Ç/7IT. I

-co$i 1 |/^

Klf 2 , Ç/72T

•2:rcos ^î — h ** -4 — sm ^ — . arc n n n

tang:

jfsm— ^

tang= j

i— jccos— ^

Fff 2

41 1 Ch. III. Application DU Calcul istegrâl

r désignant le nombre impair qui précède n ; et si n est impaire ^ il faudra ajouter à cette expression +-l(i+Ar), ou '(^ + "*')>

selon que m sera impaire ou paire. On voit par le développement cidessus que rintcgrale proposée s'évanouit lorsque a-=o ; il suffit donc de trouver ce qu'elle devient quand on y fait x infini , et pour cela nous allons considérer séparément la partie logarithmique et la partie circulaire.

1°. quand a: est infini , K^ i — ixcos h^* se réduît-à

X — cos — , et Ion a par conséquent n

^ \/ I— ixcos— + A;"=;(a'— cos— )=U+l('i cos— ) = 1a:,

à cause que - cos— s'évanouit. Si , pour abréger , on pose —=e»

X n fi *

la réunion des fonctions logarithmiques formera la série

i.Xx { COS/72W+ COS3 /7za> + cos 5/n<» + COS rm» )

avec Y appendice =fc- 1 ( i +^) , si « est impaire. Cette série est

comprise dans celles dont on a donné la somme n**. oço. Pour

employer les formules de ce n% il faut y changer ;c en r i

- q en ma y faire A=2 et p-=m(a ; on trouvera

sin(r+ i)mtà 2 1« ^ sinfr-f- 1 W« 1 ^

Sçflsrma = — 1^ '- — , 5cosr/72«==!ZiLZii^ '*

^ Dans le cas où n est paire, on a r=/z— i ; et le résultat que Ton vient d'obtenir se réduit par conséquent à zéro, à cause que m est nécessairement un nombre entier.

Si n est impaire , il faudra tenir compte de l'appendice it i^ mais on aura alors r=/2 — 1 et

n sinmt» n siamm a»

A LA Théorie DES suites. 413

or , sio( /7z TT — mtjd )=d-:sin ma ^ selon que m est impaire ou paire j il viendra en conséquence

2I a? \x sinmta \x S cos rm(»^=:

n n sinm tù n ^

ce qui se réduit encore à zéro.

La partie logarithmique de l'intégrale cherchée s'évanouissant ainsi dans tous les cas, il faut examiner ce que deviennent les fonctions circulaires qu'elle contient. Leur terme général est

-sinr/72a.arc( tang = j;

n VI — X cos rcù /

Farc indiqué s'évanouit lorsque ^=0; il est égal au quart de

la circonférence quand x = , et il a pour tangente

^ cosrcà

= — tang rtù y quand x est infini. Dans ce dernier cas il

Qosrùd

est donc égal à t— r® : on a donc pour la valeur complète de l'intégrale cherchée^ la série

-{(^T — w^sin/72û) + CT— 3û)^sîn3 /ww + ^t — 5«^sin5 mùù+ etc. } ,

qui se décompose dans les deux suivantes

- TT { sin 772 a> + sin 3 /w « + sin 5 /tz « + etc. ) , n

: { sin 772 « + 3 sin 3 ;;z 6) + 5 sin 5 772 « + etc. }.

La limite de la première , déduite des formules du n% 950, donne

2 . * 9r I — cos(r+i)772« — 9r o sm r 772 « = : ;

72 72 Sin 772 (a

celle de la seconde se tireroit des formules du n"". 909 ; mais on y parvient immédiatement en difFérentiant , par rapport à « , l'expression de S cos r 772 6) , rapportée plus haut : on trouve ainsi

— 772 { sin772 « + 3 sin 3 772 û) + 5 sin 5 772 û> + etc. } = m(r-\- i^cos(^r+i ^772« /72sin(^r-4- 1 ^ 772 « COS772» 2sin772« i(s\xim(*)^ *

414 Ch. IIL Application du Calcul intégral

d'oii Ton conclut

(r'\'i)QOs(r+\)m(ê sin('r+ i^/w«cos/w 5 rsin /•/«»=: — : + ^ » t: —

rcosfr-H 1^/72» smrm»

Maintenant si n est un nombre pair, on aura r=n'^ i ,

cos( r+i)m6dz=z cosnm «à z= cas m w j sin (r+ i^/7i« = sin/nT = o,