée utile , en faisant i — x'=^r'x*',
OU ;c""= î + T V^ I + î% lorsque aw + 1/? = ^2 ; il vient pour ce cas qui suppose p <ik^ y
,{n^ip,p)=: 1 « rf"^^ (16),
rintégrale étant prise , depuis {=0^ jusqu^à { infini. En combinant ce résultat avec Téquation (10), et chc^ngeant/? en /w, on. trouve
f(/;2,/7l)=l «cos li~=è=i (I7)>
et en comparant celui-ci avec Téquation (ii), on en déduit
= cos — 1^===. (18),
en observant que m soit toujours moindre que -/2/
Cette dernière équation nous offre une particularité remarquable* Si l'on fait dans le premier membre Jir=i — y^^ et {==y*— i dans le
A LA Théorie des suites. 405
second, on obtient également pour l'une et l'autre intégrale J \y n{n—i) n(/2— i)(/i— 1) '
K « — 'y T y^ — etc.
quand l'exposant /2 est impair; mais la première doit être prise, depuis^ = o, jusqu'à j^=i , et la seconde , depuis ^= i , jusqu'à j^ infini. Il suit de là que si l'on désigne par P le premier résultat , et par F le second ^ on aura
P = />'cos ,
c*est-à-dire, que les deux parties de la môme intégrale sont entr'elles dans le rapport de COS' — à i.
Les équations (13) et (17) combinées donnent
p{m^m) = 1 ^ cos *(î« — m^m) (19) i
et comme en vertu de l'équation (i), la fonction p({n — m, m) est la même que f{my^n — /n) , il est visible que dans le cas oh n est paire , toutes les valeurs que peut prendre le second membre de l'équation ci-dessus répondent à celles de m^ depuis o jusqu*à ^n. Si l'on met {n — m^ à la place de m, dans l'équation (19) , il vient
^(7/2 — ^>î« — m)=i'^ sin ^(/w,jH — m) ^
d'où on déduit
f{m^m)=i ^ cot P{in—m^{n — m) ••(^o),
équation qui donnera la valeur de ^{m^m)^ pour tous les cas, lorsqu'on la connoîtra pour ceux dans lesquels m ne surpasse pas \ /?« Si dans l'équation (13) on change aussi m en ^n — m^ on aura en vertu de l'équation (i) , celle-ci
ffi^^rs^s^ M.
4o6 Ch. III. Applicatiok DU Calcul intégral
dont le second membre résulte immédiatement du premier ^ en écrivant - au lieu de {; et en la comparant à Téquation (i8) , on en conclura la suivante
dx
Les relations multipliées que nous venons d'obtenir diminuent considérablement le travail qu'exige l'évaluation des transcendantes
comprises dans la formule f-^ ; mais elles ne sont pas les
seules qui puissent avoir lieu. Ce n'est encore là que les premiers apperçus d'une théorie qui doit s'étendre à beaucoup d'autres formules , et pour laquelle il faut peut-être de nouveaux signes ; car on ne sauroit voir dans ce qui précède et dans ce qu'a écrit Euler sur la même matière , que les résultats de tentatives nombreuses, dirigées sans doute avec une grande sagacité , mais n'ofirant pas encore cette liaison et cet ensemble qui constituent les méthodes directes et générales,
1081. Reprenons maintenant la discussion des différens cas que peut présenter l'évaluation de la fonction p{fn,p)^ pour une même valeur de n.
i*". Soit /z=2; nous aurons seulement ces trois fonctions
et d'après les équations (3) et (4) , .
ism —
1*. Soit »=3 ; nous aurons les fonctions
A L A Th É 0 R J E des SUITES. 4O7
en excluant les fonctions <p(i^i), 9(193)9 etc. qui sont iden* tiques avec 9(1,1), 9(391)^ etc. L'équation (2) , lorsqu'on y fait ;w=i , /^=i , y=:i , donne en changeant 9 ( i , 2 ) en ^(2, i) ,
d'oh on tire la valeur de 9 ( 2 , 2 ) , au moyen de celles de ^(i>ï)> ^(2-91)9 9(39! )• Les deux dernières sont connues; Tune dépend de la quadrature du cercle s en venu de l'équation (4) , et l'autre est déterminée par l'équation (5) : en représentant donc par A la transcendante 9(1, 1)9 et faisant pour abréger '
f ( 2, 1 ) = = «9 nous aurons
3 sm —
d'oh Ton voit que tçus les cas que peut présenter ^intégrale # , ne dépendent que de la seule transcendante
f-z — égale à i ' / , ou à x ^/ , en vertu
des équations (ii) et (i6),et comprise dans les foncdons ellip« tiques ( n~. 404 , f4ii , 505 ).
