I-— cos;72 7r ^ . ncosmw Ssmrmu=: : , 5rsinr

enfin

— 5sinr/7i«— — 5rsinr/wtf == — , +

n n n xsinma n 2Sin/7z«»

5 à cause de /2» = ^,

/zsiniT?»

Lorsque n est un nombre impair, il vient r=/2— - 1 ,

cotCr-i- 1 )mei =z cos(mT'^^m êè)=i çosm'Trcosm»^ sin ('r-j- i^/wûi =sin('/!n tt— z« «^=— cos m tt sin /ts» ,

d'où on tire

— 5sinr;72« Srsinrm»=z

v( I — cosm TT cosm») »(n — i ^cos mvcos mtà m cos m m cos m «#

/{sin/72£d /2sin;zi» nsin/Tici

ce qui se réduit à — : , en observant que « « = ^r.

/2Sin/7Z€tf •

;— , prise

entre les limites x = o et a: infini , est égale à — -^ , ou à

nsin — • n

, ainsi que nous l'avons annoncé^ n% io8o«

A LA Théorie des suites. 415

1085, Ce résultat conduit à une sommation remarquable. On a vu dans le n**. 1080, que

rintégrale étant prise depuis x=zo , jusqu'à x=-\ ; si on développe en série ordonnée suivant les puissances de :r, la quantité

y qu'on intègre après avoir multiplié par x'*""*"''i/jc,

et qu'on fasse ensuite x^=^Xy il viendra

. mT n-^m n(xn — m) n.i.nf xn^-^m) sm \ j y

^ (n—m)(in—'m)('^n—m)

-l- . . f- eiC.

1086. L'intégrale /«""*i a? C 1 — a? V " P^t se développer aussi en produits indéfinis. On a trouvé dans le n"". 1079 que

fx'^^'dxX (m-^pX m+p+n). . • r( r+n)

fx'^^dxX m(m+n) ( ''+P)( r+p+n )... . '

ce qu'on peut écrire ainsi

fx''-idx(i^x'') " __ j^ (m+p)(r+n)(m+p+n)

P—f m (m+n)Cr+p)(r+p+n) *

on rendra possible l'intégration de la formule qui est au dénominateur en faisant r=/z* ^ et , entre les limites x-=o et x=i i , on aura

fx'^^'dxCi — x^) « =~,

F d'oîi l'on déduira

mp' (m-\-n)(p-\-ny (m-\'%n)(p+xny (m'\-inXp-^in)'

4i6 Ch. III. Application du Calcul intégral

On pourroit obtenir un pareil développement de l'intégrale x'^^^dxCi — ^"/, et Ton auroît par ce moyen Texpression en produits indéfinis > des produits limités qui composent le développement que nous en avons donné dans le n**. 1071. 11 est visible que cette transformation revient à celle qui a été effectuée sur les puissances du second ordre dans le n". 961.

Les facteurs du second membre du résultat ci-dessus étant grouppcs dans l'ordre suivant

I n(m+p) inÇm+p + n) 'jnÇm+p + in) ^n(m+p'i''in) on en tirera par la supposition de m+pz^ny

•^ ^ m n^-^m^ 4»* — m* 9/2" — m^ ion* — /tz*

et mettant pour rintégraleyAT"* 'Jx(i—x'') ^sa valeur

nsm n

on obtiendra l'équation

rriTT m m^ rr^ tri- m

• etc.

n sm I r i : i

de laquelle on conclura

n n \ ;iV\ 4/2V\ 9/z'/\ i6/2*y

Si 1 on change lare — en ^ — = .-r , on aura

sm 9r = cos — ; substituant , ou ; au heu

i/ï n 1 in'

il viendra

de — , dans le produit précédent, décomposé en facteurs simples;

cos

A LA Théorie des suites. 417

WT A ^w\\i /2 Al n/\x n /\i n.J \i n/\i n)

COS — =9r( j^

(l/nV 2/w\/ 2^\ / 2/72\/ rm\{ 2/72\/ 2ot\

i^iv^

2* 2. 2. 4,4. 6.6. 8etcA /i' A 9/2* A 25/1*/ résultat qui se réduit à

lorsqu'on met pour - la valeur rapportée dans le n"". 945.

Si Ton fait = <^ » dans les deux produits que nous venons

îi

d'obtenir pour le sinus et le cosinus , on aura

ce qui revient à

^ " = <■ - vX» + fX— ^X- + ^X' -^X- + ji)"'- -«= (-V"X' + TX-r:X'+ïD(>-iDO+iî>

La première de ces expressions met en évidence la propriété qu'a le sinus de s'évanouir toutes les fois que l'arc devient égal à un multiple de tt , soit positif, soit négatif, puisque les facteurs qui la composent s'annullent successivement lorsque

tt=^, u=z — T, K=2T, u= — 2T, tt=3'»', «= — S'^* ^^« Il est visible que si l'on avoit voulu exprimer analytiquement cette propriété , on en auroit déduit la même formule que ci-dessus. L'expression du cosinus satisfait de même aux loix que suit la Appendice. G S S

41 8 Ch. III. AppucATiON DU Calcul intègmal

la marche de cette fonction, puisqu'il y a toujours un de st% facteurs qui s'évanouit lorsque i/= ± v.

Digression sur 1087. Les expressions dont nous nous occupons maintenant sont i^us^'erd^co- ^"^ ^ Euler , qui en a tiré de nombreuses conséquences : elles donnent sinus en produits immédiatement les logarithmes népériens des sinus et des cosinus ;

indéfinis*

car en faisant u = — , on en tire

+ etc.

Si l'on développe en séries , les logarithmes indiqués , à partir seulement de 1 f I — ^ pour le sinus p et de 1 ^i ^ pour le

cosinus y on aura y en ordonnant par rapport aux puissances de — ^

ffiff 1 sin = lzw+l(2/i — m)'>c\{xn^în) — 3l/i+l9r— 18