3°. Soit n=xJ^. ; nous aurons les dix fonctions
•(3»0» K3>i)» ^(3»3)> •(4»0, *(4»i)> K4.3)» t(4»4)i réquation (1) donne ces relations
*(»»0»(i»*)=»(2»Op(3»0»
*(ï.Of (3»*) = *(3»Op(4»0»
^(2,i)*(3,3) = *(3,i)*(4»*)- On a par Téquation ( 3 ) les fonctions dans lesquelles le premier
4o8 Ch. IIL Application du Calcul intégral
nombre est 4 ; Téquatioa (4) ramène à la quadrature du cercle toutes celles dans lesquelles la somme des deux nombres est égale à 4 : il ne reste donc à déterminer que les quatre fonctions
^(ly^), ^(^9^)9 pCi9^)f Hi^i),
et au moyen des relations ci-dessus^^ on fera dépendre les trois "Hernières de la première ; mais nous observerons que les équations (6)
et (7) donneront immédiatement ^('i^Z) P^*' ^(^y^)^^^^^^) par ^(1^%). La seule transcendante ^( \,i ) suffira donc encore pour ce cas} elle se ramène , d'après les équations (11) et (17),
à 1' / et à /- , ^ , et rentre ainsi dans les transcen-
dantes elliptiques. En désignant par A , comme le fait Euler , la transcendante ^^i, i^ , et par * et 18 les fonctions ^(^3 , i^, ^(^2, x) , qui se rapportent à la quadrature du cercle, on formera ce tableaii
f(^4,i;=i, ^C4,i; = i, ^(^4,3;=-;, <4M;=i> *(^i^)='^^ 9(j*^)=-^, fC3,3;=~,
4". Soit «=ç ; la fonction çCm^p) présentera pour ce cas quinze formes diverses, en excluant les permutations données par ^(p^m ) ; l'équation (x) fournit pour ce cas , les relations
^C2,x;ifC4,3; = ^C3,i;^C5,2^.
qui, jointes à celles que nous avons employées pour le cas de «=4donnent le moyen de déterminer six fonctions , à quoi réunissant
les cinq fonctions de la forme p C 5,/»; , égales à i, en vertu de
P l'équation (y), puis les fonctions ? C 3 , i ;= « et 9(4,1) = ^
dépendantes du cercle, à cause que m+p=zK,i\ restera seulemeift
deux
deux transcendantes irréductibles. Choisissant les fonctions ^^3,1^ = ^, ^('1,1^ = ^, on aura le tableau suivant
^C4>0=*^ (pf4,i;=— , <PC4y3)=^^ *(4j4)=TJy
fi^ ^0*0=^, ^0^0=^5 <3,3>)=-^i
Ce tableau montre que Ton auroît pu également prendre les fonctions p (ijx) et ^(^1,1^ pour y rapporter les autres. Les équations (6)^ (<j) et ("lo^, oflFrent les moyens de rappeler immédiatement
^(A^A)j <pC4>2.;, <pf3>0 à ^^('i,!;, et d'après les équations ('i O et ("i?^ > o** a
En continuant cette énumération , et ne faisant usage que des relations particulières que fournit immédiatement l'équation (i) y Euler a
trouvé que les diflFérens cas la de formule /-^ , pouvoient
V^^i—x"/'^ se ramener en général aux suivans :
ç(n^iyi)j ^(n—^yi), ?r^— 4>3>)> ^T^— 5>4>>> etc. dont le nombre, lorsqu'on exclut comme on le doit les permutations
des exposans mtxpj est , quand n est impaire, et {n — i ,
appendice. F f f
!0 Ch. III. Application du Calcul intégral
quand n est paire. Dans le premier cas, les remarques de Legendre rapportées précédemment ^ fournissent le moyen d'exprimer les diverses transcendantes ci-dessus par d'autres de la forme ^(m^m ) ^ et dans le second elles réduisent le nombre des mêmes transcendantes
à -, ou , enfaîsant dépendre ^('/Wj/w^ de ^Cf» — ''^^i^ — ^)
par l'équation (lo). Avec ces formules , Legendre a ramené aux transcendantes elliptiques , celles qui répondent aux cas où «=3 , /2=6,
72=8, ;2=:ll.
1083. Pour obtenir par des séries convergentes la valeur de Tîntégrale /- ., Euler la partage en deux parties. Tune
prise entre les limites jp=o et x''^=- \ , et l'autre entre ^= \ et âr= t ; nommant M la première , P la seconde , et formant la série par
le développement de , suivant les puissances ascen-
dantes de or ^ il trouve
p I ri n — f I n — f xri'^p i
+!!lZi^.î'!Zi^.__i+etc.],
résultat dont chaque terme est moindre que la moitié de celui qui le précède. Faisant ensuite i — x^=y\ il change la formule pro*
posée en ^fy^'dy(\^y ) « ( n^ 1 079 ), qu'il faut prendre entre les limites j^"= \ et y = o ; et l'ordre de ces limites étant
renversé, il vient P=/y'"dy(i'^y) « , ou
i/—^P 2./2 72+;? ^n 4/2 Xn+p
+ . . ^ . ; — + etc. \ ,
puis enfin p( m^p )^=zM+P.
A LA Théorie des suites. 411
Lorsque m:=zp , les séries MttP deviennent identiques , et Ton a seulement
^ * ^ » Km m n+m xn
Kl"»
Soit pour exemple la fonction ^(\^t)^ de laquelle dépend ç( myp)^ lorsque /2=3 ; on obtiendra
De cette valeur et du tableau, qui contient toutes celles de p(m,p) ^
pour le cas oii ^2=3 , on déduira ^(i^ 0=3,22582, f^i, 1^=1,20618, ^('2, 2^=0,68445. 1084. Montrons à présent comment on peut s'assurer que Tin-
— ^ ■ , prise entre les limites ar=o et x infini , re^
vient à
nsm
mnf
^„ *K I — i^ccos — |-af*+-sm .arci tang= ^- |
"' n n n \ ^ ir 1
^ I — ^xcos — y
2 xm'TF I X cos^ 1|/^
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